Prova scritta. 17/09/2007. TEMA n o 1

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1 Prova scritta. 17/09/2007 TEMA n o 1 Il candidato svolga uno dei seguenti temi: (A) Introdurre e discutere brevemente gli spazi di Lebesgue L p. (B) Illustrare le proprietà e le applicazioni della distribuzione normale unidimensionale e multidimensionale; considerare in particolare il caso bidimensionale. (C) Introdurre la forma canonica di Jordan per matrici quadrate a coefficienti complessi: definizioni, proprietà, risultati notevoli, generalizzazioni. (D) Meccanica lagrangiana per sistemi a vincoli olonomi e anolonomi. (E) Illustrare in dettaglio le caratteristiche dei metodi one-step espliciti per l approssimazione numerica del problema di Cauchy specificando i concetti di convergenza, consistenza e stabilità per tali metodi. Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi scelti in (almeno) tre aree diverse indicate con le lettere (A),(B),(C),(D),(E) motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta. 1. Determinare le (eventuali) funzioni u C 2 ([0, π ]) che sono estremi del funzionale 4 π( ) 4 F(u) = (u ) 2 + 4u 2 + 8u dx 0 (A) soggette alle condizioni al bordo u(0) = 1 e u( π 4 ) = Risolvere il seguente problema differenziale ( t u)(x, t) ( x 2 u)(x, t) = 0, (x, t) (0, π) (0, ) u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = u 0 (x), x [0, π] dove u 0 (x) = { 2x π x [0, π 2 ) 2 2x π x [ π 2, π]. Discutere poi la convergenza della serie di Fourier che rappresenta la soluzione e la regolarita della somma. 1

2 (B) 1. I tempi di funzionamento fino al guasto di due dispositivi d 1 e d 2, di differente qualità, sono due numeri aleatori X e Y. Assumendo X e Y stocasticamente indipendenti e con distribuzione esponenziale di parametri λ X = 1, λ Y = 1 3, calcolare la probabilità p che d 1 abbia una durata maggiore di d 2. Inoltre, assumendo che i dispositivi entrino in funzione nello stesso istante, calcolare la densità di probabilità del numero aleatorio T pari alla distanza temporale tra i due istanti di guasto X e Y. 2. In un ufficio aperto al pubblico ci sono tre sportelli, in cui vengono gestiti tre differenti tipi di pratiche. Siano X, Y, Z i numeri aleatori di clienti che si presentano in un fissato intervallo di tempo ai tre sportelli. Assumendo X, Y, Z stocasticamente indipendenti e con distribuzione di Poisson di parametri λ X = 2, λ Y = 4, λ Z = 3, determinare la previsione e la varianza di X condizionate all ipotesi che sia vero l evento (X + Y + Z = 10). (C) 1. Calcolare la forma di Jordan J della matrice A = e una matrice P tale che P 1 AP = J 2. Sia U una matrice n n unitaria. Ricordiamo che una matrice B M n (n n a coefficienti complessi) si dice unitariamente equivalente ad A M n se esiste una matrice unitaria U M n tale che B = U AU Dimostrare che questa è una relazione di equivalenza su M n. Dimostrare inoltre che se A = (a ij ) e B = (b ij ) sono unitariamente equivalenti allora n b ij 2 = i,j=1 n a ij 2 i,j=1 Verificare infine che le matrici ( )

