Moto Browniano Geometrico multidimensionale

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1 Moto Browniano Geometrico multidimensionale Supponiamo di avere n azioni i cui prezzi sono indicati con S 1 (t), S 2 (t),,..., S n (t). Supponiamo che siano disponbili m moti Browniani indipendenti che indichiamo con B 1 (t),..., B m (t) Definiamo inoltre la matrice delle volatilità Σ σ 11 σ 12 σ 1n σ 21 σ 22 σ 2n Σ =... σ m1 σ m2 σ mn Dove le costanti σ ij descrivono le correlazioni tra i log-return delle azioni e α i, i = 1,, n sono delle costanti.

2 Moto Browniano Geometrico multidimensionale La dinamica dei prezzi del titolo i esimo si scrive nella forma n ds i (t) = α i S i (t)dt + S i (t) σ ij db j (t) j=1 oppure ds i (t) = S i (0) exp α i 1 2 m j=1 σ 2 ij + n σ ij B j (t) j=1

3 Moto Browniano Geometrico multidimensionale Il processo multidimensionale (S 1 (t), S 2 (t),..., S n (t)) è chiamato Moto Browniano geometrico multidimensionale e trova applicazione nella prezzatura di opzioni basate su più titoli sottostanti. Ad esempio opzioni che pagano solo quando la differenza tra i valori dei due titoli è positiva, ovvero X = max(s 1 (T ) S 2 (T ), 0) oppure opzioni che pagano quando il massimo delle quotazioni dei titoli coinvolti supera una soglia K X = max (max(s 1 (T ), S 2 (T )) K, 0)

4 Soluzione del modello B&S multidimensionale Il payoff del contingent claim f è dato da X = f (S 1 (T ), S 2 (T ),..., S n (T )) Quando esiste la misura martingala equivalente Q (caso n = m come vederemo) si ricava che P(t) = e r(t t) E Q (X F t ) dove F t è tutta l informazione sino a tempo t, cioè quella generata dagli m = n moti browniani sino al tempo t.

5 Misura martingala Q per B&S multidimensionale Per poter calcolare il payoff P(T ) è opportuno, come per il caso unidimensionale, passare alla misura martingala equivalente. Si deve però assumere che esista l inversa della matrice volatilità Σ, ovvero esiste Σ 1 tale per cui Σ 1 Σ = I. Come abbiamo già segnalato, questo avviene quando m = n Introduciamo il vettore λ = Σ 1 (α r 1) e definiamo il processo M(t) come segue ( M(t) = exp λ B(t) 1 ) 2 λλ t con B(t) = (B 1 (t), B 2 (t),..., B n (t)), 1 = (1, 1,..., 1) e α = (α 1, α 2,..., α n ).

6 Misura martingala Q per B&S multidimensionale La misura martingala equivalente si costruisce come nel caso unidimensionale, ovvero, per ogni A Ω si definisce Q(A) = E1 A M(T ) = P(M(T ) A) allora A è equivalente a P e inoltre W(t) = B(t) + λt è un moto browniano n-dimensionale rispetto a Q.

7 Soluzione del modello B&S multidimensionale Se ci mettiamo sotto la misura Q, le dinamiche dei prezzi dei titoli sottostanti si scrivono come segue ds i (t) = rs i (t)dt + S i (t) n σ ij dw j (t) e i prezzi scontati S d i (t) = e rt S i (t) soddisfano le equazioni Si dimostra anche che ds d i (t) = S d i (t) j=1 n σ ij dw j (t) j=1 E Q [S d i (t) F s ] = S d i (s)

8 Soluzione del modello B&S multidimensionale Abbiamo già detto che il payoff di un contingent claim si ottiene passando al valore atteso sotto Q, ovvero P(t) = e (T t) = E Q [X F t ] = C(t, S 1 (t), S 2 (t),..., S n (t)) con X = f (S 1 (T ), S 2 (T ),..., S n (T )). Ai fini del calcolo del valore atteso attraverso il metodo Monte Carlo, ci conviene passare alla rappresentazione del valore atteso tramite i moti browniani geometrici S t,x i.

