TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE PER MARTINGALE

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Sintesi della Tesi di Laurea TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE PER MARTINGALE Relatore: Prof. PIETRO CAPUTO Laureando: GIORGIO GRAVELA Classificazione AMS: 60G40, 60G42, 60G44, 60G45, 60Fxx, 60F05. Parole chiavi: martingale, moti browniani, principio d invarianza, teorema centrale del limite. ANNO ACCADEMICO Maggio 2006

2 Indice Indice 1 1 T.C.L. Per Martingale Il Principio D Invarianza Bibliografia 11 1

3 Capitolo 1 T.C.L. Per Martingale Il Teorema Centrale del Limite (T.C.L.) è uno dei più importanti risultati nella teoria del calcolo delle probabilità. In breve, nella sua forma più elementare afferma che la distribuzione della somma di un numero elevato di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) è approssimata da una distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione delle singole variabili, purchè queste abbiano momento secondo finito. La teoria matematica delle martingale può essere considerata un estensione della teoria delle variabili aleatorie indipendenti, ed il nostro lavoro ha lo scopo di dimostrare un T.C.L. per martingale. Sia S n, n 1, una martingala rispetto alla filtrazione {F n } n, con ES n = 0, ESn 2 <, e sia X n = S n S n 1, n 2, con S 0 = 0, detta martingala differenze. Introduciamo la varianza condizionata per martingale V n = n E(Xi 2 F i 1 ), 1 che gioca un ruolo cruciale nella teoria di limite per martingale. Essa rappresenta una delle numerose stime della varianza ES 2 n e questo im- 2

4 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 3 plica che il comportamento al limite di S n è strettamente legato a quello di V n. Quindi se il comportamento di V n non è buono, potrebbe non essere possibile ottenere un T.C.L. Nota. Osserviamo che V n = nσ 2 se le X i sono i.i.d. con la varianza di X i uguale a σ 2. Nel teorema centrale del limite per martingale si richiede che la varianza condizionata sia asintoticamente costante: dove σ 2 n = EV n = ES 2 n. σ 2 n V n 1 in probabilità, (1.1) Un modo conveniente per introdurre V n è attraverso la decomposizione di Doob delle submartingale {S 2 n, F n }. Possiamo scrivere S 2 n = M n + A n, dove {M n, F n } è una martingala e {A n } è una successione crescente di v.a. non negative, con A n F n 1. Allora la decomposizione è unicamente determinata (q.c.) dalla seguente relazione: A n A n 1 = E(A n A n 1 F n 1 ) = E(S 2 n F n 1 ) S 2 n 1 = E((S n S n 1 ) 2 F n 1 ) = E(X 2 n F n 1 ). Quindi A n = V n.

5 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE Il Principio D Invarianza Con il termine principio d invarianza indicheremo i T.C.L. per funzionali. Mentre con il T.C.L. si studia la convergenza delle somme S n ad una normale standard 1, con un principio di invarianza studieremo la convergenza del processo S t, con t parametro continuo, al moto browniano B t. Nel 1978 Durret ha presentato un approccio unificato per ottenere vari principi di invarianza per S n partendo dal teorema di rappresentazione di Skorokhod. Di solito nei vari metodi usati per stabilire principi d invarianza, è necessario provare sia (a) la convergenza di distribuzioni finito-dimensionali che (b) la tightness 2. Il teorema di rappresentazione di Skorokhod permette invece di stabilire il principio di invarianza direttamente, senza usare le due parti (a) e (b). Nel nostro lavoro abbiamo seguito l approccio di Durrett. Abbiamo iniziato mostrando il legame tra le martingale e i moti browniani per poi fornire alcuni utili strumenti di calcolo per i tempi di primo ingresso per i moti browniani. Teorema Sia X t una martingala continua a destra adattata ad una filtrazione continua a destra. Se T è uno stopping time limitato allora EX T = EX 0. 1 con le opportune normalizzazioni. 2 Una successione {µ n } n di misure di probabilità si dice tight se ɛ > 0 k tale che: inf µ n([ k, k]) 1 ɛ n

