DOTTORATO DI RICERCA. Esame di Ammissione XX ciclo. Prova Scritta: 12 ottobre Compito N. 1

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1 DOTTORATO D RCERCA MODELL E METOD MATEMATC PER LA TECNOLOGA E LA SOCETÀ Esame di Ammissione XX ciclo Prova Scritta: 12 ottobre 2004 l candidato svolga uno solo dei seguenti temi: Compito N. 1 (A) L integrazione secondo Riemann e quella secondo Lebesgue presentano notevoli differenze. Se ne illustrino le principali fornendo anche opportuni esempi. (B) Lo studio delle condizioni di equilibrio di un sistema fisico, chimico o biologico dà spesso luogo a un problema non lineare. Limitandosi per semplicità al caso monodimensionale, illustrare le principali caratteristiche dei metodi iterativi per approssimare le radici dell equazione non lineare soffermandosi in dettaglio su uno di tali metodi. f(x) = 0, x R, (C) ndipendenza stocastica e correlazione tra variabili aleatorie: si espongano i risulatti principali ed alcune applicazioni. (D) Discutere la nozione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale e illustrare la sua utilità. Enunciare e dimostrare il teorema spettrale relativo agli operatori autoaggiunti di uno spazio reale euclideo di dimensione finita, fornendo esempi e applicazioni significative. (E) Le funzioni di Liapounov: loro importanza ed uso nella matematica applicata. ************* Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi, scelti in tre aree diverse fra le cinque (A), (B), (C), (D), (E). (A) 1. Per quali α > 0 il limite 1 ( ) lim n α x n f(x)dx n 0 esiste finito per ogni funzione f continua su [0, 1]? Si dimostri che, se f è infinitamente differenziabile in un intorno di 1, allora il limite ( ) esiste sempre, finito o infinito, per ogni α > 0 e se ne calcoli il valore. nfine, al variare di α > 0 e di p > 1, si trovino condizioni sufficienti che assicurino l esistenza del limite ( ) per ogni f L p (0, 1). 2. Si consideri il problema di Cauchy: { y (x) = max{x 2 y, x y 2 } y(x 0 ) = y 0 e si discutano, al variare del dato iniziale, esistenza, unicità e dominio massimale di esistenza delle soluzioni.

2 (B) 1. Dato il problema di Cauchy { y (x) = x y 2, x > 1, y(1) = 2, 1.1) approssimare la soluzione nel punto x = 1.2 utilizzando il metodo di Eulero-Cauchy e il metodo del secondo ordine y i+2 = y i + 2hf(x i+1, y i+1 ), i > 0, entrambi con passo h = 0.1; 1.2) sapendo che la soluzione esatta è y(x) = 2/x 2, verificare quale delle due approssimazioni è migliore motivando il risultato ottenuto. 2. Secondo la legge di Hooke la forza F (x) necessaria per allungare una molla di una lunghezza x è data da F (x) = k(x l), dove k è la costante elastica della molla e l è la lunghezza della molla a riposo. Nella tabella qui di seguito sono riportate le misure sperimentali relative a una particolare molla. x F (x) Descrivere una procedura per determinare la costante elastica della molla approssimando i dati con una opportuna retta di regressione e tradurre la procedura in un algoritmo. (C) 1. Si spezza un asta di lunghezza 1 in un punto scelto a caso, formando così due pezzi. Si determini la distribuzione della lunghezza del pezzo piú corto. 2. Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti ognuna con distribuzione Gamma con stesso parametro di scala. Determinare la distribuzione di Z = X (X+Y ). Enunciare le proprietà di questa distribuzione e discutere il suo uso nell inferenza statistica. (D) 1. Sia f l endomorfismo di R 3 definito da: f(x, y, z) = (5x + 3z, 5y 4z, 3x 4y + 5z). (a) Trovare una base di Kerf e una base di mf, e verificare che mf = (Kerf). (b) Dopo aver verificato che f è autoaggiunto (rispetto al prodotto scalare standard) determinare una base ortonormale di autovettori di f. 2. Sia f : R 4 Mat 2 (R) l applicazione definita dalla legge: ( ) a + b a b f(a, b, c, d) = 2c + d c + d Dimostrare che f è un isomorfismo di spazi vettoriali e determinare l isomorfismo inverso. (E) 1. Trovare un integrale primo delle equazioni differenziali: e y + sin y = 0 (1) y + y ɛy 3 = 0, (2) dove indica la derivata rispetto al tempo t. Quindi, assegnate le condizioni iniziali: y(0) = 0 ; y (0) = ɛ, Studiare le soluzioni del tipo piccole oscillazioni ;

