1) La superficie è il grafico di una funzione, definita in tutto il semipiano destro delle x positive, di classe C 1. Inoltre.

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1 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA - a.a. /4 Svolgimento esercizi della prova scritta di CALCOLO DIFFERENZIALE E INEGRALE (9 marzo 4) COMPIO A ) La superficie è il grafico di una funzione, definita in tutto il semipiano destro delle x positive, di classe C. Inoltre dz dx dz x/ ;. Pertanto W (x, y) + ( ) dz + dx ( ) dz x. Il dominio di integrazione può essere rappresentato in forma normale rispetto all asse delle y: D {(x, y) IR y ; y x }, da cui segue Area(S) + 9 y 4 x dx ( ) / ( + 94 ) ] / 7 y 8 7 { ( 8 ) / + 8 ( ) ]} 5/ 7 5/ ( + 9 ) ] / 4 x y ( dx ) / y 8 ( + 9 ) ] 5/ 45 4 y ) Il dominio è normale rispetto al piano (x, y) e si può scrivere nella forma {(x, y, z) IR x ; x y ; x y z }. rattandosi di un tetraedro, il suo volume è immediatamente fornito da un terzo dell area di base per la lunghezza dell altezza: V ol 6. Inoltre dx dz dx ( x + y + z) x ( x + y + z) ] dx x + log( x)] dx. x + y x ] x y

2 Ricordando che, integrando per parti, si ha log( t) dt t log( t) t + C, possiamo scrivere dx dz ( x + y + z) (x ) log. ] + (x ) log( x) (x ) ) Detta F (x, y) e xy (+x)y, i punti singolari della curva F (x, y) sono caratterizzati dalla condizione F (F x, F y ) (, ). In questo caso si ha F x (x, y) ye xy y y (e xy ) ; F y (x, y) xe xy ( + x). La prima derivata si annulla per y, oppure per e xy, cioè per x, oppure, nuovamente, per y. In entrambi i casi si ha F y. Quindi non esistono punti singolari per la curva. Consideriamo il punto P (, ) : F (, ) ; F x (, ) ; F y (, ). Dunque, secondo il eorema di Dini, esiste un intorno del punto P (, ) in cui la curva è esplicitabile rispetto alla variabile x, cioè è localmente grafico di una funzione regolare y f(x). Per tale funzione, sempre in base al eorema di Dini, si ha f () F x(, ) F y (, ). In x, dunque, la funzione f ha un punto stazionario. Poiché f () F xx(, ) F y (, ) >, segue che il punto è di minimo locale per la f, come si può anche evincere dal grafico di seguito riportato. 4) Il dominio D è rappresentato in figura: Applichiamo la formula f f x dx D

3 da cui, prendendo f(x, y) xy e osservando che, lungo γ e γ, y è costante, l integrale curvilineo si riduce a xy xy γ xy γ 4 dove si è posto il segno davanti al secondo integrale, in quanto γ 4 viene percorsa in senso contrario a quello di crescita del parametro t. Si ha xy y π/ t cos t sin t dt. ( cos Il secondo integrale si risolve per parti, osservando che cos ) t t sin t, da cui (cos xy ) + t t π/ π/ ( sin t ) ] cos t dt π/ cos t dt ] ] π/ sin t sin t 5 8.

4 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA - a.a. /4 Svolgimento esercizi della prova scritta di CALCOLO DIFFERENZIALE E INEGRALE (9 marzo 4) COMPIO B ) Il dominio D è rappresentato in figura: Applichiamo la formula f f x dx D da cui, prendendo f(x, y) xy e osservando che, lungo γ, y è costante, l integrale curvilineo si riduce a xy xy γ dove si è posto il segno davanti al secondo integrale, in quanto γ viene percorsa in senso contrario a quello di crescita del parametro t. Si ha π π xy (t sin t)( cos t) sin t dt t sin t t cos t sin t sin t + sin t cos t] dt. ( sin ) t Il secondo integrale si risolve per parti, osservando che cos t sin t, da cui xy t cos t π π + cos t dt t sin t π π sin t π + dt sin t dt + sin t ] π π + π ] sin t dt π + π ( cos t) dt 5 4 π. ) La superficie è il grafico di una funzione, definita in tutto il semipiano superiore delle y positive, di classe C. Inoltre dz dx ; dz y/. Pertanto ( ) ( ) dz dz W (x, y) dx 4 y. Il dominio di integrazione può essere rappresentato in forma normale rispetto all asse delle x: da cui segue Area(S) x dx ( { 8 45 D {(x, y) IR x ; y x}, y ) ] / 4 x / dx 8 7 ( ) 5/ ( ) ] } 5/ 7 /. 4 4 ( + 94 y ) / ] x / x 8 45 dx ( 9 ) ] 5/ 4 x

