GLI ERRORI. Problema. valutare l'accuratezza del risultato di un calcolo e quindi l'affidabilità del risultato stesso. Prof.

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1 GLI ERRORI Prof. Almerico Murli a.a Problema valutare l'accuratezza del risultato di un calcolo e quindi l'affidabilità del risultato stesso 2

2 Esempio Si vuole approssimare x = con x = x x Problema: come si può valutare l errore commesso da questa approssimazione? 3 Idea: utilizziamo la "distanza " tra x e x E = x-x = = x x ERRORE ASSOLUTO 4

3 Esempio 1 x 1 = x 1 = x 1 e' una approssimazione di x 1 corretta a 2 cifre decimali E 1 = x 1 -x 1 = = 0.41 x 10-2 < Esempio 2 = = e' una approssimazione di corretta a 4 cifre decimali E 2 = - = = x 10-4 <

4 Esempio 3 x 3 = x 3 = x 3 e' una approssimazione di x 3 corretta a 7 cifre decimali E 3 = x 3 -x 3 = = 0.66 x 10-7 < Proprieta' dell'errore assoluto x e' un'approssimazione di di x corretta ad m cifre decimali E = x - x < 10 -m 8

5 E = x - x < 10 -m? x e' un'approssimazione di x corretta ad m cifre decimali È possibile cioè invertire la proprietà dell errore assoluto? 9 Esempio x 1 = x = = E 1 = x 1 - x = 0.1 x 10-3 E 2 = x- = 0.1 x 10-3 x 1 e hanno la stessa distanza da x: x 1 e hanno la stessa distanza da x: 10

6 MA x 1 = x = = x 1 e x non hanno alcuna cifra uguale e x hanno la parte intera e le prime 3 cifre decimali uguali ( e' un'approssimazione di x corretta a 3 cifre decimali) La proprieta' dell'errore assoluto non si puo' invertire 11 Cosa hanno di particolare questi numeri? x 1 = x = = Variando di di 1 unita' l'ultima cifra di di x possiamo modificare solo l'ultima cifra del numero (x ( ) oppure tutte le le cifre (x (x 1 1 ) 12

7 Cio' e' dovuto unicamente alla rappresentazione posizionale Si assume, pertanto: E = x - x < 10 -m x e' un'approssimazione di x corretta a m cifre decimali 13 Esempio 1 Esempio 1 x 1 = x 1 = = x 2 = E 1 = x 1 -x 1 = 0.07 E 2 = -x 2 = 0.07 E 1 = E 2 Ma nel secondo caso l'approssimazione è intuitivamente migliore 14

8 Esempio 2 Esempio 2 x 1 = x 1 = = x 2 = E 1 = x 1 -x 1 = E 2 = -x 2 = 0.2 E 1 << E 2 Ma, ancora una volta, la seconda approssimazione appare intuitivamente migliore 15 L'errore assoluto non tiene conto della grandezza del valore da approssimare 16

9 Riprendiamo l Esempio 1 x 1 = x 1 = = = Dividiamo l errore assoluto per il numero da approssimare... x 1 -x 1 E' 1 = x = 0.69 x x 2 E' 2 = = 0.69 x 10-5 E' 2 è molto più piccolo di E' 1 17 Riprendiamo l Esempio 2 x 1 = x 1 = = = Dividiamo l errore assoluto per il numero da approssimare... x 1 -x 1 E' 1 = x = 0.17 x E' 2 = = 0.15 x 10-7 E' 2 è più piccolo di E' 1 18

10 ERRORE RELATIVO Si misura l errore utilizzando come unità di misura il modulo del valore da approssimare CIOE si scala il valore assoluto rispetto al modulo del valore da approssimare 19 Esempio 1 x 1 = x 1 = x 1 è una approssimazione di x 1 corretta a 4 cifre significative E' 1 = = 0.40 x 10-3 < 10-3 =

11 Esempio 2 = = è una approssimazione di corretta a 1 cifra significativa E' 2 = 0.18 x 10 0 < 10 0 = Esempio 3 x 3 = x 3 = x 3 è una approssimazione di x 3 corretta a 5 cifra significativa E' = 0.12 x 10-4 < 10-4 =

12 Proprieta' dell'errore relativo x è un'approssimazione di x corretta a m cifre significative E' = x-x x < 10 - m E' = x-x x? < 10 - m + 1 x è un'approssimazione di x corretta a m cifre significative È possibile cioè invertire la proprietà dell errore relativo? 24

13 Esempio 1) x 1 = x 1 = E' 1 = 0.2 x 10-4 < 10-4 = x 1 e' una approssimazione di x 1 corretta a 4 cifre significative 2) = = E' 2 = 0.7 x 10-3 < 10-3 = è una approssimazione di corretta a 3 cifre significative 25 La proprieta' dell'errore relativo non si puo' invertire, ma si può dire che. Se E' = x - x x < 10 - m + 1 allora x è un'approssimazione di x corretta ad almeno m - 1 = - (- m+ 1) cifre significative 26

