Appunti utili per gli esercizi sugli integrali stocastici

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1 Appunti utili per gli esercizi sugli integrali stocastici Michele Gianfelice a.a. / Integrale di Itô Consideriamo lo spazio di probabilità ltrato ; F; ff t g t ; P dove: := C ([; T ] ; R) è lo spazio di Banach delle funzioni continue da [; T ] in R che s annullano per t = ; munito della norma k!k := sup t[;t ] j! (t)j ; F è la algebra generata dagli insiemi boreliani di ; P è la misura di Wiener su e ff t g t è la ltrazione generata dal moto browniano. Sia C [; T ] ; L (; F; P) lo spazio di Banach delle funzioni continue da [; T ] a valori in L (; F; P) munito della norma kf k := sup t[;t ] kf (t)k ; dove kgk := q R P (d!) jg (!)j ; e C ad [; T ] ; L (; F; P) il sottospazio chiuso di C [; T ] ; L (; F; P) i cui elementi sono adattati alla ltrazione ff t g t ; ovvero tali che 8t [; T ] appartengono a L (; F t ; P) : Allora, data F C ad [; T ] ; L (; F; P) ; per ogni partizione := f = t < ::: < t n = T g di diametro jj ; posto Xn 3! 7! I (F ) (!) := F (t i ;!) (B (t i ;!) B (t i ;!)) L (; F; P) i= () il limite per jj # di I (F ) in L (; F; P) è detto integrale di Itô di F e si denota R T F (s) db (s) : Inoltre si ha che " Z # T E F (s) db (s) = ; () E 4 Z T F (s) db (s)! 3 Z s E F (u) db (u) F (u) db (u) 5 = = Z T ^s ds kf (s)k ; (3) du kf (u)k ; s; t [; T ] : (4)

2 Se in particolare F = f C ([; T ] ; R) allora vale la consueta formula d integrazione per parti, ovvero Z T f (s) db (s) = f (t) B (t) Z T dsf (s) B (s) (5) che è utile per calcolare valore atteso e covaranza del processo stocastico Z (t) = R t dsg (s) B (s) ; dove t [; T ] e g C ([; T ] ; R) : Infatti, se G (t) è la primitiva di g; Z (t) = G (t) B (t) da cui segue E [Z (t)] = : Inoltre, E [Z (t) Z (s)] = E G (t) B (t) Ma, e, usando la (), = G (t) G (s) (t ^ s) G (s) E B (s) Z s G (t) E B (t) G (u) db (u) + E G (u) db (u) G (s) db (s) (6) G (u) db (u) G (s) B (s) Z s G (u) db (u) Z s E G (u) db (u) G (u) db (u) = E B (s) = E [B (s ^ t) + (B (s) B (s ^ t))] Quindi, = E [Z (t) Z (s)] = G (t) G (s) (t ^ s)+ ^s ^s ^s G (u) db (u) dug (u) : Z s G (u) db (u) + ^s : G (u) db (u) (7) du jg (u)j (8) (9) G (u) db (u) + G (u) db (u) t^s du jg (u)j (G (t) + G (s)) ^s dug (u) : () Equazioni di erenziali stocastiche di Itô lineari Un processo stocastico X (t) guidato dal moto browniano è soluzione di un equazione di erenziale stocastica di Itô se esistono:

3 una funzione [; t] R 3 (s; x) 7! a (s; x) R Riemann integrabile in entrambi gli argomenti; una funzione b C ad [; T ] ; L (; F; P) ; una v.a. X ; tali che X (t) = X + dsa (s; X (s)) + b (s; X (s)) db (s) : () In forma di erenziale la precedente equazione si scrive dx (t) = a (t; X (t)) dt + b (t; X (t)) db (t) X () = X : () Nel caso in cui esistano c ; c ; ; C ([; t]) tali che a (s; x) = c (s) + c (s) x ; a (s; x) = (s) + (s) x ; (3) l equazione () è detta lineare e si ha X (t; X ) = X + ds [c (s) X (s) + c (s)] + [ (s) X (s) + (s)] db (s) : (4) o equivalentemente dx (t) = [c (t) X (t) + c (t)] dt + [ (t) X (t) + (t)] db (t) X () = X : (5).. Calcolo di E [X (t; X )] Ponendo X (t) := E [X (t; X )] ; per la (), prendendo il valore atteso di entrambi i membri della (4) e derivando rispetto a t si ha che X è la soluzione del problema di Chauchy d dt X (t) = c (t) X (t) + c (t) : (6) X () = E [X ] ovvero X (t) = E [X ] +.. Calcolo della varianza di X (t; X ) dsc (s) e R t s dc() : (7) Sia Y (t) := f (t; X (t)) = X (t) : Calcolando il di erenziale di Itô di Y (t) ; si ottiene dy (t) = X + ds nx (s) [c (s) X (s) + c (s)] + [ (s) X (s) + (s)] o + X (s) [ (s) X (s) + (s)] db (s) : (8) 3