5 ) Il dominio è normale rispetto al piano (x, y) e si può scrivere nella forma {(x, y, z) IR x ; y x ; x + y z }. rattandosi di un tetraedro, il suo volume è immediatamente fornito da un terzo dell area di base per la lunghezza dell altezza: V ol 6. Inoltre dx dz ( + x + y z) x dx + x + y ] dx x Ricordando che, integrando per parti, si ha log(t) dt t log(t) t + C, ] ( + x + y z) ] (x ) + log log( + x) x+y dx. possiamo scrivere dx dz ( + x + y z) { (x ) log ( } + x log (x + ) log(x + ) (x + )] ). 4) Detta F (x, y) log(xy) + ( + x)y, i punti singolari della curva F (x, y) sono caratterizzati dalla condizione F (F x, F y ) (, ). In questo caso si ha F x (x, y) x + y + xy x ; F y (x, y) y + ( + x) + xy + y y Essendo la funzione F definita per ogni punto (x, y) tale che xy >, la derivata F x non si annulla mai, nell insieme di definizione della F. Quindi non esistono punti singolari per la curva. Consideriamo il punto P (, ) : F (, ) ; F x (, ) ; F y (, ). Dunque, secondo il eorema di Dini, esiste un intorno del punto P (, ) in cui la curva è esplicitabile rispetto a entrambe le variabili, ad esempio rispetto alla variabile x; in tal caso F è localmente grafico di una funzione regolare y f(x). Per tale funzione, sempre in base al eorema di Dini, si ha f ( ) F x(, ) F y (, ) <. 5.

6 In x, dunque, la funzione f è decrescente, come si può anche evincere dal grafico di seguito riportato. 6

7 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA - a.a. /4 Svolgimento esercizi della prova scritta di CALCOLO DIFFERENZIALE E INEGRALE (9 marzo 4) COMPIO C ) Detta F (x, y) e x+y + x + y, i punti singolari della curva F (x, y) sono caratterizzati dalla condizione F (F x, F y ) (, ). In questo caso si ha F x (x, y) e x+y + ; F y (x, y) e x+y +. Entrambe le derivate parziali sono sempre positive. Quindi non esistono punti singolari per la curva. Consideriamo il punto P (, ) : F (, ) ; F x (, ) ; F y (, ). Dunque, secondo il eorema di Dini, esiste un intorno del punto P (, ) in cui la curva è esplicitabile rispetto a entrambe le variabili, ad esempio rispetto alla variabile x; in tal caso F è localmente grafico di una funzione regolare y f(x). Per tale funzione, sempre in base al eorema di Dini, si ha f () F x(, ) F y (, ). In x riportato., dunque, la funzione f è decrescente, come si può anche evincere dal grafico di seguito ) Il dominio D è rappresentato in figura: Applichiamo la formula f dx f y dx D da cui, prendendo f(x, y) y e osservando che, lungo γ, x è costante, l integrale curvilineo si riduce a y dx y γ dx π/ (sin t)(cos t t sin t) dt π/ (t sin t sin t cos t) dt 7 π/ t sin t t cos t sin t sin t cos t] dt.