9 Soluzione del modello B&S multidimensionale Infatti si può scrivere C(t, x 1, x 2,..., x n ) = e r(t t) E q [f (S t,x 1 1 (T ), S t,x 2 2 (T ),..., S t,xn n (T ))] con S t,x i i (T ) = x i exp r 1 2 n j=1 σ 2 ij (T t) + n σ ij (W j (T ) W j (t)) j=1

10 Soluzione del modello B&S multidimensionale Il portafoglio di copertura H(t) = n ai H (t)s i (t) + b H (t)r(t) i=1 si ottiene ponendo a H i (t) = x i C(t, S 1 (t), S 2 (t),..., S n (t))

11 Soluzione del modello B&S multidimensionale Si supponga di avere un mercato come quello descritto, allora possono accadere due cose il mercato non offre opportunità di arbitraggio se e solo se n m. il mercato è completo se e solo che n m.

12 Esempio di un modello con due titoli Si supponga di avere i seguenti due processi ds 1 (t) = α 1 S 1 (t)dt + S 1 (t)(σ 11 db 1 (t) + σ 12 db 2 (t)) ds 2 (t) = α 2 S 2 (t)dt + S 2 (t)(σ 21 db 1 (t) + σ 22 db 2 (t)) con B 1 (t) e B 2 (t) due moti browniani indipendenti. Definiamo inoltre i rispetti log-return X(t) = ln(s 1 (t)/s 1 (t 1)) Y (t) = ln(s 2 (t)/s 2 (t 1)) Calcoliamo la correlazione tra X(t) e Y (t).

13 Esempio di un modello con due titoli Indichiamo con B i (t) = B i (t) B i (t 1) N(0, 1). Sostituendo S 1 e S 2 nelle espressioni dei log-return si ottiene X(t) = Y (t) = (α 1 12 (σ211 + σ212 ) ) + σ 11 B 1 (t) + σ 12 B 2 (t) (α 2 12 (σ221 + σ222 ) ) + σ 21 B 1 (t) + σ 22 B 2 (t) Poiché B 1 e B 2 sono indipendenti, lo sono anche B 1 e B 2, quindi X(t) e Y (t) sono delle variabili casuali gaussiane

14 Esempio di un modello con due titoli X(t) N Y (t) N ( α 1 1 ) 2 (σ σ2 12 ), σ σ2 12 ( α 2 1 ) 2 (σ σ2 22 ), σ σ2 22 Calcoliamo ora la covarianza (si tenga presente che molti valori attesi si annulleranno per le proprietà del moto browniano) Cov(X(t), Y (t)) =EX(t)Y (t) EX(t)EY (t) =σ 11 σ 21 E( B 1 (t)) 2 + σ 12 σ 22 E( B 2 (t)) 2 + (σ 11 σ 22 + σ 12 σ 21 )E( B 1 (t) B 2 (t)) =σ 11 σ 21 + σ 12 σ 22

15 Esempio di un modello con due titoli Cor(X(t), Y (t)) = Cov(X(t), Y (t)) VarX(t) VarY (t) = σ 11 σ 21 + σ 21 σ 22 σ σ2 12 σ σ2 22 Se poniamo σ 11 = σ 1, σ 21 = σ 2, σ 12 = σ 1 ρ e σ 22 = 0, ovvero scegliamo [ ] [ ] σ11 σ Σ = 12 σ1 ρσ = 1 σ 21 σ 22 σ 2 0 si ottiene

16 Esempio di un modello con due titoli Cor(X(t), Y (t)) = σ 1 σ 2 σ 21 + σ21 ρ2 σ 2 2 = ±1 1 + ρ 2 Questa scrittura alternativa permette operando sul segno di σ 1 σ 2 e sul valore di ρ 2 di modellare semplicemente una struttura di covarianza per i log-returns.