3 e ( ) sono simili ma non unitariamente equivalenti. (D) 1. Un cilindro cicolare retto omogeneo pesante, di massa m e altezza h, si muove soggetto alla sola forza peso mantenendo fisso un punto del suo asse rispetto a un riferimento terrestre. Si determini la lagrangiana, si scrivano le equazioni del moto di Lagrange e si studi l esistenza di integrali primi del moto. Si discutano i possibli moti nel caso in cui il punto fisso è il centro di massa del cilindro. 2. Si consideri un sistema meccanico unidimensionale costituito da un elemento di massa unitaria sottoposto all azione di una forza conservativa di energia potenziale V (x) = (1 x 2 )(x + 2) 2. Si determinino le posizioni di equilibrio, se ne studi la stabilità e si disegnino le orbite nel piano delle fasi. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni di equilibrio stabile. (E) 1. Una persona compie una passaggiata casuale, facendo un passo a sinistra o a destra a caso lungo una retta. Quando raggiunge un estremo, si ferma. Ogni valore x k rappresenta la probabilità di raggiungere l estremo sinistro partendo dalla posizione k. Se definiamo x 0 = 1 e x N = 0, otteniamo il sistema lineare 2x 1 x 2 = 1 x i 1 + 2x i x i+1 = 0, i = 2,...,N 1 x N 1 + 2x N = 0. Descrivere una procedura adatta ad approssimare la soluzione del sistema lineare dato e tradurre la procedura in un algoritmo. 2. Data la generica formula di quadratura 0 1 f(x) dx = 1 6 f(x 0) f(x 1) + c 3 f(x 2 ) + R(f), i) scegliere il coefficiente c 3 e i nodi {x 0, x 1, x 2 } in modo da ottenere una formula di quadratura chiusa che abbia grado di precisione almeno 2; 3

4 ii) dare una maggiorazione in modulo dell errore di troncamento che si commette approssimando I = 0 (x + 3) log(x + 3) dx con la formula di quadratura ottenuta al 1 punto i. 4

5 TEMA n o 2 Il candidato svolga uno dei seguenti temi: (A) Discutere ed illustrare con esempi la possibilità dell inversione di due operazioni di limite. (B) La funzione caratteristica di un numero aleatorio: proprietà, applicazioni, aspetti teorici. (C) Presentare i risultati notevoli (Teorema di Schur), le definizioni e alcuni esempi per matrici reali ortogonalmente simili e matrici complesse unitariamente simili. (D) Moto del corpo rigido con un punto fisso. (E) Illustrare in dettaglio le caratteristiche dei metodi iterativi per l approssimazione della soluzione di un sistema lineare fornendo anche qualche esempio di tali metodi. Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi scelti in (almeno) tre aree diverse indicate con le lettere (A),(B),(C),(D),(E) motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta. 1. Determinare le (eventuali ) funzioni u C 2 ([0, π ]) che sono estremi del funzionale 4 F(u) = 1 0 (A) ) 5 ((u ) 2 + u 2 dx soggette alle condizioni al bordo u(0) = 1 e u(1) = 1 e al vincolo 1 (2u(x) 2e+4)dx = Risolvere il seguente problema differenziale ( t u)(x, t) ( x 2 u)(x, t) = 0, (x, t) (0, π) (0, ) u x (0, t) = u x (π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = u 0 (x), x [0, π] dove u 0 (x) = 2, x [0, π 2 ) 1 x = π 2 0 x ( π 2, π]. Discutere poi la convergenza della serie di Fourier che rappresenta la soluzione e la regolarita della somma. 5