14 Osservazione 1bis) x 1 = x 1 = E' 1 = x 10-4 x 1 è una approssimazione di x 1 corretta a 4 cifre significative 2bis) = x 2 = E' 2 = 0.58 x 10-3 x 2 e' una approssimazione di corretta a 3 cifre significative si assume l'invertibilita' nei limiti della restrizione formale dovuta alla rappresentazione posizionale 27 In conclusione ERRORE ASSOLUTO ERRORE RELATIVO Informazioni sulle cifre decimali Informazioni sulle cifre significative 28

15 Quali tipi di errori esistono in un sistema aritmetico a precisione finita (es. sistema aritmetico di un calcolatore)? 29 ERRORE DI ROUND - OFF ERRORE DI ROUND - OFF Esempio: F = ( b = 10, t = 3,...,...) x = = x 10 2 fl(x) = x 10 2 non è rappresentabile esattamente in F è una approssimazione di x Rappresentazione floating point normalizzata (f.p.n.) in F Che errore si commette approssimando x con fl(x)? 30

16 x = x 10 2 fl(x) = x 10 2 E = x-fl(x) = 0.46 x 10-3 Errore assoluto di di round-off E' = x-fl(x) x = 0.41 x 10-2 Errore relativo di round-off Errore relativo di round-off 31 Osservazione E = x-fl(x) = 0.46 x 10-3 fl(x) è una approssimazione di x corretta a 3 cifre decimali E' = x-fl(x) x = 0.41 x 10-2 fl(x) è una approssimazione di x corretta a 1+2=3 cifre significative Nella rappresentazione normalizzata le cifre decimali e le cifre significative coincidono 32

17 Qual è il massimo errore relativo che si commette approssimando x con fl(x)? 33 Esempio: b = 10, t = 5 Sistema con Arrotondamento x = f b e fl(x) = f x b e E'= x-fl(x) x x x x x x x x x x x x x 10-4 E < = 0.5 x 10 1-t 34

18 Esempio: b = 10, t = 5 Sistema con Troncamento x = f b e fl(x) = f x b e E'= x-fl(x) x x x x x x x x x x x x x 10-4 E < = 10 1-t 35 In generale, in un sistema a t cifre, per l arrotondamento x= f x b e, (f = 0.m) fl(x) = f x b e, (f = 0.m) f b -1 (x normalizzato) f-f 1/2b -t x - fl(x) x = f - f f 1 b -t = 1 x b 1-t 2 b -1 2 u =0.5 x b 1-t 1-t massimo errore relativo che si si commette approssimando x con fl(x) in in un un sistema aritmetico floating-point con base b e precisione t MASSIMA ACCURATEZZA RELATIVA 36

19 In generale, in un sistema a t cifre, per il troncamento x= f x b e, (f = 0.m) fl(x) = f x b e, (f = 0.m) f b -1 (x normalizzato) f-f b -t x - fl(x) x = f - f f b -t = b 1-t b -1 u' = b 1-t MASSIMA ACCURATEZZA RELATIVA 37 Esempi 1) b = 10 t = 5 u = 0.5 x 10-4 ( arrotondamento) u' = 10-4 ( troncamento ) 2) Sistema aritmetico standard IEEE b= 2, arrotondamento Singola precisione : t = 23 u = = Doppia precisione: t = 52 u = =

20 OSSERVAZIONE Posto si ha δ= fl(x) - x x fl(x) = x + xδ = x ( 1 + δ ) Con E' E' = δ u = 0.5 b 1-t 1-t arrotondamento E' = δ u = b 1-t troncamento 39 ERRORE DI ROUND-OFF NELLE OPERAZIONI ARITMETICHE 40

21 Esempio F = ( b = 10, t = 2, E min = -5, E max = 5 ) x = 18 y = 95 fl(x) = 0.18 x 10 2 F fl(y) = 0.95 x 10 2 F x + y = 113 = x 10 2 x + y F ma è rappresentabile in F 41 r = x # y x, y F In generale il risultato di un'operazione aritmetica # tra numeri macchina non è un numero macchina ERRORE DI ROUND-OFF 42

22 Esempio F = ( b = 10, t = 4, E min = -5, E max = 5 ) x = x 10 3 F, y = x 10 1 F x y =? Operazione eseguita in F 43 Come calcolare x y? x = x 10 3 y = x In aritmetica classica si dispongono i numeri in colonna e si sottraggono x + y = x x 10 1 = = = x

23 In aritmetica floating point Strategia Si sommano le mantisse dopo aver ricondotto gli addendi allo stesso esponente 45 1 o PASSO 1 o PASSO Calcolo della differenza degli ordini di grandezza dei due addendi x = x 10 3 y = x = 2 2 o PASSO 2 o PASSO "Shift" di 2 cifre della mantissa di y per ottenere una rappresentazione con esponente uguale a quello di x x = x 10 3 y = x 10 1 x = x 10 3 yshift = x

