Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica prova scritta del 14/2/2013

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1 Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica prova scritta del 14/2/213 Exercise 1. punti 9+) Sia X = X t, x)) t,x un processo stocastico a valori reali, avente come parametro la coppia t, x), 1] R. Supponiamo che X sia gaussiano, con media m t, x) = E X t, x)] = x e covarianza C t, s, x, y) = E X t, x) x) X s, y) y)] = t s) exp x y 2). Supponiamo inoltre che valga X, x) = x q.c., per ogni x R. 1. Si dimostri che, per ogni x R, il processo t X t, x) x è un moto browniano. 2. Si dimostri che, per ogni h R, il processo Y t, x) := X t, x + h) h ha la stessa legge di X. 3. Si verifichi che E X t, x) X s, y) 2] C t s + C x y 2 per opportune costanti positive C, C. 4. facoltativo) Si dimostri che esiste una modificazione a traiettorie continue in t, x). Exercise 2. punti 13) Sia Ω, A, P ) uno spazio di probabilità e F n ) n una filtrazione. Sia Y = Y n ) n un processo adattato, con ciascuna Y n non negativa e limitata. Poniamo X =, X n = A =, A n = Z n = X n A n. Y j per n 1 E Y j F j 1 ] per n 1 1. Si dimostri che X è una submartingala rispetto a F n ) n ) e che Z è una martingala. 2. Per a > sia τ a = min {n : A n+1 a} se l insieme non è vuoto, τ a = altrimenti. Si dimostri che τ a è un tempo d arresto, rispetto a F n ) n. 3. Si dimostri che Z n τa a. 4. Si deduca che, sull insieme in cui A converge, Z e quindi X convergono q.c. si ricordi che Z n τa è una martingala). 1

2 5. Sia B j ) j una successione di eventi di Ω tali che 1 Bj è un processo adattato. )j Sia Ω l insieme in cui converge la serie j E ] 1 Bj F j 1. Allora, per quasi ogni ω Ω, vale ω B j solo per un numero finito di indici j. Exercise 3. punti 8) Si consideri la seguente equazione diff erenziale uni-dimensionale: dx t = f X t ) dt + σf X t ) db t, X = x dove x e σ sono numeri reali, f C 2 R), con f ed entrambe f x) ed f x) uniformemente limitate. Si dimostrino le seguenti aff ermazioni. 1. C è una soluzione unica, appartenente a MB 2, T ] per ogni T >. 2. Se f x ) =, allora X t = x per ogni t. 3. Se σ =, allora f X t ) è una funzione differenziabile non crescente. 4. Se f 2 σ 2, allora la funzione E f X t )] è non crescente. 2

3 1 Soluzioni Esercizio Il processo t B t) := X t, x) x ha le seguenti proprietà: i) è gaussiano; ii) ha media nulla; iii) ha covarianza C t, s) = t s. In base ad una proposizione del corso Prop. 18), è un moto browniano. Le proprietà suddette sono tutte immediate da verificare. 2. Se verifichiamo che Y è gaussiano ed ha le stesse funzioni media e covarianza di X, allora ha la stessa legge. Siano t 1, x 1 ),..., t n, x n ) punti di, 1] R. Il vettore aleatorio Y t 1, x 1 ),..., Y t n, x n )) è dato da X t 1, x 1 + h) h,..., X t n, x n + h) h), quindi è gaussiano in quanto trasformazione affi ne di X t 1, x 1 + h),..., X t n, x n + h)) che è gaussiano è il processo X calcolato nei punti t 1, x 1 + h),..., t n, x n + h)). Quindi Y è gaussiano. Ha media pari a x: E Y t, x)] = E X t, x + h) h] = x + h h = x Infine, detta sempre C t, s, x, y) la covarianza di X, E Y t, x) x) Y s, y) y)] = E X t, x + h) h x) X s, y + h) h y)] = t s) exp x + h) y + h) 2) = C t, s, x, y). 3. E X t, x) X s, y) 2] = E X t, x) x + x y + X s, y) y 2] 2 x y 2 + 2E X t, x) x + X s, y) y 2] E X t, x) x + X s, y) y 2] = C t, t, x, x) + C s, s, y, y) 2C t, s, x, y) = t + s 2s exp x y 2) x y 2)) Inoltre, per r >, = t s + 2s t s exp r) r. 1 exp 1 exp x y 2)). Mettendo tutto insieme, E X t, x) X s, y) 2] 2 x y t s + 4 x y 2 Esercizio 2. = 2 t s + 6 x y 2. 3