6 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 5 Teorema B t è una martingala rispetto alla filtrazione F t 3. Teorema Se a < x < b allora P x (T a 4 < T b ) = (b x) (b a) Teorema B 2 t t è una martingala rispetto alla filtrazione F t. Teorema Sia T = inf{t : B t / (a, b)}, dove a < 0 < b. Allora E 0 T = ab. Teorema exp(θb t (θ 2 t/2)) è una martingala rispetto alla filtrazione F t. Teorema Sia T = inf{t : B t / ( a, a)}. Allora E 0 (exp( λt )) = 1/ cosh(a 2λ) Teorema B 3 t 3tB t,b 4 t 6tB 2 t + 3t 2,... sono martingale rispetto alla filtrazione F t. Teorema Sia T = inf{t : B t / ( a, a)}. Allora 3 Sia F 0 t = σ(b r : r t), allora E(T 2 ) = 5a 4 /3 F t = s>t F 0 s. 4 T a = inf{t : B t = a}

7 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 6 Nel terzo capitolo siamo partiti dal teorema di rappresentazione di Skorokhod per dimostrare il primo generale principio d invarianza per somme di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (Teorema di Donsker) di cui un immediato corollario è il T.C.L classico. Teorema (di rappresentazione di Skorokhod) Sia X una variabile aleatoria con EX = 0 e EX 2 <. Allora esiste uno stopping time T per un moto Browniano B t con B 0 = 0 tale che B T = d X e ET = EX 2. Il teorema di rappresentazione di Skorokhod si generalizza facilmente ottenendo il seguente: Teorema Siano X 1, X 2,... i.i.d. con funzione di distribuzione F, EX = 0 e EX 2 = 1, e sia S n = X X n. Allora esiste una successione di stopping times T 0 = 0, T 1, T 2,... tale che S n = d B Tn e T n T n 1 sono i.i.d.. Teorema (di Donsker) Sotto le ipotesi di , se definiamo S k S (u) = lineare su [k, k + 1] dove N è l insieme dei naturali, allora se u = k N per k N S (n ) n B ( )

8 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 7 Con la notazione S (n ) / n B ( ) intendiamo la convergenza debole della misura su C[0, 1] 5 associata al processo S (n ) / n alla misura su C[0, 1] associata al moto browniano B ( ). La topologia su C[0, 1] è quella determinata dalla norma ω = sup{ ω(s) : s [0, 1]}, che rende C[0, 1] uno spazio metrico completo separabile. Ricordiamo inoltre la seguente: Definizione Una successione di misure di probabilità µ n su C[0, 1] converge debolmente ad un limite µ se per ogni funzione continua limitata ϕ : C[0, 1] R, ϕdµ n ϕdµ. Vediamo come si passa da un principio d invarianza al T.C.L. Vale il seguente corollario del teorema di Donsker: Corollario Sia ψ : C[0, 1] R è continua P 0 -q.c. 6, allora ψ(s (n ) / n) ψ(b ( ) ) (1.2) Quindi basta porre ψ(ω) = ω(1). Infatti in questo caso ψ : C[0, 1] R è continua, e quindi applicando il corollario al teorema di donsker otteniamo il T.C.L. Con un procedimento del tutto analogo, nel quarto e ultimo capitolo siamo partiti dal teorema di Strassen, che è un estensione per martingale 5 C[0, 1] = {ω : [0, 1] R, con ω funzione continua }. 6 P 0 è la misura sotto la quale B t è un moto browniano che parte da 0 cioè P 0 (B 0 = 0) = 1.

