DOTTORATO DI RICERCA. Esame di Ammissione XIX ciclo. Prova Scritta: 17 ottobre Compito N. 1

Transcript

1 DOTTORATO DI RICERCA MODELLI E METODI MATEMATICI PER LA TECNOLOGIA E LA SOCIETÀ Esame di Ammissione XIX ciclo Prova Scritta: 17 ottobre 2003 Compito N. 1 Il candidato svolga uno solo dei seguenti temi: (A) In IR 3 è data la curva C di equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), z = z(t) essendo t un parametro reale. Dare la definizione di curva regolare, di retta tangente e di piano osculatore a C in un suo punto P 0 = P(t 0 ). Supposto poi che t sia un ascissa curvilinea per C, dare la definizione e le formule che esprimono la curvatura e la torsione, nonchè il triedro mobile (versori tangente, normale principale e binormale). Scritte quindi le formule di Frenet-Serret, enunciare e dimostrare il teorema di rigidità per le curve di IR 3. (B) Illustrare, anche con esempi applicativi, il ruolo delle probabilità condizionate nel ragionamento probabilistico e nell apprendimento dall esperienza. (C) Enunciare un teorema di esistenza locale per equazioni differenziali ordinarie del prim ordine. Chiarificare con alcuni esempi la necessità delle ipotesi del teorema. (D) Il principio dell effetto giroscopico e le sue applicazioni. (E) Il candidato illustri i principali concetti relativi allinterpolazione polinomiale e all approssimazione ai minimi quadrati discreti, evidenziandone le principali differenze.

2 Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi, scelti in tre aree diverse fra le cinque (A), (B), (C), (D), (E). (A) 1. Data l applicazione bilineare simmetrica b : IR 3 IR 3 IR definita, per v = (x 1, x 2, x 3 ) e w = (y 1, y 2, y 3 ), da b (v,w) = 4x 1 y 1 + kx 1 y 2 2x 1 y 3 + kx 2 y 1 3x 2 y 2 x 2 y 3 2x 3 y 1 x 3 y 2 determinare al variare del parametro reale k una base b-ortogonale di IR 3 e gli indici di positività, negatività e nullità di b. Dedurne se esistono valori di k per cui b è non degenere e per cui b è un prodotto scalare definito positivo. 2. Spazio euclideo. Riferimento cartesiano RC(O; i, j, k). Sono dati due punti dello spazio P(t, t 2, t 3 ) e Q(t, 2t 2, 3t 2 ), con t parametro reale. Determinare equazioni parametriche e cartesiana della superficie rigata S descritta dalla retta r congiungente P e Q al variare di t. Verificare che l origine O del riferimento appartiene ad S e calcolare l equazione del piano α tangente ad S in O. Determinare se O è un punto ellittico, parabolico o iperbolico di S. Dire inoltre se vi sono punti singolari su S e giustificare la risposta. (B) 1. Da un lotto di 9 componenti, contenente un numero incognito di pezzi difettosi, si effettuano estrazioni con restituzione. Sia H r l evento nel lotto vi sono r pezzi difettosi e si assuma P(H r ) = cost, r = 0, 1,..., 9. Inoltre, sia E i l evento l i-mo pezzo estratto è non difettoso. Verificare che gli eventi E i sono equiprobabili e che risulta P(E 1 E 2 ) > P(E 1 )P(E 2 ). Calcolare, infine, la probabilità condizionata P(E 1 E 2 ). 2. Una persona deve effettuare due telefonate, impiegando un tempo aleatorio X per la prima telefonata ed Y per la seconda. Assumendo X ed Y stocasticamente indipendenti e con distribuzione uniforme nell intervallo [1, 3], calcolare la varianza σ 2 Z e la funzione di ripartizione F Z (z) del tempo aleatorio totale Z impiegato per le due telefonate. (C) 1. Dire per quali numeri reali x converge la serie n + x nx. n=0 n! 2. Sia a IR e sia u a la soluzione massimale di { u = u 2 cos u u(0) = a. Provare che u a è definita su tutto IR. Descrivere la funzione a lim t + u a(t) lim t u a(t).