6 (B) 1. Una persona arriva ad un capolinea di autobus nell istante in cui, in base all orario indicato, dovrebbero partire due autobus di due linee differenti A e B. Tale persona prenderà il primo dei due autobus in partenza. Siano X e Y i ritardi aleatori (in un opportuna unità di misura) dei due autobus, rispetto all istante teorico di partenza. Assumendo la distribuzione congiunta del vettore aleatorio (X, Y ) uniforme sul rettangolo R = [0, 2] [0, 4], calcolare la densità di probabilità e la previsione dell istante aleatorio Z in cui la persona parte dal capolinea. 2. Un sistema S è costituito da un dispositivo d 1 che funziona per un tempo aleatorio X con distribuzione esponenziale di parametro λ. Un altro sistema Σ è costituito da due dispositivi in parallelo d 2 e d 3, con d 3 che entra in funzione nell istante in cui si guasta d 2. I tempi aleatori di funzionamento di d 2, d 3 sono due numeri aleatori Y, Z stocasticamente indipendenti e con uguale distribuzione esponenziale di parametro 2λ; pertanto la durata fino al guasto di Σ è il numero aleatorio T = Y + Z. Verificare che il tempo medio di funzionamento di S e Σ è lo stesso. Inoltre, considerate le funzioni di sopravvivenza di X e T, S X (t) = P(X > t), S T (t) = P(T > t), stabilire quale delle seguenti affermazioni è valida: (i) S X (t) > S T (t), t > 0; (ii) S X (t) < S T (t), t > 0; (iii) S X (t) > S T (t), per t maggiore di un opportuno valore positivo t Data la matrice (C) A = determinare una matrice ortogonale P tale che P T AP sia diagonale. 2. Mostrare che matrici normali con lo stesso polinomio caratteristico sono simili. (D) 1. Un disco omogeneo pesante, di massa m e raggio r, rotola senza strisciare sul bordo interno di una guida circolare di raggio R > r mantenendosi nel piano verticale su cui giace la guida. Si determinino le posizioni di equilibrio, se ne studi la stabilità e si discutano le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. 2. Si discutano i possibili moti di un elemento di massa m vincolato a muoversi su una superficie sferica liscia. 6

7 (E) 1. La pressione p richiesta per affondare in uno strato di sabbia ad una profondità d un piatto circolare di raggio r può essere approssimata da un equazione del tipo p(r) = k 1 e k 2r + k 3 r, dove k 1, k 2 > 0 e k 3 sono costanti che dipendono da d e dalla compattezza della sabbia ma non da r. Sapendo che per affondare di 30 cm nella sabbia bagnata un piatto di raggio 2.5 cm è richiesta una pressione di 0.78 kg/cm 2, per affondare un piatto di raggio 5 cm è richiesta una pressione di 0.93 kg/cm 2 e per affondare un piatto di raggio 7 cm è richiesta una pressione di 1.16 kg/cm 2, descrivere una procedura per approssimare i valori k 1, k 2 e k 3 e tradurre la procedura in un algoritmo. Si assuma che lo strato sabbioso sia più profondo di 30 cm. 2. Data la tabella i x i f i si vuole approssimare f nell intervallo [0, 1] con il polinomio interpolatore p 2 di grado 2, costruito su 3 nodi equispaziati scelti opportunamente tra quelli dati in tabella. i) Sapendo che f (x) = (x 2)e x, dare una maggiorazione del modulo dell errore di troncamento che si commette approssimando f(0.2) con p 2 (0.2). ii) Dare una maggiorazione in modulo dell errore di propagazione in

8 TEMA n o 3 Il candidato svolga uno dei seguenti temi: (A) Discutere ed illustrare con esempi alcuni tipi di convergenza della serie di Fourier. (B) Aspetti dinamici nel trattamento probabilistico dell incertezza: ruolo delle probabilità condizionate, teorema di Bayes. (C)Presentare le definizioni, gli esempi e i risultati principali relativi alle matrici hermitiane definite positive. (D) Moti centrali e leggi di Keplero. (E)Illustrare in dettaglio le caratteristiche delle formule di quadratura interpolatorie fornendo anche qualche esempio di tali formule. Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi scelti in (almeno) tre aree diverse indicate con le lettere (A),(B),(C),(D),(E) motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta. (A) 1. Calcolare (col metodo dei residui ) l integrale: dove n N, n x 3 x n + 1 dx 2. Risolvere la seguente equazione: dove: λ 1 2 u(x) λ + u(y)e x y dy = e x e x R (usare la trasformata di Fourier e le sue proprietà). (B) 1. Un individuo effettua, con due differenti apparecchiature A e B, delle analisi separate per l accertamento di due possibili malattie m 1 ed m 2. Siano definiti gli eventi: H = l individuo è affetto dalla malattia m 1, K = l individuo è affetto dalla malattia m 2, E 1 = le analisi effettuate con l apparecchiatura A sulla malattia m 1 danno esito positivo, E 2 = le analisi effettuate con l apparecchiatura B sulla malattia m 2 danno esito positivo. L affidabilità delle apparecchiature è rappresentata dalle seguenti probabilità: P(E 1 H) = P(E 2 K) = α, P(E 1 H c ) = P(E 2 K c ) = β. 8