3 confrontare per tempi lunghi le soluzioni delle due equazioni ; confrontare il periodo corrispondente alle soluzioni delle due equazioni. 2. È dato un cilindro circolare retto, rigido, di altezza h e base di raggio 2R, che presenta al suo interno una cavità sferica di raggio R, il cui centro C si trova sull asse del cilindro. Determinare il moto del corpo rigidosupponendo che: 1. esso sia libero e soggetto alla sola sollecitazione peso; 2. l atto di moto iniziale sia rotatorio con ω(0) = ω 0 (3) dove ω 0 //ζ, e ζ in dica l asse del cilindro, che all istante iniziale, t = 0, forma un angolo di π/4 con l asse z, parallelo all accelerazione di gravità g, di un riferimento fisso. Si discuta il moto nei due casi in cui C coincide con il centro del cilindro ed il caso in cui ciò non avviene e, per esempio, h = 6R e la distanza di C dal centro del cilindro è pari ad R.

4 DOTTORATO D RCERCA MODELL E METOD MATEMATC PER LA TECNOLOGA E LA SOCETÀ Esame di Ammissione XX ciclo Prova Scritta: 12 ottobre 2004 Compito N. 2 l candidato svolga uno solo dei seguenti temi: (A) llustrare la teoria delle serie di potenze e la sua utilità in diverse applicazioni. (B) L evoluzione di sistemi dinamici che compaiono in fisica, in chimica, in biologia o in economia è modellizzata da sistemi di equazioni differenziali. Limitandosi per semplicità al caso di una sola equazione differenziale, illustrare le caratteristiche dei metodi one-step per la soluzione del problema di Cauchy { y (x) = f(x, y) y(x 0 ) = y 0. soffermandosi in dettaglio su uno di tali metodi. (C) Catene di Markov: si espongano i risulatti principali ed alcune applicazioni. (D) Discutere i concetti essenziali relativi alle forme quadratiche, fornendo esempi concreti, applicazioni e i principali teoremi relativi al loro studio. (E) Vincoli,sollecitazioni vincolari e coordinate Lagrangiane. Derivazione delle equazioni di Lagrange. ************* Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi, scelti in tre aree diverse fra le cinque (A), (B), (C), (D), (E). (A) 1. Si consideri il problema di Cauchy: { y (x) = f(max{x, y}) y(x 0 ) = y 0, dove f è una funzione periodica dispari, continuamente differenziabile su R, e si discutano, al variare del dato iniziale, esistenza, unicità, limitatezza e dominio massimale di esistenza delle soluzioni. 2. Sia C() l insieme delle funzioni continue su un intervallo della retta reale con la struttura di spazio vettoriale su R munito della norma usuale. Provare che l applicazione C() C() (f, g) f(x)g(x) dx R è un prodotto scalare in C() e che la norma associata a tale prodotto scalare induce su C() una struttura di spazio metrico non completo. (B) 1. Si vuole approssimare la funzione g(x) tramite i valori della seguente tabella: i x i g i

