()Probablità, Statistica e Processi Stocastici

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1 Probablità, Statistica e Processi Stocastici

2 Riassunto Abbiamo introdotto le equazioni differenziali stocastiche, equazioni del tipo dx t = b (t, X t ) dt + σdb t (o un po più generali) dove B t è il moto browniano, ovvero db t /dt è il white noise. Abbiamo effettuato alcune simulazioni di singole realizzazioni. Abbiamo sviluppato il calcolo di Itô. Invece, circa valori medi delle soluzioni, abbiamo visto poco (solo l esempio delle energia media).

3 Studio della pdf delle soluzioni Se X t è la soluzione di un equazione differenziale stocastica, tra le cose che ci interessano maggiormente c è la densità di probabilità di X t, a t fissato. Dal punto di vista teorico, non sempre la densità esiste; ci sono casi singolari in cui X t concentra dalla massa in qualche punto. Si pensi ad esempio al caso X t = b (X t ). on occupiamoci però della (non banale) questione dell esistenza della densità, confidando che nei nostri esempi essa ci sia. Poniamoci il problema concreto di conoscerla, esattamente o approssimativamente. Vediamo due metodi: uno simulativo ed uno più analitico.

4 La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo Il metodo simulativo è semplicissimo: si generano simulazioni (usando realizzazioni indipendenti del noise) fino ad un dato tempo t e poi, graficamente, si traccia l istogramma. Oltre all istogramma, possono interessare i valori di certe probabilità e valori medi. Il loro calcolo si basa sulla: Theorem (Legge dei Grandi umeri) Se X 1, X 2,... è una successione di v.a. indipendenti ed identicamente ditribuite, con media finita µ, allora lim 1 X i = µ i=1 (limite quasi ( certo, oppure in probabilità: ) per ogni ɛ > 0, 1 lim P i=1 X i µ > ɛ = 0). ranco Flandoli, Università di Pisa

5 L errore di Monte Carlo Se il momento secondo è finito, si verifica facilmente che E 1 2 X i µ = σ2 i=1 dove σ 2 è la varianza, comune, delle X i. Quindi, un po approssimativamente, 1 X i µ σ. i=1 (Esercizio: verificare nel caso dell energia media)

6 La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo Quindi, immaginiamo di risolvere un equazione differenziale stocastica immettendo volta per volta dei moti browniani indipendenti Bt 1, Bt 2,...: dxt i = b ( t, Xt i ) dt + σdb i t con un dato iniziale fissato X i 0 = x 0. Le soluzioni sono anch esse indipendenti. E sono identicamente ditribuite (è la stessa equazione). Fissato t, le v.a. X 1 t, X 2 t,... sono indipendenti ed identicamente ditribuite. Quindi 1 φ ( X i ) t E [φ (Xt )]. i=1

7 La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo Ad esempio, scegliendo diverse φ: se φ (x) = x troviamo la media 1 Xt i E [X t ]. i=1 se φ (x) = H (x λ) (vedi esercitazione), cioè φ (x) = 1 se x > λ, zero altrimenti, allora card { i = 1,..., : Xt i > λ } P (X t > λ). Quest ultima formula si capisce anche pensando a "frequenza relativa probabilità".

8 Esempio lineare Equazione dx t = X t dt db t, X 0 = 1 Con = (quindi errore 0.01), tempo t = 1 P ( X 1 > e 1)

9 Esempio nonlineare Equazione dx t = ( X t Xt 3 ) dt dbt Con = 1000 (quindi errore 0.03), tempo t = 100 P (X 100 > 0)

10 Sulla pdf di una SDE Abbiamo considerato equazioni differenziali stocastiche della forma dx t = b (t, X t ) dt + σ (t, X t ) db t Per avere informazioni quantitative sulla densità di probabilità (pdf) di X t si può usare il metodo di Monte Carlo. Ad esempio E [X t ] 1 Xt i i=1 dove X i t, i = 1,...,, sono ottenute da diverse simulazioni indipendenti. L istogramma dei valori X i t, i = 1,...,, è un approssimazione della pdf p t (x).