3 (D) 1. Una lamina rigida omogenea pesante quadrata di lato a e massa m è contenuta inizialmente in un piano verticale π. L atto di moto iniziale è rotatorio attorno ad un asse esterno alla lamina ed appartenente a π. Studiare il moto in un riferimento solidale alla Terra. 2. Una sbarra rigida omogenea pesante AB di lunghezza l e massa m ha gli estremi vincolati bilateralmente a due guide rettilinee lisce x e y tra loro perpendicolari e appartenenti ad un piano verticale. Sulla sbarra agisce, oltre al peso e alle reazioni vincolari, una forza elastica di costante elastica K, applicata al punto A (che si suppone appartenere alla guida orizzontale x), ed avente centro nel punto O=x y. Studiare il moto nel riferimento (non inerziale) che ruota con velocità angolare costante ω τ attorno alla guida verticale y. (E) 1. Data la seguente famiglia di equazioni, dipendente dai parameti reali a e c: (1) f(x) = a ln(x + 1) 1 8 cos(x) 3 4 x + c 1.1 individuare i valori dei parametri per cui (1) ammetta la soluzione ξ = 0; 1.2 considerato per c il valore trovato al punto precedente e posto a = 1, verificare se la 8 funzione di iterazione ϕ(x) = f(x) + x soddisfa in [-0.5, 0.5] le condizioni sufficienti per generare, con opportuno punto iniziale, una successione di approssimazioni convergente a ξ = 0; 1.3 senza eseguire i calcoli, descrivere il comportamento della successione delle approssimazioni (monotonia, ordine di convergenza,). 2. E assegnata la seguente matrice L triangolare inferiore L = verificare se L è definita positiva e costruire la matrice A = LL T, 2- dimostrare che A è definita positiva, senza eseguire calcoli e motivando le risposte, 3- costruire la matrice B = P 23 A, dove P 23 è matrice di permutazione, e verificare se B è fattorizzabile con il metodo di Choleski o con il metodo di Banachiewicz.

4 DOTTORATO DI RICERCA MODELLI E METODI MATEMATICI PER LA TECNOLOGIA E LA SOCIETÀ Esame di Ammissione XIX ciclo Prova Scritta: 17 ottobre 2003 Compito N. 2 Il candidato svolga uno solo dei seguenti temi: (A) Sia b : IR n IR n IR un applicazione bilineare simmetrica e sia q : IR n IR la forma quadratica associata. Definire gli indici di positività, negatività e nullità di b. Enunciare e dimostrare il teorema di diagonalizzazione di b. Trattare brevemente il caso complesso, evidenziandone le differenze dal caso reale. (B) Illustrare, anche mediante esempi ed applicazioni, il diverso ruolo che svolgono, nel ragionamento probabilistico, le nozioni di indipendenza logica e indipendenza stocastica. (C) Dare le principali definizioni di convergenza di funzioni misurabili, illustrandone le mutue relazioni. (D) Moti rigidi sferici, moti alla Poinsot. (E) Il candidato illustri i principali concetti relativi ai metodi iterativi per la soluzione dei sistemi lineari, con particolare riferimento ai metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. ************* Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi, scelti in tre aree diverse fra le cinque (A), (B), (C), (D), (E). (A) 1. Spazio euclideo. Riferimento cartesiano RC(O; i, j, k). Verificare che la curva C di equazioni parametriche x = e t, y = e t cost, z = sin 2 t, t IR, è interamente contenuta nella superficie S di equazione z = 1 x 2 y 2. Detto P 0 il punto corrispondente al valore t 0 = 0 del parametro, determinare il piano α osculatore a C in P 0 ed il piano β tangente ad S in P 0. Valutare il coseno dell angolo tra i due piani.

