a) T b) T X x y c) T 1. Esercizio

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1 1. Esercizio Nella figura sotto, la massa M è vincolata a muoversi orizzontalmente su rulli privi d'attrito. La molla ha caratteristica lineare di costante elastica k. Un pendolo costituito da un'asta di lunghezza L, senza peso, alla cui estremità vi è una massa m, è attaccato alla massa M. Si scrivano le equazioni del moto del sistema dato nei seguenti spazi di configurazione: x X a) T x X m b) T x m c) T 2. m x X x y Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e Rank( A) a. Decomposizione in valori singolari di A b. Angoli di Eulero: a cosa servono e cosa sono. c. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l equazione

2 A. Esercizio Si consideri il doppio pendolo della figura a lato che si muove nel piano (sotto l azione della gravità). I link di collegamento, di lunghezze L1 ed L2 siano privi di massa. Si scrivano le equazioni del moto per i modelli nei seguenti spazi di configurazione: a. q 1 2 b. q x x T T (l asse x ha origine nella boccola fissa ed è orizzontale, diretto verso destra nella figura e l asse y, di conseguenza, è verticale e diretto verso il basso) Determinare, pertanto, per i suddetti modelli, le rispettive matrici di massa ed i rispettivi vettori delle forze esterne, commentando opportunamente i vari passi del procedimento che si seguirà. B. a. Domanda Si esponga la teoria delle rotazioni 1. partendo dalle Interpretazioni attiva e passiva della matrice di rotazione 2. indicando le condizioni necessaria e sufficiente affinché una matrice sia di rotazione 3. esprimendo l orientamento di un corpo rigido tramite gli angoli di Eulero 4. determinando l asse di rotazione ed il relativo angolo corrispondente ad una certa terna di angoli di Eulero b. Domanda Si enunci il principio di Gauss e lo si illustri in maniera chiara ed estesa precisando a cosa serve, a chi e quando si applica, ecc. fino alla definizione (senza dimostrazione) dell equazione fondamentale UK.

3 Esercizio Si consideri una particella che si muove nello spazio euclideo 2-dimensionale in cui è fissato un riferimento Oxy. Le componenti della forza impressa agente sulla particella siano Fx ed F y. La velocità t della particella abbia componenti x e y tali che x t y e con 0. Si assegnino condizioni iniziali opportune all istante t t0 c. Si scrivano le equazioni del moto per t t0 d. SI determinino le forze di vincolo necessarie a guidare la particella. Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e Rank( A) d. Equazioni di Lagrange: dimostrarle a partire dal principio di D Alembert e. Angoli di Eulero: a cosa servono e cosa sono (n.b.; non è richiesta la teoria delle rotazioni). f. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l equazione 3/8

4 Domanda Si esponga la teoria delle rotazioni 5. partendo dalle Interpretazioni attiva e passiva della matrice di rotazione 6. indicando le condizioni necessaria e sufficiente affinché una matrice sia di rotazione 7. esprimendo l orientamento di un corpo rigido tramite gli angoli di Eulero 8. determinando l asse di rotazione ed il relativo angolo corrispondente ad una certa terna di angoli di Eulero Domanda Si enunci il principio di Gauss e lo si illustri in maniera chiara ed estesa precisando a cosa serve, a chi e quando si applica, ecc. fino alla definizione (senza dimostrazione) dell equazione fondamentale UK. 4/8

5 Esercizio Si consideri una particella che si muove nello spazio euclideo 2-dimensionale in cui è fissato un riferimento Oxy. Le componenti della forza impressa agente sulla particella siano Fx ed F y. La velocità t della particella abbia componenti x e y tali che x t y e con 0. Si assegnino condizioni iniziali opportune all istante t t0 e. Si scrivano le equazioni del moto per t t0 f. SI determinino le forze di vincolo necessarie a guidare la particella. Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e Rank( A) g. Equazioni di Lagrange: dimostrarle a partire dal principio di D Alembert h. Angoli di Eulero: a cosa servono e cosa sono (n.b.; non è richiesta la teoria delle rotazioni). i. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l equazione 5/8

6 Esercizio 1. Determinare le equazioni del moto del sistema in figura costituito dalle due particelle m 1 ed m 2 vincolate a stare a distanza L e soggette rispettivamente alle forze esterne F t e F t Determinare le forze di reazione dei vincoli agenti su ogni particella nello spazio di T configurazione x x1 y1 z1 x2 y2 z2 e dimostrare che sono uguali ed opposte. Le uniche forze esterne applicate sono quelle dovute all azione del campo gravitazionale. 3. Cosa accade se le due particelle non sono più vincolate ad avere una distanza fissa bensì Lt L0 pe t? I parametri L 0, p e sono tutte costanti positive e p L0. 4. Scrivere le equazioni del moto di questo sistema vincolato. 5. Assegnare le condizioni iniziali opportune perché il problema sia ben posto. a. Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e Rank( A) 1. Decomposizione in valori singolari di A 2. Dare la definizione e l espressione della MP-inversa A 3. Equazioni del moto di Lagrange: come ci si arriva? 4. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l equazione b. Corpo rigido con un punto fisso (orientamento) 1. Angoli di Eulero 2. delle rotazioni 6/8

7 Esercizio 1) Si considerino due particelle di masse m 1 ed m 2 rispettivamente disposte nei centri di due cerchioni uniformi privi di massa, aventi entrambi raggio r (vedi figura). Le masse sono collegate da una barra inestensibile priva di peso di lunghezza L come mostrato sotto. I cerchioni rotolano senza slittare su un piano inclinato rispetto all orizzontale di un angolo. Quanti gradi di libertà ha tale sistema? Scrivere le equazioni di vincolo e poi le equazioni del moto del sistema. g. Data la matrice m n A e l m - vettore b, si trovi l n-vettore x tale che la funzione di x x b 2 x b T x b Z A A A sia minima. 7/8

8 Quanto si chiede si riferirà sempre alla matrice A in generale di dimensione m n e Rank( A) j. Si definiscano gli autovalori e gli autovettori di A, nonché le corrispondenti matrici, imponendo l opportuna condizione ai valori di m ed n k. Decomposizione in valori singolari (SVD( A )) di A : in cosa consiste? Esiste sempre? E unica (dimostrazione)? l. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l equazione 8/8