9 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 8 del teorema di rappresentazione di Skorokhod, per dimostrare un principio di invarianza per martingale di cui un immediato corollario è il T.C.L. per martingale. Teorema (di Strassen) Se S n è una martingala con S 0 = 0 e B t è un moto browniano, allora esiste una successione di stopping times 0 = T 0 T 1 T 2... per B t tale che (S 0, S 1,..., S k ) = d (B T0, B T1,..., B Tk ) k 0. In analogia a quanto visto nel teorema , introduciamo la seguente notazione: 1. X n,m,1 m n, è una martingala vettore differenze rispetto ad F n,m, se X n,m F n,m e E(X n,m F n,m 1 ) = 0 per 1 m n, dove F n,0 = {, Ω}. 2. V n,k = 1 m k E(X 2 n,m F n,m 1 ) è la varianza condizionata di X n,m. 3. B ( ) è un moto browniano con B 0 = S n,(n ) denota l interpolazione lineare di S n,m definita da S n,m se u = m N S n,(u) = lineare per u [m, m + 1] per m N Un principio d invarianza per martingale è dato dal seguente: Teorema (di Freedman) Sia X n,m una martingala vettore differenze rispetto ad F n,m, e sia S n,m = X n, X n,m. Se valgono le seguenti affermazioni:

10 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 9 (i) X n,m ɛ n, m, con ɛ n 0 (ii) t, V n,[nt] t in probabilità allora S n,(n ) B ( ) Con ipotesi meno forti rispetto a quelle del teorema di Freedman, abbiamo dimostrato il seguente principio d invarianza per martingale, da cui poi con facili calcoli, si ottiene il T.C.L. per martingale. Teorema (di Lindeberg-Feller per martingale) Sia X n,m una martingala vettore differenze rispetto ad F n,m, 1 m n, e sia S n,m = X n, X n,m. Se valgono le seguenti affermazioni: (i) t [0, 1] V n,[nt] t in probabilità (ii) ɛ > 0 m n E(X 2 n,m1 ( Xn,m >ɛ) F n,m 1 ) 0 in probabilità allora S n,(n ) B ( ). Dal teorema si dimostra facilmente il seguente principio d invarianza per martingale: Teorema Sia X n una martingala successione differenze rispetto alla filtrazione {F n } n, cioè E(X n F n 1 ) = 0, e sia V k = k n=1 E(Xn 2 F n 1 ). Se valgono (i) V k /k σ 2 > 0 in probabilità (ii) n 1 n m=1 E(Xm1 2 ( Xm >ɛ n)) 0

11 CAPITOLO 1. T.C.L. PER MARTINGALE 10 allora S (n ) n σb ( ). Alla luce di quanto detto fin ora, dimostriamo il T.C.L. per martingale. Teorema Sotto le stesse ipotesi di si ha S n n σχ dove χ è la normale standard. Dimostrazione. Basta applicare il corollario alla ψ : C[0, 1] R con ψ(ω) = ω(1) e ricordarsi che B 1 è una normale standard.

12 Bibliografia [1] Dvoretsky A. Asymptotic normality for sums of dependent random variables. In Proc. 6th Berkeley Symp., volume II, pages , [2] Freedman D. Brownian motion and diffusion. Springer-Verlag, New York, [3] Root D.H. The existence of certain stopping times on brownian motion. In Ann.Mat.Statist. 40, pages , [4] Dubins L.E. On a theorem of skorokhod. In Ann.Math.Statist. 39, pages , [5] Donsker M. An invariance principle for certain probability limit theorems. In Memoirs of the AMS, No.6, [6] Billingsley P. Probability and measure. John Wiley and Sons, New York, [7] Hall P. and Heyde C.C. Martingale limit theory and its application. Academic Press, New York, [8] Durrett R. Probability:Theory and Examples. Duxbury, terza edizione,

13 BIBLIOGRAFIA 12 [9] Durrett R. and Resnick S. Functional limit theorems for dependent random variables. In Ann.Probab. 6, pages , [10] Strassen V. Almost sure behavior of the sum of independent random variables and martingales. In Proc. 5th Berkeley Symp., volume II, pages , 1967.