5 2. In IR 3 dotato del prodotto scalare standard è dato l operatore T definito da T(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 + k 2 x 3, x 1 + x 2 + (k 2)x 3, (2 k)x 1 x 2 + x 3 ) con k parametro reale. Determinare se esistono valori di k per cui T è simmetrico. Per tali valori di k, determinare una base ortonormale di IR 3 costituita da autovettori di T. Verificare inoltre se esistono valori di k per cui T non è invertibile. (B) 1. In un tratto roccioso c è un masso in posizione pericolante che rischia di staccarsi e cadere in basso. Con riferimento ad un intervallo di tempo di ampiezza fissata, la probabilità che il masso si stacchi e cada in basso, se la quantità di pioggia che cade nell intervallo supera una certa soglia q, è valutata α 1. L analoga probabilità, quando la quantità di pioggia nell intervallo non supera q, è valutata α 2. La probabilità che, in tale intervallo, la quantità di pioggia superi q è valutata β. Calcolare, per α 1 = 1 ed α = 1, l insieme I dei possibili valori della probabilità 1000 p che il masso si stacchi e cada in basso nell intervallo di tempo considerato. Inoltre, supposto che in tale intervallo il masso si sia staccato cadendo in basso, calcolare per quali valori di β risulta più probabile che la quantità di pioggia abbia superato q. 2. Un sistema S è costituito da 5 dispositivi, D 1,...,D 5, posti in serie, che entrano in funzione nell istante zero. La durata (misurata in un opportuna unità di misura) del dispositivo D i è un numero aleatorio T i con distribuzione esponenziale di parametro λ i = 2, i = 1,...,5. Assumendo T 1,..., T 5 stocasticamente indipendenti, calcolare la previsione m del tempo aleatorio X di funzionamento di S. Verificare, inoltre, che risulta P(y < X x + y X > y) = 1 e 10x, x 0, y 0. (C) 1. Sia f : IR IR una funzione tale che ogni punto di IR è un punto di minimo relativo. (i) provare che se f è continua allora f è costante, (ii) mostrare che questo non è vero se si tralascia l ipotesi di continuità. 2. Sia f : IR IR una funzione che soddisfa f(x) f(y) C x y α per qualche C > 0 e 0 α < 1. Provare che esiste almeno una soluzione di f(x) = x. (D) 1. Una sbarra rigida omogenea pesante di lunghezza l e massa m è vincolata nell estremo A mediante una cerniera cilindrica liscia ad asse orizzontale. All istante iniziale t 0 la sbarra è orizzontale e l atto di moto è nullo. Calcolare, all istante iniziale t 0, la somma R v della sollecitazione vincolare e il suo momento totale M v A rispetto ad A. 2. Un elemento pesante di massa m è appoggiato senza attrito all interno di una superficie cilindrica circolare retta fissa rispetto alla Terra e avente le generatrici orizzontali. Supposto che all istante iniziale l elemento occupi uno dei punti appartenenti alla generatrice più bassa con

6 velocità iniziale v 0 ortogonale alle generatrici, calcolare l intensità minima della velocità iniziale affinchè il moto sia progressivo. (E) 1. Data la funzione e i nodi f(x) = x 2 x 3, x [ 1, 1] x 0, x 1 = 0, x 2 = x 0 ; x 0 [ 1, 0) 1.1 scrivere l espressione del polinomio interpolatore di secondo grado p 2 (x) relativo ai nodi assegnati, 1.2 determinare il nodo x 0 in modo che risulti p 2 ( 1) = 1, con il valore di x 0 trovato al punto precedente, maggiorare il modulo dell errore di troncamento per x [ 1, 1 ], e per x [ 1, 1], commentando i risultati Data la seguente equazione alle differenze lineare omogenea, dove a e b sono interi positivi e k 0, y k+2 2ay k+1 + b 2 y k = trovare la soluzione generale dell equazione, 2.2 posto a = 5, determinare b in modo che a 2 b 2 sia il quadrato di un intero positivo, 2.3 con a = 5 e con il valore di b determinato al punto precedente, trovare la soluzione particolare dell equazione data, soddisfacente le condizioni y 0 = 0, y 1 = 10.

7 DOTTORATO DI RICERCA MODELLI E METODI MATEMATICI PER LA TECNOLOGIA E LA SOCIETÀ Esame di Ammissione XIX ciclo Prova Scritta: 17 ottobre 2003 Compito N. 3 Il candidato svolga uno solo dei seguenti temi: (A) In IR 3 è data la superficie S di equazioni parametriche x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) con (u, v) IR 2. Dare la definizione di curvatura gaussiana K di S, specificando le condizioni necessarie alla sua esistenza. Stabilire i legami fra K e le curvature principali di S. Enunciare e dimostrare per sommi capi il Theorema Egregium di Gauss. (B) Indipendenza stocastica e incorrelazione di numeri aleatori: illustrare, anche mediante esempi, controesempi e casi particolari, la relazione che sussiste tra tali proprietà. (C) Enunciare e dare una breve dimostrazione del teorema del Dini, corredandola con esempi e controesempi. (D) Integrali primi delle equazioni di Lagrange. (E) Il candidato illustri i principali concetti relativi allintegrazione numerica, evidenziando la differenza tra formule di Newton-Cotes e formule Gaussiane. ************* Successivamente il candidato risolva almeno tre dei seguenti esercizi, scelti in tre aree diverse fra le cinque (A), (B), (C), (D), (E). (A) 1. Verificare che le matrici A = , B = hanno gli stessi autovalori ma non sono simili

