Indice Richiami di Matematica Finanziaria Fattore di Rischio e Principio di Arbitraggio

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1 Indice 1 Richiami di Matematica Finanziaria Introduzione Il valore del denaro nel tempo Obbligazioni Depositi bancari Modello di mercato monetario Titoli obbligazionari Titoli obbligazionari a cedola nulla Struttura per scadenza dei prezzi di zcb Esempio Processi di accumulazione e depositi bancari Modello di mercato monoperiodale Buon senso economico e leggi finanziarie La legge del prezzo unico Legge di linearità degli importi Legge di monotònia degli importi Postulato di rendimento del denaro Prezzi a pronti, prezzi forward e prezzi futures Alcune proprietà dei sistemi di prezzi Relazione tra prezzi forward e prezzi a pronti Relazione tra prezzi futures e prezzi a pronti Relazione tra prezzi futures e prezzi forward Relazione tra prezzi futures e prezzi forward per tassi deterministici Relazioni tra prezzi a pronti, forward e futures Fattore di Rischio e Principio di Arbitraggio Introduzione Contratti a termine Il raccolto delle olive Derivati sul tempo atmosferico I mercati a termine regolamentati Prime ipotesi per un modello di mercato ideale

2 10 INDICE 2.6 Operazioni finanziarie Operazione finanziaria elementare Forward e Opzioni in stile Europeo Introduzione Prezzi spot e dividendi Introduzione ai contratti Forward Portafoglio di copertura Dividendi continui Opzioni in stile europeo Valore di un opzione nel tempo Limitazioni razionali ai prezzi delle opzioni europee Monotònia rispetto al prezzo strike Proprietà di convessità per call europee Prezzi di Stato Introduzione Prezzi di stato e fattore di sconto Sistema di prezzi degli eventi e misura di probabilità Prezzi giusti e previsioni di martingala Scommesse condizionate Bene numerario Prezzi di stato, prezzi di mercato e beni numerari Prezzo di mercato del rischio Tecniche di pricing Mercati incompleti Equilibrio di un mercato monoperiodale Teorema dell assenza di arbitraggio Mercati completi e mercati incompleti Modello di Mercato di Harrison e Pliska Introduzione Modello di Mercato Strategie di gestione portafogli Strategie ammissibili Opportunità di arbitraggio Diritti condizionati Sistema di prezzi Relazione bigiettiva tra Π e Q Modelli di Mercato Titoli Introduzione Mercati Finiti Numerario Mercati Titoli Monoperiodali arbitrage-free

3 INDICE Misure equivalenti e beni numerari Misura futures Modello di mercato multiperiodale Modello di Mercato Binomiale Introduzione Modello di Rischio di Mercato Prime relazioni di non arbitraggio Il modello di Ho e Lee Limite continuo Pricing di Derivati in stile Europeo Modello di Cox, Ross e Rubinstein Pricing di Derivati in stile Europeo Valutazione di contratti forward Pricing di Opzioni Call e Put in stile Europeo Portafoglio di replica di una call Algoritmi Numerici: Backward Induction Algoritmo Backward Europeo Algoritmo Backward Americano Pricing di Contratti Forward Modello di Black&Scholes Il Modello di Black Formula di Pricing di Black Black, Scholes e Merton per Opzioni Europee Utilità della Misura Futures Analisi di Black, Scholes e Merton Relazioni tra greche ed equazione di BSM Esercizio Esercizio Mercati di BSM multiperiodali Portafoglio di Replica Stategia di replica e costi di ribilanciamento Mercati di Markov Modelli di Fokker-Planck Equazione di Black&Scholes Soluzione dell equazione di Black&Scholes Formula di Black, Scholes e Merton Rappresentazione di Feynman-Kač Pricing di Breeden e Litzenberg Scomposizione di un Derivato Pricing di Opzioni in stile Europeo Hammersley e Morton Strategia Stop-Loss Delta Hedging

4 12 INDICE 9 Greche e Pricing di Opzioni Introduzione Le greche per opzioni call di tipo europeo Esercizio Opzioni Package Opzioni Covered Call Opzioni Straddle Opzioni Strangle Opzioni Vertical Bull Spread Opzioni Collar Opzioni Butterfly Opzioni con Payoff Discontinui Opzioni Cash-or-Nothing e Asset-or-Nothing Opzioni di tipo Gap Opzioni Pay Later Opzioni con Barriera Opzioni knock-out e knock-in Pricing delle Opzioni con Barriera Esercizi Opzioni con Doppia Barriera Pricing Opzione Knock-out Modelli di Mercato a Volatilità Stocastica Introduzione Modello di Mercato Heston Metodo della Trasformata di Fourier Classico Valutazione di Opzioni Vanilla nel modello Heston Tassi di Interesse e Contratti Introduzione Interesse Forward Rate Agreement (FRA) Elementi definitori del FRA Interest Rate Swap (IRS) Opzioni su tassi di interesse Interest Rate Cap Interest Rate Floor Interest Rate Collar Flip Down Swap Quanto Swap Collar con Knock-in Ipotesi per un Mercato Ideale Mercato continuo Tassi di interesse spot Mercato Monetario e Rischio di Mercato