4 1. Il processo X è integrabile a qualsiasi potenza) perché somma di v.a. limitate; le speranze condizionali di v.a. limitate sono integrabili a qualsiasi potenza, quindi anche il processo A lo è; e quindi, infine, anche Z lo è. Sono poi tutti adattati per ovvie ragioni. Vale, per n 1, E X n F n 1 ] = E Y j F n 1 = E Y j F n 1 ] n 1 = E Y n F n 1 ] + Y j = E Y n F n 1 ] + X n 1 X n 1 q.c. dove in un passaggio intermedio abbiamo usato il fatto che E Y j F n 1 ] = Y j per j n 1 in quanto tali Y j sono F n 1 misurabili, ed all ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che, essendo Y n, anche E Y n F n 1 ], q.c.. Quindi X è una submartingala. Invece, dal momento che E Y j F j 1 ] è F n 1 misurabile per ogni j n, anche A n è F n 1 misurabile, quindi E A n F n 1 ] = A n. Pertanto E Z n F n 1 ] = E X n F n 1 ] E A n F n 1 ] = E Y n F n 1 ] + X n 1 A n = X n 1 A n 1 in quanto E Y n F n 1 ] = A n A n 1 ) quindi E Z n F n 1 ] = Z n 1, ovvero Z è una martingala. 2. Dobbiamo dimostrare che, per ogni n, l evento {τ a n} appartiene ad F n. Vale {τ a n} = m n {A m+1 a} e tutti questi eventi stanno in F n, in particolare {A n+1 a}, perché A n è F n 1 misurabile. 3. Vale Z n τa = X n τa A n τa A n τa in quanto X è un processo non negativo. Dato ω Ω, A j+1 ω) < a per j < τ a ω), ovvero A k ω) < a per k < τ a ω) + 1. Siccome n τ a ω) < τ a ω) + 1, vale A n τaω) ω) < a, quindi Z n τaω) ω) a. 4. Essendo Z n τa una martingala limitata dal basso da una costante, Z n τa converge. Sia Ω Ω l insieme in cui A converge. Sia { } Ω a = sup A n < a n. 4

5 Vale Ω a N Ω a. Su Ω a vale τ a =, quindi Z n τa = Z n per ogni n, quindi anche Z n converge. Questo accade quindi su a N Ω a e quindi in particolare su Ω. 5. Dal punto precedente si deduce che j 1 B j ω) < per quasi ogni ω Ω, da cui la tesi. Esercizio Basta osservare che, essendo f x) C, la funzione f x) è lipschitziana, quindi lo sono entrambi i coeffi cienti dell equazione pertanto si può applicare il teorema di esistenza ed unicità). 2. Basta osservare che X t = x per ogni t è soluzione verifica l identità integrale) e quindi è la soluzione, per quanto detto al punto precedente. 3. Se σ =, stiamo esaminando l equazione differenziale ordinaria X t = f X t ), X = x che ha una ed una sola soluzione X t, funzione deterministica, differenziabile. Vale quindi la funzione f X t ) è non crescente. 4. Per la formula di Itô, d dt f X t) = f X t ) X t = f X t ) 2 ovvero df X t ) = f X t ) dx t f X t ) d X, X] t f X t ) = f x ) + = f X t ) 2 dt + f X t ) σf X t ) db t f X t ) σf X t ) ) 2 dt f x ) + = f x ) + ) σ 2 2 f X s ) f X s ) 2 f X s ) 2 ds + f X s ) 2 f X s ) 2) ds + σf X s ) 2 db s σf X s ) 2 db s σf X s ) 2 db s dove abbiamo usato l ipotesi f 2. Essendo f x) C, l integrando è di classe M 2, ] σ 2 t quindi E σf X s ) 2 db s =. Quindi E f X t )] f x ). Ripetendo lo stesso ragionamento tra due generici tempi t t, si ottiene E f X t )] E f X t )], cioè che E f X t )] è non crescente. 5