5 1.1) Sapendo che g (2i) (x) = ( 1) i cos x, g (2i 1) = ( 1) i cos (x π/2), x [x 0, x 4 ], i = 1, 2, determinare quale dei polinomi interpolatori costruiti sui nodi {x 0, x 4 }, {x 0, x 2, x 4 }, {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 } rispettivamente, assicura che in x = 3.15 l approssimazione p n ( x) abbia 2 decimali esatti (si trascurino gli errori di arrotondamento); 1.2) per il polinomio individuato al punto precedente, dare una maggiorazione in modulo dell errore di propagazione. 2. La crescita di una popolazione su un breve periodo può essere modellata assumendo che il tasso di crescita sia proporzionale al numero di individui N(t) presenti al tempo t. Se si suppone che ci sia un immigrazione ad un tasso costante ν, l equazione differenziale che descrive il fenomeno è dn(t) dt = λn(t) + ν, la cui soluzione è N(t) = N 0 e λt + ν λ (eλt 1). Se N 1 è il numero di individui presenti dopo un anno, per determinare il tasso di nascita λ bisogna risolvere l equazione non lineare N 1 = N 0 e λ + ν λ (eλ 1). Descrivere una procedura per approssimare la soluzione dell equazione non lineare data e tradurre la procedura in un algoritmo. (C) 1. Si spezza un asta di lunghezza 1 in due punti scelti a caso, formando così tre pezzi. Si determini la distribuzione della lunghezza del pezzo piú corto. 2. Siano X e Y due numeri aleatori indipendenti con distribuzione normale standard. Determinare la distribuzione di Z = X 2 + Y 2 ed illustrare le sue proprietà e le applicazioni. (D) 1. Sia f un endomorfismo di R 4 avente autovalori 1, 1, 1, 3 e autospazi associati dati da, rispettivamente: V (1) = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 + x 3 2x 4 = 0}; V (3) = R(1, 2, 3, 0). (a) Discutere la diagonalizzabilità di f e, se possibile, determinare una base di R 4 costituita da autovettori di f. (b) Stabilire se f è autoaggiunto (rispetto al prodotto scalare standard). (c) Sia A la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R 4. Stabilire se A è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile C tali che C 1 AC = D. 2. Sia f l operatore di Mat 2 (R) definito da: ( ) ( a b a + d b c f = c d b c a + d (a) Trovare basi di Ker f e m f. (c) Scrivere il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori di f. È vero che f è diagonalizzabile? (E) 1. Dato un conduttore rigido unidimensionale di lunghezza L, si determini la temperatura u(x, t), per t > 0, sapendo che: a. gli estremi del conduttore sono a temperatura nulla, i.e. u(0, t) = u(l, t) = 0, t 0; b. all istante iniziale, t = 0, è assegnata la distribuzione di temperatura nel conduttore, i.e. ). u(x, 0) = 6sin( 9πx L ), 0 x L. (4)

6 DOTTORATO D RCERCA MODELL E METOD MATEMATC PER LA TECNOLOGA E LA SOCETÀ Esame di Ammissione XX ciclo Prova Scritta: 12 ottobre 2004 Compito N. 3 l candidato svolga uno solo dei seguenti temi: (A) Si diano le definizioni di integrale generale, particolare e singolare di un equazione differenziale ordinaria e si illustrino con esempi. (B) l problema dell approssimazione di dati o funzioni è di fondamentale importanza nella matematica applicata. llustrare in dettaglio il problema dell interpolazione polinomiale di una tabella di valori {x i, f i }, i = 0,..., n, specificando quali sono le differenze con l approssimazione ai minimi quadrati. (C) l processo di Poisson: si espongano i risulatti principali ed alcune applicazioni. (D) Definire la nozione di curvatura di curve e superfici dello spazio euclideo, illustrando i risultati principali e fornendo esempi significativi. (E) Sistemi conservativi ad uno o piú gradi di libertá. ************* Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi, scelti in tre aree diverse fra le cinque (A), (B), (C), (D), (E). (A) 1. Siano f 1 ed f 2 due funzioni continue su un intervallo della retta reale, linearmente indipendenti, e sia F l insieme di tutte le funzioni g continue su tali che f 1 (x)g(x) dx = f 2 (x)g(x) dx = 0. Si dimostri che, se f è una funzione continua su tale che f(x)g(x) dx = 0 per ogni g F, allora esistono due numeri reali k 1 e k 2 tali che f(x) = k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x) per ogni x. [Non è restrittivo supporre che f 1 2 (x) dx = 1, f 2 2 (x) dx = 1 e f 1(x)f 2 (x) dx = 0. Perché?] 2. Sia f una funzione continuamente differenziabile su R tale che per ogni x 0 si abbia: ( ) f (x) [f(x)] 2. Dimostrare che f(x) 0 per ogni x 0. Esistono funzioni continuamente differenziabile su R non identicamente nulle che verificano ( ) su tutto R?