5 INDICE Struttura per scadenza dei prezzi dei bond Collegamento con la meccanica quantistica Schema di Heath, Jarrow e Morton Riepilogo dello schema di HJM Modelli di martingala Strutture a termine di tipo affine Il modello di Merton Modello di Merton nello schema di HJM Prezzi di stato nel modello di Merton Esercizio Il modello di Vasiček Il modello di Cox, Ingersoll e Ross A Calcolo delle Probabilitá 265 A.1 Richiami di teoria assiomatica delle probabilitá A.2 La struttura degli eventi A.2.1 Algebre A.2.2 Esercizi A.2.3 Sigma algebre o tribù A.2.4 Esercizi A.3 Spazi misurabili A.4 Tribù generate da collezioni di insiemi A.5 Tribù generate da collezioni di tribù A.5.1 Esempio A.6 Sigma algebra di Borel A.7 Partizioni A.8 Partizioni e tribù A.9 Partizioni di insiemi finiti A.10 Ordinamento parziale delle partizioni di un insieme A.11 Reticolo delle partizioni di un insieme A.11.1 Esempio A.12 Schema di Bernoulli A.13 Strutture informative A.14 Funzioni misurabili A.14.1 Immagine e immagine inversa A.14.2 Alcuni risultati A.15 Funzioni misurabili e variabili aleatorie A.15.1 Definizioni equivalenti di funzione Borel misurabile 288 A.15.2 Variabili aleatorie misurabili sull algebra minima A.15.3 Variabili aleatorie reali A.15.4 Funzioni Boreliane A.15.5 Tribù generate da variabili aleatorie A.15.6 Variabili aleatorie semplici A.15.7 Esempio A.16 Spazi misurati

6 14 INDICE A.17 Spazi probabilizzati A.17.1 Alcuni esempi A.18 Probabilità condizionata e indipendenza A.18.1 Indipendenza A.18.2 Probabilità condizionata A.18.3 Regola del prodotto A.19 Misura di Lebesgue A.20 Integrale di Lebesgue A.20.1 Densità A.20.2 Esempi di densità A.21 Spazi probabilizzati indotti da variabili aleatorie A.21.1 Distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria 300 A.21.2 Descrizione statistica di una variabile aleatoria A.21.3 Variabile aleatoria uniformemente distribuita A.22 Variabili aleatorie continue A.23 Variabili aleatorie discrete A.23.1 Delta di Dirac A.23.2 Alcune proprietà A.24 Previsione di una variabile aleatoria A.25 Funzione caratteristica A.25.1 Esempio A.26 Variabili uniformi A.27 Variabili di Bernoulli A.28 Variabili Gaussiane A.29 Variabili log-normali A.30 Distribuzione chi-quadrato A.31 Vettori aleatori A.31.1 Variabili indipendenti A.32 Distribuzione normale multivariata A.33 Previsione condizionata A.34 Proprietà della previsione condizionata A.34.1 Teorema A.35 Somma aleatoria di variabili aleatorie B Processi Stocastici 319 B.1 Definizione B.1.1 Filtrazioni B.2 Martingale B.3 Esempi di martingale B.3.1 Somma di variabili aleatorie B.4 Correlazioni B.4.1 Martingale e giochi d azzardo B.5 Costruzione di martingale B.6 Rappresentazione di Doob B.7 Martingale di Doob

7 INDICE 15 B.8 Martingala di Wald B.9 Likelihood B.10 Random walk B.11 Generazione di Random Walk con drift B.12 Trasformate di martingale B.13 Previsioni B.14 Misure equivalenti B.15 Teorema di Radon e Nikodym B.16 Strumenti per la costruzione di misure B.17 Distribuzioni normali e cambi di misura B.18 Previsione condizionata B.19 Previsione condizionata e cambio di misura C Catene di Markov 347 C.1 Introduzione C.2 Esempi di catene di Markov C.2.1 La rovina del giocatore C.2.2 Random walk con barriere assorbenti C.3 La relazione di Chapman Kolmogorov C.3.1 Probabilità di transizione a più passi C.4 Tempi di primo passaggio D Integrale di Itô 355 D.1 Moto browniano o processo di Wiener D.2 Leggi di simmetria e cambiamenti di scala D.3 Proprietà di Markov D.4 Integrali stocastici e calcolo di Itô D.5 Alcune proprietà dell integrale di Itô D.6 Proprietà di martingala D.7 Teorema di rappresentazione di martingala D.8 Processi di Itô D.9 Formula di Itô D.10 Esempio D.11 Generazione di processi gaussiani D.12 Esercizi D.13 Ponte browniano D.14 Moto browniano algebrico e geometrico D.15 Il processo di Ornstein-Uhlenbeck D.16 Il modello di Vasicek D.17 Teorema di Girsanov D.18 Costruzione di martingale e la formula di Itô D.19 La rappresentazione di Feynman-Kač D.20 Soluzione Feynman-Kač di Ornstein-Uhlenbeck D.21 Processi con ritorno alla media D.22 Processo a radice quadrata

8 16 INDICE D.23 Moti browniani condizionati E Integrazione Monte Carlo 389 E.1 Introduzione E.1.1 Caso multidimensionale E.2 Stimatori Monte Carlo E.3 Esempio E.4 Tecniche di riduzione della varianza E.5 Tecnica delle variabili antitetiche E.5.1 Esempio E.6 Statistiche d ordine E.7 Funzione di distribuzione empirica E.8 Quantili