24 3 o PASSO 3 o PASSO Differenza delle mantisse x = x 10 3 yshift = x 10 3 x - yshift = x o PASSO 4 o PASSO Normalizzazione del risultato x y = x Osservazione x - y = x 10 2 x y = x 10 2 mentre fl(x - y) = x 10 2 x y fl(x - y) 48

25 E' possibile fare in modo che x y = fl(x - y)? 49 x y fl(x - y) A causa della perdita di di alcune cifre significative di di y nel 2 oo passo ( shift della mantissa ) Strategia Utilizzare per gli operandi e per i i risultati intermedi locazioni di di memoria (registri dell'unita' aritmetica) di dilunghezza t reg reg > t 50

26 Esempio t =4 x = x 10 3 y = x 10 1 x y eseguita con registri di lunghezza t reg = 2t = 8 1 o PASSO 1 o PASSO 3 1 = 2 2 o PASSO y Memoria centrale y shift y Registro 51 3 o PASSO 3 o PASSO 4 o PASSO 4 o PASSO x y x - y Arrotondamento e normalizzazione x - y Registro Memoria centrale fl(x-y) = x y 52

27 F sistema aritmetico f.p. ha massima accuratezza dinamica se x, y F x # y = fl(x # y) L'errore relativo di round-off introdotto da una operazione aritmetica f.p. e' uguale all'errore di round-off di rappresentazione del risultato della corrispondente operazione aritmetica a precisione infinita CIOE' x # y = fl( x # y ) = ( x # y )(1 + δ) δ u 53 Esempio Epsilon macchina b = 10 t = 3 t reg = 6 1 = x 10 1 x = x x = x x 10 1 = = x x = 1 54

28 In un sistema aritmetico f.p. a precisione finita esistono numeri macchina non nulli che si comportano come lo zero nella somma f.p. con 1 Si definisce epsilon macchina il più piccolo numero macchina ε tale che: 1 e = fl( 1 + e ) > 1 55 Esempio b = 10 t = 3 t reg = 6 b = 10 t = 3 t reg = 6 Si vuole calcolare η massimo numero macchina tale che 1 η= 1 Posto η = 0.d 1 d 2 d 3 x 10 p si ha x η d 1 d 2 d 3 x 10 p+3 = 1 η d 1 d 2 d 3 x 10 p+3 1 η = 1 d 1 < 5, 1 = p

29 η = x 10-2 max numero macchina tale che 1 η= 1 ε = 0.500x10-2 = 1/2 b 1-t e-macchina 57 In un sistema aritmetico f.p. con base β e precisione finita t, con massima accuratezza dinamica si ha: ε-macchina ε = b t = u max accuratezza relativa 58

30 ε = 1/2 b 1-t Nota la base b, conoscere e equivale a conoscere t L'e-macchina fornisce informazioni sulla precisione del sistema aritmetico f.p. 59 Implementazione dell'algoritmo su una workstation IBM RISC System/6000 (sistema aritmetico standard IEEE, β = 2) Singola precisione: t = 23 ( in base 2 ) u = 2-23 = t 7 (in base 10) Doppia precisione: t = 52 ( in base 2 ) u = = t 16 (in base 10) 60

31 Esempio β = 10 t = 4 t reg = 2t = 8 x = x 10 5 y = x 10 1 x y = x x 10 5 = = x 10 5 = x x y = x 61 In generale, si ha e y = 0.y 1 y 2 y 3 y 4 x 10 q x = 0.x 1 x 3 x 4 x 10 p x 0. x 1 x 3 x x 10 p + y y 1 y 2 y 3 y 4 x 10 q+4 = x y 0. x 1 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 x 10 q+4 x y = x y 1 < 5, p = q + 4 y < p-4 = p-1 = 1/2 β 1-t 10 p-1 e x min numero macchina tale che x y > x 62

32 Nell'esempio precedente: Nell'esempio precedente: x = x 10 5 y = x 10 1 y = x 10 1 < 0.5 x x 10 5 = = x 10 2 x y = x 63 Problema calcolo del limite della successione definita per ricorrenza: a n 1 = an 1 + n = 1,2,... a0 = 0 n 2 n 2 1 lim a n = lim = 1 n 2 Quando arrestare il processo iterativo? 64

33 Quando 1 2 n Soluzione "naturale": non da' contributo nella somma con a n-1 : a n = a n-1 1 = a n-1 2 n il il piu' piccolo n tale che: 1 2 n < ε a n-1 n-1 65 eseguendo i calcoli con b = 10 e t = 7 si ha: n an 1/2 n A partire da n=25 an non cambia n (1/2 non da più contributo alla somma) 66

34 IN GENERALE IN GENERALE Per un processo iterativo convergente del tipo a n = a n-1 + y n Si utilizza il criterio di arresto naturale y n < e a n-1 67 Osservazione b = 10 t = 4 E min = -9 E max = 9 x = x 10-8 εx = ε x = = = < = rmin (rmin = minimo numero macchina reale positivo) ε x provoca underflow In questo caso si pone: εx = rmin 68