7 (B) 1. Data la matrice 0 β β 2 C(β) = 0 β β , β R, 1.1) determinare per quali valori di β il procedimento iterativo { Xk+1 = C(β)X k + Q, k = 0, 1,..., X k R 3, Q = (1/2, 1, 1/2) T X 0 dato risulta sicuramente convergente; 1.2) posto β = 1/2, X 0 = (0, 0, 0) T, dare una stima del numero di iterazioni necessarie affinché l errore sia minore di Sotto opportune ipotesi semplificative, le oscillazioni di un pendolo possono essere descritte dall equazione differenziale del secondo ordine d 2 θ dt 2 g sin θ = 0, L dove L è la lunghezza del pendolo, g è l accelerazione di gravità e θ è l angolo tra il pendolo e la verticale. l problema è completato con le condizioni iniziali θ(t 0 ) = θ 0, θ (t 0 ) = v 0. Descrivere una procedura per approssimare la soluzione del problema differenziale dato e tradurre la procedura in un algoritmo. (C) 1. Siano X 1,..., X n variabili aleatorie reali indipendenti con distribuzione esponenziale di stesso parametro. Calcolare la densità di Y = ed illustrarne le sue proprietà e le applicazioni. X 1 (X X n) 2. Siano X 1, X 2,... variabili aleatorie reali indipendenti con distribuzione di Poisson con rispettivi parametri 1, 2,... Supponiamo che la serie dei parametri sia convergente. Dimostrare che S n = X X n converge in distribuzione quando n diverge. (D) 1. Sia W il sottospazio di R 3 avente equazione x y 3z = 0. a. Determinare un operatore f di R 3 tale che Ker f sia il sottospazio generato da (1, 0, 0), e inoltre f(v) = v per ogni v W. È vero che f è diagonalizzabile? È vero che f è autoaggiunto? b. Determinare un operatore autoaggiunto g di R 3 avente almeno un autovalore pari a 1 e tale che Ker g = W. 2. Supponiamo che le matrici A 1, A 2, A 3 (quadrate, reali, di ordine 3) abbiano polinomio caratteristico dato da, rispettivamente: p A1 (x) = x 3 x + 2, p A2 (x) = x 3 + 3x 2 + 4x 12, p A3 (x) = x 3 + 4x 2 4x. a. Discutere la diagonalizzabilità di ciascuna delle matrici in questione. c. Scrivere, se possibile, A 1 1 come combinazione lineare di, A 1, A 2 1, dove e la matrice identità. (E) 1. Dato un punto materiale di massa m, soggetto al solo peso e vincolato bilateralmente e senza attrito ad appartenere ad una circonferenza C nel piano verticale Π. a. Scrivere l equazione del moto; b. discutere, al variare di v 0 R, l andamento qualitativo del moto in corrispondenza alle condizioni iniziali che prescrivono come posizione iniziale quella più bassa, e velocità iniziale v(0) = v 0 i (orizzontale); i e k, indicano, rispettivamente, i versori degli assi x e z nel piano della circonferenza. c. calcolare il periodo T nel caso in cui il moto si riduca a piccole oscillazioni.