8 2. Spazio euclideo. Riferimento cartesiano RC(O; i, j, k). Data l elica E di equazioni parametriche x = 3 5 cost, y = 3 5 sin t, z = 4 5 t, t IR, verificare che il parametro t coincide con un ascissa curvilinea per E. Determinare la curvatura, la torsione ed il triedro fondamentale (versori tangente, normale principale e binormale) di E nel suo punto P 0 ( 3, 0, 0). 5 (B) 1. Un lotto è costituito da 15 componenti, dei quali un numero aleatorio X sono difettosi. Siano definiti gli eventi A = il lotto contiene al massimo 5 pezzi difettosi ; B = il lotto contiene almeno 10 pezzi difettosi ; C = il lotto contiene un numero pari di pezzi difettosi. Stabilire se C è logicamente indipendente da A e B e determinare i costituenti (o casi possibili) relativi agli eventi A, B, C. Infine verificare che, per opportuni valori delle probabilità dei costituenti, risulta P(A) = P(B) = 3 8, P(C) = Una persona, a partire dall istante zero, si mette in attesa ad una fermata per prendere il primo fra 4 possibili autobus (di 4 linee differenti) che passano per tale fermata. Siano T 1,..., T 4 i rispettivi tempi aleatori fino all arrivo di ciascuno dei 4 autobus. Supponendo T 1,...,T 4 stocasticamente indipendenti e con distribuzione uniforme nell intervallo [0, 1], calcolare il tempo medio di attesa di tale persona fino all arrivo del primo autobus. (C) 1. Sia f : IR IR una funzione Lipschitziana di costante L. Provare che per ogni r > L la funzione f r (x) = rx + f(x) è biiettiva. 2. Sia a IR e sia u a la soluzione massimale di { u = u 2 sin u u(0) = a. Provare che u a è definita su tutto IR. Descrivere la funzione (D) a lim t + u a(t) lim t u a(t). 1. Una sbarra rigida omogenea pesante di lunghezza l e massa m è vincolata senza attrito ad un asse fisso verticale. L angolo (costante) tra la sbarra e l asse è π e il baricentro G della sbarra 4 appartiene all asse stesso. L atto di moto iniziale è rotatorio con velocità angolare ω 0 attorno

9 all asse fisso. Calcolare la somma R v della sollecitazione vincolare e il suo momento totale M v G rispetto a G durante il moto. 2. Un elemento P di massa m è vincolato ad una guida rettilinea contenuta in un piano orizzontale O,xy che ruota uniformemente, rispetto alla Terra, con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale z. La guida passa per il punto O e il vincolo è privo di attrito. Sull elemento agisce, oltre alla reazione vincolare, una forza elastica con centro nel punto O e costante elastica K. Nel riferimento inerziale solidale alla Terra individuare le eventuali posizioni di equilibrio e scrivere le equazioni del moto. (E) 1. Dato il seguente problema di Cauchy y = 2 y, y(1) = 1, 1- mediante il metodo di Heun, con passo h = 0.01, calcolare i valori approssimati di y(1 + h), y(1 + 2h), 2- caratterizzare il seguente metodo y i+3 = y i+1 + 2y i + h(λf i+2 + µf i ), verificando se i valori trovati al punto precedente sono sufficienti per innescarlo con qualsiasi valore di λ e µ, 3- determinare λ e µ in modo che il metodo risulti: consistente, zero stabile e abbia lo stesso ordine di convergenza del metodo di Heun. 2. Sono assegnate le seguenti matrici dipendenti da parametri reali A(α) = α , B(β, γ) = β 1 2 γ verificare per entrambe se possono essere definite positive, specificando per quali valori dei parametri ciò avviene; 2.2 individuare per quali valori di β e γ la matrice B(β, γ) oltre ad essere definita positiva ha l autovalore di modulo massimo isolato.