4 Ponendo q X (t) := E [Y (t; Y )] = E X (t; X ) ; per la (), prendendo il valore atteso di entrambi i membri della (8) e derivando rispetto a t si ha che q X è la soluzione del problema di Chauchy d dt q X (t) = b (t) q X (t) + b (t) q X () = E X : (9) ovvero dove q X (t) = E Z X t + dsb (s) e R t s db() ; () b (t) := c (t) + (t) ; () b (t) := [c (t) + (t) (t)] X (t) + (t) : () La varianza di X (t; X ) risulta allora pari a E X (t; X ) E [X (t; X )] = q X (t) X (t) : (3). Rumore additivo Consideriamo il caso in cui = : Dalla (4) segue Ponendo X (t; X ) = X + ds [c (s) X (s) + c (s)] + (s) db (s) ; (4) dx (t) = [c (t) X (t) + c (t)] dt + (t) db (t) : (5) Y (t) = f (t; X (t)) := e R t dsc(s) X (t) (6) e calcolando il di erenziale di Itô di Y (t) ; si ottiene df (t; X (t)) = (@ t f) (t; X (t)) + [c (t) X (t) + c (t)] (@ x f) (t; X (t)) + xf (t; X (t)) dt+ + (t) (@ x f) (t; X (t)) db (t) : (7) Ovvero, poiché f (t; x) = xe R t dsc(s) ; t f (t; x) = c (t) f (t; x) ; (8) f (t; x f (t; x) = ; x xf (t; x) = ; (3) si ha dy (t) = c (t) e R t dsc(s) dt + (t) e R t dsc(s) db (t) (3) 4

5 ovvero, tenendo conto che Y (; X ()) = X ; Y (t; X ) = X + dunque in de nitiva dsc (s) e R s dc() + (s) e R s dc() db (s) ; (3) X (t; X ) = e R t dsc(s) Y (t; X ) (33) = e R t dsc(s) X + = X e R t dsc(s) + dsc (s) e R s dc() + dsc (s) e R t s dc() + (s) e R s dc() db (s) (s) e R t s dc() db (s) : Se c = e c ; R la (4) è detta equazione di Langevin ed il processo stocastico che ne è soluzione, se X R; X (t; X ) = e R t dsc(s) Y (t; X ) = X e ct + è detto di Ornstein-Uhlembeck. Il valore atteso di X (t; X ) vale E [X (t; X )] = e R t dsc(s) E [X ] + = e R t dsc(s) E [X ] + La funzione di covarianza risulta e c(t s) db (s) Z dsc (s) e R t t s dc() + E (s) e R t s dc() db (s) (34) dsc (s) e R t s dc() : Cov [X (t; X ) ; X (s; X )] := E [(X (t; X ) E [X (t; X )]) (X (s; X ) E [X (s; X )])] (35) = E [X (t; X ) X (s; X )] E [X (t; X )] E [X (s; X )] : Nel caso in cui X = E [X ] ; ponendo y (t) := e R t dsc(s) ; si ha Cov [X (t; X ) ; X (s; X )] = (36) Z () s () y (t) y (s) E db () db () = y () y () " ^s Z () t^s Z () t_s # () y (t) y (s) E db () + db () db () = y () y () t^s y () " ^s () y (t) y (s) d# y () che, nel caso del processo di Ornstein-Uhlembeck, vale Cov [X (t; X ) ; X (s; X )] = c e c(t+s) e c(t_s t^s) = c e c(t+s) e cjt sj : (37) 5

6 . Rumore moltiplicativo.. Equazione lineare omogenea Consideriamo il caso in cui nella (4) c = = : X (t; X ) = X + dsc (s) X (s) + (s) X (s) db (s) ; (38) dx (t) = c (t) X (t) dt + (t) X (t) db (t) : (39) Se X = ; allora X (t; X ) = per ogni t > : Suppononiamo allora che X 6= : Ponendo X (t) Y (t) := f = log X (t) ; (4) X poiché e d X (t) X X = c (t) X (t) dt + (t) X (t) db (t) (4) X t f (t; x) = ; x f (t; x) = X x ; xf (t; x) = X x ; (44) calcolando il di erenziale di Itô di Y (t) ; si ottiene dy (t) = c (t) (t) dt + (t) db (t) ; (45) Y (t) = ds c (s) (s) Dunque, X (t; X ) = X e Y (t) = X exp ds c (s) Nel caso in cui c ; e X siano costanti, + (s) db (s) : (46) (s) + (s) db (s) : (47) X (t; X ) = X e (c )t+ B(t) (48) è detto moto browniano geometrico. In questo caso, ricordando che se X è una v.a. normale standard e 6

