Corso di Laurea in Banca, borsa e assicurazione. Tesi di Laurea in Metodi e modelli per i mercati finanziari

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1 Corso di Laurea in Banca, borsa e assicurazione Tesi di Laurea in Metodi e modelli per i mercati finanziari TECNICHE DI PORTFOLIO INSURANCE: UN APPLICAZIONE AL MERCATO ITALIANO Relatore: Marina Marena Candidato: Roberto Marfè Anno Accademico

2 1 Modelli di pricing 1.1 Black-Scholes (BS) ds t = µs t dt + σs t dw t dinamica diffusiva lognormale, 1 rendimenti normali, volatilità costante, le formule di valutazione per le opzioni vanilla europee sono: dove V call = SN(d 1 ) Ke rτ N(d 2 ), V put = Ke rτ N( d 2 ) SN( d 1 ) d 1 = ln(s/k) + (r + σ2 /2)τ σ τ d 2 = d 1 σ τ. mercati completi: replica perfetta, { V (St, t) V (S t, t) dπ t = + µs t + St 2 t S ( ) t V (S t, t) + σs t σs t dw t. S t hedging ratio: 1 Black e Scholes, σ 2 2 = V (S t, t) S t., 2 V (S t, t) S 2 t µs t } dt

3 1.2 Merton Jump-Diffusion (MJD) ds t = (α λκ)s t dt + σs t dw t + (y t 1)dN t dinamica diffusiva con salti occasionali, 2 rendimenti non-normali, tre parametri aggiuntivi per catturare asimmetria e curtosi, la formula di valutazione per un opzione vanilla europea è: V MJD = e λτ ( λτ) i V BS (S t, K, τ, r i, σ i ), i i=0 dove r i e σ i sono funzioni dei parametri del modello e del numero i-esimo di salti; mercati incompleti: minimizzazione dell errore di hedging 3 { V (St, t) V (S t, t) dπ t = + (α λκ)s t + St 2 t S ( ) t V (S t, t) + σs t σs t S t σ V (S t, t) S 2 t (α λκ)s t } dt dw t + {V (y t S t, t) V (S t, t) (y t 1)S t } dn t } {{ } rischio non eliminabile hedging ratio: = λe [(y t 1) (V (y t S t, t) V (S t, t))] + σ 2 V (S S t,t) t S t λs t E [ (y t 1) 2]. + σ 2 S t 2 Merton, Cont e Tankov, 2004.

4 2 Dynamic Hedging I dati: indice Mib , 36 campioni annuali e 28 trimestrali, hedging dinamico: orizzonte temporale, moneyness, frequenza di ribilanciamento. Si riporta un esempio per confrontare i due modelli di pricing. Figura 1: 11/ /2002 Black-Scholes: portafoglio di replica Figura 2: 11/ /2002 Merton Jump-Diffusion: portafoglio di replica

5 3 Portfolio insurance: OBPI e CPPI La portfolio insurance nasce dagli studi di Leland e Rubinstein nei primi anni 80: l intento era creare una tecnica assicurativa capace di annullare i rischi di un mercato finanziario. 4 L assicurazione di portafoglio infatti tende a rispondere ad una comune esigenza degli investitori: preferenze, in termini di rischio, asimmetriche rispetto al rendimento atteso. La portfolio insurance rende gli investitori in grado di evitare le perdite ma di catturare i guadagni, al costo di un premio prefissato. Suddividendo il capitale investito tra il titolo sottostante e l attività non rischiosa, in modo da replicare dinamicamente una posizione lunga su un opzione put e sull asset di riferimento, si realizza la tecnica di porfolio insurance detta OBPI. Nella seconda metà degli anni 80 si sviluppa una nuova tecnica dinamica definita CPPI: non usa strumenti derivati, ma, sfruttando un semplice algoritmo, il capitale è suddiviso, con un mix variabile, tra l asset di riferimento e il titolo privo di rischio, garantendo la quota di capitale iniziale assicurata. 5 4 Leland e Rubinstein, 1981 e Perold, 1986 e Black e Perold, 1992.

6 3.1 OBPI: Black-Scholes vs Merton Jump-Diffusion Figura 3: Portfolio to floor ratio: MJD vs BS Momenti (annualizzati) media varianza asimmetria curtosi MIB BS MJD Tabella 1: MIB30 e OBPI returns

7 3.2 Il confronto fra le strategie: la AOBPI La OBPI è una strategia path independent e nel periodo d investimento non offre alcuna garanzia. La CPPI è path dependent e durante l intero investimento garantisce il valore attuale del capitale assicurato a scadenza. Per meglio confrontare le due strategie, in questo lavoro se ne presentano due versioni modificate: la AOBPI, dove la put replicata è di tipo americano, e la CPPI CF, che garantisce il capitale assicurato lungo tutto l investimento. Figura 4: July , AOBPI vs OBPI (alpha=95%) Momenti (annualizzati) media varianza asimmetria curtosi MIB AOBPI CPPI CF Tabella 2: MIB30, AOBPI, CPPI CF returns

8 Figura 5: AOBPI returns vs Mib30 returns Figura 6: CPPI CF returns vs Mib30 returns

9 4 Programmazione in C++ Figura 7: Schema del programma

10 Bibliografia essenziale Bertrand, P. e Prigent, J-L. (2002) Portfolio insurance strategies: OBPI versus CPPI. Università di Cergy, Working paper, 30. Black, F. e Scholes, M. (1973) The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81, Cont, R. e Tankov, P. (2004) Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/CRC Financial Mathematics Series. Leland, H. E. e Rubinstein, M.(1988) The evolution of portfolio insurance (pubblicato in Portfolio Insurance: A Guide to Dynamic Hedging, a cura di Luskin, D. (Wiley, 1988)). Merton, R. C. (1976) Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous. Journal of Financial Economics, 3, Perold, A. F. e Sharpe, W. F. (1988) Dynamic strategies for asset allocation. Financial Analysts Journal, 44, Rubinstein, M. e Leland, H. E. (1981) Replicating options with positions in stock and cash. Financial Analysts Journal, 37, Wilmott, P. (1998) Derivatives. John Wiley & Sons.