DOTTORATO DI RICERCA in MODELLI E METODI MATEMATICI PER LA TECNOLOGIA E LA SOCIETA Prova scritta di ammissione - XVI ciclo. Analisi Matematica

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Stefano Giannini
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1 DOTTORATO DI RICERCA in MODELLI E METODI MATEMATICI PER LA TECNOLOGIA E LA SOCIETA Prova scritta di ammissione - XVI ciclo Analisi Matematica Tema: Illustrare le linee generali della teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n. Esercizi: 1. Si consideri il problema u t = u xx in ( a, a) R + u x (±a, t) =0 u(x, 0) = u 0 (x) x ( a, a). Mostrare che, posto E(u) := 1 2 a a u 2 dx, E(u(t)) è decrescente per ogni soluzione u C 2 ([ a, a] [0, )). 2. Sia f C ([0, 1]) tale che f (i) (0)=0 f (j) (0)=0 i =0, 1, 2, 3, j =0, 1. Provare che esiste ξ (0, 1) tale che f (5) (ξ) =0.

2 TEMA 1 Il candidato illustri i principali risultati relativi alle stime dell errore locale e globale nei metodi ad un passo per le equazioni differenziali ordinarie. Esercizio 1. Sia a IR e 1 a a A a 1 a a a 1 a) Per quali valori di a la matrice A è definita positiva? b) Per quali valori di a il metodo di Gauss Seidel è convergente? c) Per quali valori di a il metodo di Jacobi è convergente? Esercizio 2. Sia data la funzione f(x) =e x 3arctg x descrivere una procedura per approssimare con una tolleranza prefissata le soluzioni dell equazione nonlineare f(x) = 0. Tradurre la procedura in un linguaggio di programmazione. 1

3 Fisica Matematica Tema: Descrivere le linee essenziali del procedimento di linearizzazione delle equazioni di Lagrange per un sistema olonomo conservativo nell intorno di una posizione di equilibrio stabile. Esercizi: 1. Una lamina rigida, omogenea, pesante ABCD di lato a e massa m è vincolata senza attrito a mantenere fisso il vertice A. Studiare la possibilità dinamica di moti rotatori uniformi attorno all asse AD disposto verticalmente e calcolare, in corrispondenza a tali moti, la somma e il momento totale della sollecitazione vincolare. 2. Un elemento pesante di massa m è vincolato a una circonferenza liscia in moto rotatorio uniforme con velocità angolare ω 0 attorno ad un suo diametro verticale fisso rispetto alla Terra. Sull elemento agisce anche una forza elastica di costante elastica k applicata all estremo superiore del diametro verticale della guida circolare. Individuare le posizioni di equilibrio e studiarne la stabilità.

4 Geometria Compito 1 Tema: Diagonalizzazione di trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale di dimensione finita sopra un campo. Esercizio 1: Determinare i valori del parametro reale t per i quali la conica C, di equazione x 2 2txy + y 2 1 = 0 nel piano euclideo reale, è degenere e calcolare, in corrispondenza a tali valori le componenti di C. Per i restanti valori di t classificare C, determinandone l equazione canonica metrica. Esercizio 2: Determinare, al variare del parametro reale t, l area del triangolo (eventualmente degenere) di vertici A(0, 0, 0), B(1, t,1), C(t, 1, 1), nello spazio euclideo reale 3-dimensionale. Scelto ad arbitrio uno dei valori di t per i quali detta area valga 3/2, determinare l ortocentro del triangolo. 1

5 1 Compito Tema Discutere il teorema di Bayes e le sue implicazioni nell'inferenza statistica. 1.2 Esercizio 1 E' stata prodotta una medicina per combattere due malattie A e B. Un test su larga scala ha mostrato che la medicina ha eetto contro A nel 90% dei casi, contro B nel 80% dei casi e contro entrambe nel 70% dei casi. Qual'e' la probabilita' che la medicina abbia eetto contro una sola malattia? 1.3 Esercizio 2 Si consideri il processo stocastico a tempo discreto denito dall'equazione x t = x t,1 + t e si assuma che all'istante iniziale t 0 x t0 abbia una distribuzione gaussiana con media 0 evarianza 2 0. Sia inoltre jj < 1ef tg una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite gaussiane con media zero e varianza 2. Calcolare le statistiche del primo e secondo ordine del processo. Discutere il risultato. 2

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