7 R; E e X = e ; poiché B (t) d = p tb () con B () N (; ) ; si ha h p i E [X (t; X )] = E X e (c )t+ tb() = X e (c )t+ t ; h E [(X (t; X )) (X (s; X ))] = E X e (c = X e (c (49) )(t+s)+ (B(t)+B(s)) i (5) )(t+s) E h = X e (c )(t+s) E e (B(t_s) (B(t_s) he B(t^s)+B(t^s))i B(t^s))i E he B(t^s)i (5) p i = X e (c )(t+s) p i E he jt sjb() E he t^sb() (5) = X e (c )(t+s) e (jt sj+4t^s) : (53) Ovvero, la funzione di covarianza del moto browniano geometrico risulta Cov [X (t; X ) ; X (s; X )] = E [(X (t; X )) (X (s; X ))] E [X (t; X )] E [X (s; X )] (54) = X e (c (jt sj+4t^s) )(t+s) e (t+s) : e.3 Equazione lineare generale Il Lemma di Itô può essere esteso a funzioni R + R 3 (t; x; y) 7! f (t; x; y) R con derivate del primo ordine in t e del secondo ordine in x e y continue. In particolare, se f (t; x; y) = xy; dati i processi stocastici di Itô si ha X (t) = X + Y (t) = Y + dsa (s; X (s)) + dsc (s; Y (s)) + b (s; X (s)) db (s) ; (55) d (s; Y (s)) db (s) ; (56) d (X (t) Y (t)) = X (t) dy (t) + Y (t) dx (t) + b (t; X (t)) d (t; Y (t)) dt (57) = [c (t; Y (t)) X (t) + a (t; X (t)) Y (t) + b (t; X (t)) d (t; Y (t))] dt+ + [d (t; Y (t)) X (t) + b (t; X (t)) Y (t)] db (t) : Ciò premesso sia X (t) = X + ds [c (s) X (s) + c (s)] + [ (s) X (s) + (s)] db (s) : (58) 7

8 Considerando l equazione omogenea associata con dato iniziale Y () = ; sia Y (t) := + c (s) Y (s) ds + (s) Y (s) db (s) ; (59) U (t) = f (t; Y (t)) := Y (t) : (6) Il di erenziale di Itô di U (t) risulta quindi essere df (t; Y (t)) = (@ t f) (t; Y (t)) + c (t) Y (t) (@ x f) (t; Y (t)) + (t) Y xf (t; Y (t)) dt+ + (t) Y (t) (@ x f) (t; Y (t)) db (t) " = (@ t f) (t; Y (t)) + c (t) (@ xf) (t; Y (t)) f (t; Y (t)) + (t) (@ xf) (t; Y (t)) db (t) : f (t; Y (t)) Ovvero, poiché f (t; x) = x ; dunque si ha (6) + xf # (t; Y (t)) f dt+ (t; Y t f (t; x) = ; x f (t; x) = f (t; x) ; xf (t; x) = f 3 (t; x) ; (64) du (t) = c (t) + (t) U (t) dt (t) U (t) db (t) : (65) Calcolando il di erenziale di Itô di X (t) U (t) ; dalle (57), (4) e (65) si ottiene d (X (t) U (t)) = (c (t) X (t) + c (t)) U (t) + c (t) + (t) X (t) U (t) + (66) + ( (t) X (t) + (t)) (t) U (t)] dt+ + [( (t) X (t) + (t)) U (t) (t) X (t) U (t)] db (t) = [c (t) + (t) (t)] U (t) dt + (t) U (t) db (t) : Perciò, per la (6) si ha X () U () = X e X (t; X ) = Y (t) X + dove dalla (47) Y (t) = exp ds c (s) Z c (s) + (s) (s) t ds + Y (s) (s) + 8 (s) db (s) ; (67) Y (s) (s) db (s) : (68)