9 H e K si assumono stocasticamente indipendenti con P(H) = P(K) = p. Inoltre, si fanno le seguenti valutazioni di indipendenza condizionata: P(E 1 E 2 F G) = P(E 1 F)P(E 2 G); F {H, H c }, G {K, K c }. Supposto che le analisi abbiano dato entrambe esito positivo, calcolare in funzione di α, β, p la probabilità che l individuo sia realmente affetto dalle due malattie, esaminando in particolare il caso p = 0.01, α = 0.99, β = Due oggetti A e B, posizionati nell origine di una retta orientata, a partire da un certo istante si spostano sulla retta con velocità aleatorie (in km/h) X e Y. Sia U la differenza aleatoria tra l ascissa di A e quella di B dopo un ora. Assumendo che, (x, y) R 2, la densità congiunta del vettore aleatorio (X, Y ) sia f(x, y) = 1 x 2π e 2, calcolare la distribuzione di probabilità di U e la probabilità p dell evento (U > 2). (N.B.: ricordiamo che, indicando con Φ la funzione di ripartizione di una distribuzione normale standard, si ha Φ(1) ). 2 +y 2 (C) 1 Se A è una matrice quadrata non singolare, dimostrare che AA è definita positiva. Dimostrare inoltre che se H è una matrice hermitiana definita positiva allora esiste un unica matrice S tale che S 2 = H Infine se A è non singolare dimostrare che esiste un unica matrice hermitiana H ed un unica matrice unitaria U tale che A = HU. 2. Data la superficie quadrica di equazione cartesiana 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 + 4xy + 4xz + 4yz 3 = 0 riconoscere che è una quadrica non degenere e individuarne il tipo (iperboloide, ellissoide, etc.). (D) 1. Un cono cicolare retto omogeneo pesante, di massa m e altezza h, è vincolato a mantenere il suo vertice fisso nell origine di un riferimento terrestre Oxyz. Sul centro del cerchio di base agisce una forza elastica di costante k e di centro C = (0, l, 0). Si scrivano le equazioni del moto, si determinino le posizioni di equilibrio e se ne studi la stabilità. 9

10 2. Una corda tesa di lunghezza π oscilla in un piano mantenendo fissi i suoi estremi sull asse x; l evoluzione del profilo u(t, x) è descritta dall equazione 2 u x 2 2 u t 2 = x2 sin 5t Si determini il profilo agli istanti t > 0 supponendo che all istante iniziale la corda giaccia lungo l asse x e i suoi elementi sono in quiete. (E) 1. Il modello preda-predatore, studiato da V. Volterra agli inizi del 900, è descritto dal sistema di equazioni differenziali { y (x) = α y(x) β y(x) z(x), z (x) = γ z(x) + δ z(x) y(x), dove y(x) rappresenta la popolazione preda e z(x) la popolazione predatore. Posto α = 2, β = 1, γ = 1/2, δ = 1/4 e condizioni iniziali y(0) = 3, z(0) = 3, descrivere una procedura adatta ad approssimare la soluzione del sistema differenziale dato e tradurre la procedura in un algoritmo. 2. Data la matrice A(γ) = γ i) studiare come varia il numero di condizionamento in norma infinito per 0 < γ < 3; ii) posto γ = 1, separare un intervallo di ampiezza non superiore a 2 che contenga l autovalore di modulo massimo di A(1). 10