11 L equazione di Fokker-Planck Sotto opportune ipotesi vale il seguente risultato: Theorem La pdf p t (x) di X t soddisfa l equazione p t = 1 d 2 i j (a ij p) div (bp) i,j=1 dove a ij = σ ik σ jk k i = d, div v = x i i v i. i=1 ranco Flandoli, Università di Pisa

12 Casi particolari di equazione di Fokker-Planck Familiarizziamo coi simboli. Intanto, in dimensione d = 1, a ij = a = σ 2. L equazione è semplicemente p t = 1 ( σ 2 p ) 2 x 2 (bp). x el caso di noise additivo, σ (t, x) = σ costante, p t = σ2 2 p 2 x 2 (bp). x Anche in più dimensioni, noise additivo, σ (t, x) = σi p t = σ2 p div (bp). 2

13 Condizione iniziale Come ogni equazione alle derivate parziali con t, necessita di una condizione iniziale nota, al tempo t = 0: p 0 (x). Essa è la densità della v.a. iniziale della SDE, X 0. Spesso X 0 è un punto deterministico fissato, x 0. In questo caso, non ha una vera densità, nel senso usuale del termine. Il dato iniziale p 0 (x), in tal caso, è la delta di Dirac in x 0 : p 0 (x) = δ (x x 0 ). Sotto ipotesi abbastanza generali, la soluzione p t (x) è però una funzione regolare, per t > 0 (fenomeno di regolarizzazione parabolica).

14 Esempio del moto browniano Vediamo la SDE particolarissima, in dimensione 1, dx t = σdb t, X 0 = 0 L equazione di Fokker-Planck associata è La funzione p t = σ2 2 p 2 x 2, p 0 (x) = δ (x). p t (x) = ( 1 2πσ 2 t exp x 2 ) 2σ 2 t è soluzione (verifica noiosa ma elementare).

15 Esempio dell equazione lineare Esaminiamo dx t = λx t dt + σdb t, X 0 = x 0. L equazione di Fokker-Planck associata è p t = σ2 2 p 2 x 2 + λ (xp), p 0 (x) = δ (x x 0 ). x Infatti, b (x) = λx. Si può cercare una soluzione della forma ( ) p t (x) = C (t) exp 1 (x m (t)) 2 2 σ (t) 2 e, con opportuni calcoli, la si trova (una gaussiana con media e varianza variabili nel tempo).

16 Simulazioni. Discretizzazione spaziale Purtroppo non si va molto oltre questi esempi, se si vogliono soluzioni esplicite. Vediamo invece alcune simulazioni, limitatamente a d = 1. Usiamo un metodo elementare: discretizziamo lo spazio (che è infinito) tramite un insieme finito di valori x i (ad esempio prendiamo un grande intervallo [ L, L] e lo suddividiamo in parti uguali con x punti, detti x i ) discretizziamo la derivata prima f x con f x (x i ) f (x i+1) f (x i ) h x dove h x è il passo spaziale di discretizzazione (per i nostri scopi è indifferente prendere altri incrementi)

17 Simulazioni. Discretizzazione spaziale discretizziamo la derivata seconda 2 f x 2 con 2 f x 2 (x i ) f (x i+1) 2f (x i ) + f (x i 1 ) hx 2 nota: la formula proviene da: [ 1 f (xi+1 ) f (x i ) f (x ] i ) f (x i 1 ) h x h x h x infine dobbiamo fissare delle condizioni al bordo; questo al momento non si capisce, ma risulterà chiaro scrivendo il codice. Prenderemo la condizione di flusso nullo, f x = 0, una delle più neutre, ovvero f (x i+1 ) = f (x i ) (tra punti vicini al bordo). Per i nostri scopi si potrebbe anche prendere f = 0 sul bordo.

18 Simulazioni. Discretizzazione temporale Il tempo si discretizza analogamente, arrivando, ad es. per l equazione p t = σ2 2 p 2, allo schema esplicito x 2 p tk+1 (x i ) p tk (x i ) h t = σ2 2 p tk (x i+1 ) p tk (x i ) + p tk (x i 1 ) h 2 x che calcola p tk+1 (x i ) a partire da p tk (x i+1 ), p tk (x i ), p tk (x i 1 ) (per questo servono delle condizioni al bordo) Serve la condizione di stabilità σ 2 2 h t hx

19 Esempio del MB Prendiamo il caso p tk+1 (x i ) p tk (x i ) h t dx t = σdb t, X 0 = 0 p t = σ2 2 p 2 x 2 = σ2 2 p tk (x i+1 ) p tk (x i ) + p tk (x i 1 ) h 2 x Approssimiamo il dato iniziale con una funzione molto concentrata di area uno: 1 exp ( x 2 ). 2πɛ 2ɛ