8 ( cos Il secondo integrale si risolve per parti, osservando che cos ) t t sin t, da cui y dx t cos t π/ π/ + cos t dt + t cos t π/ ( cos t + ) ] sin t cos t dt π/ sin t π/ π/ cos t + 9 sin t π/ dt sin t ] π/ ] 9. ) La superficie è il grafico di una funzione, definita in tutto il semipiano destro delle x positive, di classe C. Inoltre dz dx dz x/ ;. Pertanto W (x, y) + ( ) dz + dx ( ) dz + 9x. Il dominio di integrazione può essere rappresentato in forma normale rispetto all asse delle y: da cui segue D {(x, y) IR y ; x y}, Area(S) 7 7 y { x dx ( 9y) / /] 7 () 5/ () 5/] / } ] y ( + 9x)/ 7. / y 45 ( 9y)5/ ] 4) Il dominio è normale rispetto al piano (x, y) e si può scrivere nella forma {(x, y, z) IR x ; x y ; z x + y}. rattandosi di un tetraedro, il suo volume è immediatamente fornito da un terzo dell area di base per la lunghezza dell altezza: V ol 6. 8

9 Inoltre x dx dz dx ( + x y + z) dx + x y ] ] x+y x ( + x y + z) log log(x + ) + ] (x ) dx. Ricordando che, integrando per parti, si ha log(t) dt t log(t) t + C, possiamo scrivere dx dz ( + x y + z) (x ) log ( ] + x log (x + ) log(x + ) + (x + ) ). 9

10 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA - a.a. /4 Svolgimento esercizi della prova scritta di CALCOLO DIFFERENZIALE E INEGRALE (9 marzo 4) COMPIO D ) Il dominio D è rappresentato in figura: Applichiamo la formula f dx f y dx D da cui, prendendo f(x, y) y e osservando che, lungo γ e γ 4, x è costante, l integrale curvilineo si riduce a y γ dx y γ dx + y dx avendo cambiato il segno al secondo integrale, in quanto γ viene percorsa in senso contrario a quello di crescita del parametro x. Si ha y 4π π. dx π π ( cos t) dt + π 5 + ] cos t 4 cos t + sin t cos t dx 4π π dt 4π cos t + cos t cos t ] dt 5 t + ] π 4 sin t 4 sin t + sin t ) La superficie è il grafico di una funzione, definita in tutto il semipiano superiore delle y positive, di classe C. Inoltre dz dx ; dz y/. Pertanto W (x, y) + ( ) dz + dx ( ) dz + 4 y. Il dominio di integrazione può essere rappresentato in forma normale rispetto all asse delle x: D {(x, y) IR x ; y x + }, da cui segue Area(S) 8 8 +x dx (9 { y 4 + ) ] / 4 x / dx 8 (5 ) 5/ ( ) ] } 5 /. 8 ( + 4 ) ] / +x y dx ( ) 5/ 4 x x] /

11 ) Il dominio è normale rispetto al piano (x, y) e si può scrivere nella forma {(x, y, z) IR x ; y x + ; z + x y}. rattandosi di un tetraedro, il suo volume è immediatamente fornito da un terzo dell area di base per la lunghezza dell altezza: V ol 6. Inoltre dx dz ( x + y + z) x+ dx x + y ] Ricordando che, integrando per parti, si ha x+ ] x y+ dx ( x + y + z) log log( x) ] (x + ) dx. log( t) dt t log( t) t + C, possiamo scrivere (x + ) dx dz x log ( x + y + z) 6 5 ( ) 6 + log. ] (x ) log( x) + (x ) 4) Detta F (x, y) log(x + y) x + y, i punti singolari della curva F (x, y) sono caratterizzati dalla condizione F (F x, F y ) (, ). In questo caso si ha F x (x, y) x + y ; F y(x, y) x + y +. Essendo F definita per valori (x, y) tali che x+y >, la seconda derivata è sempre strettamente positiva. Quindi non esistono punti singolari ( per la curva. Consideriamo il punto P, ) ( : F, ) ( ; F x, ) ( ; F y, ). Dunque, ( secondo il eorema di Dini, esiste un intorno del punto P, ) in cui la curva è esplicitabile rispetto

12 alla variabile x, cioè è localmente grafico di una funzione regolare y f(x). Per tale funzione, sempre in base al eorema di Dini, si ha ( ) f F ( x, ) ( F y, ). In x, dunque, la funzione f ha un punto stazionario. Poiché ( f, ) F ( xx, ) ( F y, ) >, segue che il punto è di minimo locale per la f, come si può anche evincere dal grafico di seguito riportato.