9 Quindi, X (t; X ) = X e R t ds[c(s) (s)]+r t (s)db(s) + (69) + + (c (s) + (s) (s)) e R t s d[c() ()]+R t s ()db() d+ (s) e R t s d[c() ()]+R t s ()db() db (s) : 3 Equazioni di erenziali stocastiche di Itô non lineari con termine di rumore lineare Consideriamo qui di seguito alcune classi di equazioni di erenziali stocastiche non lineari per cui è possibile, in certi casi, trovare una soluzione esplicita. 3. Rumore additivo Consideriamo l equazione della forma Ponendo X (t; X ) = X + Y (t) := a (s; X (t)) ds + (s) db (s) : (7) (s) db (s) ; (7) e Z (t; X ) la soluzione di dz (t) = a (t; Z (t) + Y (t)) dt Z () = X ; (7) si ha X (t; X ) = Z (t; X ) + Y (t) : (73) Infatti, il di erenziale di Itô di quest ultima espressione risulta dx (t) = dz (t) + dy (t) = a (t; Z (t) + Y (t)) dt + (t) db (t) (74) = a (t; X (t)) dt + (t) db (t) : Esempio Se a (t; x) := e x e (t) := ; dalla (7) si ottiene Y (t) = B (t) e dz (t) = e Z(t) B(t) dt Z () = X ; (75) ovvero e Z(t) dz (t) = e B(t) dt Z () = X ; (76) 9

10 cioè Dunque, dalla (73), X (t; X ) = log e X + 3. Rumore moltiplicativo Consideriamo l equazione della forma Ponendo sia X (t; X ) = X + e Z e X = dse B(s) ; (77) Z (t; X ) = log e X + dse B(s) : (78) Y (t) := + a (s; X (t)) ds + dse B(s) + B (t) : (79) (s) X (s) db (s) : (8) (s) Y (s) db (s) ; (8) U (t) := Y (t) : (8) Il di erenziale di Itô di U (t) risulta quindi essere dalla (65) du (t) = (t) U (t) dt (t) U (t) db (t) : (83) Calcolando il di erenziale di Itô di Z (t) := X (t) U (t) ; si ottiene dz (t) = d (X (t) U (t)) = U (t) a t; Z (t) a (t; Z (t) Y (t)) dt = dt : (84) U (t) Y (t) Poiché dalla (47), con c = ; = e dato iniziale uguale a ; si ha Y (t) = exp (s) ds + (s) db (s) ; (85) e siccome Z () = X () U () = X ; Z (t) risolve 8 < dz (t) = a t;z(t)e R t (s)ds+ R t (s)db(s) e : R t (s)ds+ R t dt (s)db(s) Z () = X : (86) Dunque, X (t; X ) = Y (t) Z (t; X ) = Z (t; X ) e R t (s)ds+ R t (s)db(s) (87)

11 Esempio Se a (t; x) := x e (t) := ; dalla (86) si ottiene ovvero cioè ( dz (t) = dt Z(t)e t+b(t) e t+b(t) ; (88) Z () = X Z (t) dz (t) = e t+b(t) dt Z () = X ; (89) Quindi, dalla (87), Z X = e s+b(s) ds ; (9) s Z (t; X ) = X + e s+b(s) ds : (9) X (t; X ) = e t+b(t) 3.3 Rumore lineare Consideriamo l equazione della forma X (t; X ) = X + s a (s; X (t)) ds + X + e s+b(s) ds : (9) Come nel caso di rumore moltiplicativo poniamo perciò Y (t) := + [ (s) X (s) + (s)] db (s) : (93) (s) Y (s) db (s) ; U (t) := Y (t) ; (94) du (t) = (t) U (t) dt (t) U (t) db (t) : (95) Calcolando il di erenziale di Itô di Z (t) := X (t) U (t) ; siccome Z () = X () U () = X ; si ottiene ( h i dz (t) = U (t) a (t) (t) dt + (t) U (t) db (t) t; Z(t) U(t) Z () = X ; (96) dove per de nizione, dalla (85), U (t) = exp (s) ds (s) db (s) : (97)

12 Ma la (96) è la forma di erenziale di un equazione del tipo (7); pertanto, ponendo W (t) := (s) U (s) db (s) ; (98) Z (t) = V (t) + W (t) ; (99) dove W (t) risolve ( h i V (t)+w (t) dw (t) = U (t) a t; U(t) (t) (t) dt W () = Z () = X : () Ponendo W (t) = f (t; W (t)) := W (t) + ds (s) (s) () e calcolandone il di erenziale di Itô (che in questo caso coincide con quello ordinario) si ha dw V (t) + W (t) (t) = df (t; W (t)) t f (t; W (t)) x f (t; W (t)) U (t) a t; U (t) V (t) + W (t) = (t) (t) + U (t) a t; (t) (t) dt U (t) = U (t) a t; V (t) + W R t (t) ds! (s) (s) dt : U (t) () (t) (t) dt Pertanto, W (t) risolve ( dw (t) = U (t) a t; V (t)+ W R (t) t ds(s)(s) U(t) dt W () = W () = X ; (3) ovvero 8 < dw (t) = a t; W (t) : W () = X R t ds(s)(s)+r t (s)e R s (u)du R s db(s) (u)db(u) R t (s)ds+r t (s)db(s) e e R t (s)ds+r t (s)db(s) (4) dt :