ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING

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2 ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING L opzione europea (o vanilla) è una scommessa sul valore del sottostante ad una scadenza determinata T La call è una scommessa sul rialzo al di sopra di K La put è una scommessa sul ribasso al di sotto di K S K Se in T, S è maggiore di K, il possessore dell opzione incassa il valore intrinseco (S-K) Il valore dell opzione dipende dai seguenti fattori: S (valore del sottostante), K (strike), T (durata opzione), r (tasso risk free), D (dividendo), σ (volatilità del sottostante) 2

3 ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING Prima della scadenza, il valore di un opzione è scindibile in due componenti: il valore intrinseco VI = (S K) + Il valore temporale VT = (C 0 VI) Valore intrinseco (S X) = ( ) = 10 Valore temporale (C VI) = (18,34 10) = 8,34 A scadenza, il valore temporale è nullo e l opzione vale il solo valore intrinseco 3

4 ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING opzioni call su sottostante che non stacca dividendo A scadenza il valore dell opzione è certo e pari al valore intrinseco (ST K) L opzione vale la differenza fra il valore che si riceve (ST) e il valore che si paga ( K) Prima della scadenza il suo valore è incerto (probabilistico) L opzione vale il present value della differenza fra il valore che si riceve (ST) e il valore che si paga ( K) 4

5 ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING Se trascinassimo indietro (alla data di valutazione t=0) il valore intrinseco a scadenza (S T K), cosa otterremmo? Valore call oggi? T=0 T C=ST-K Valore call a scadenza Possiamo pensare al valore dell opzione (nel caso in esame call) come al present value del valore intrinseco a scadenza 5

6 ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING Il valore della call è il present value del valore intrinseco a scadenza Il valore di oggi di ST è S0 (valore corrente dell azione) Il valore attualizzato di K è K * e -rt (valore corrente del sottostante) Riscrivendo il valore intrinseco come differenza fra ciò che si riceve in caso di esercizio e ciò che si paga in caso di esercizio, si ottiene C0 = S0 * K * e -rt * 6

7 ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING È necessario completare la formula del valore intrinseco attualizzato ponderando i due componenti S0 e K * e -rt per due diverse probabilità il valore ST viene pesato per la probabilità che la call sia in the money in T, cioè per la prob (ST > K). Tale probabilità è N(d1) il valore K viene pesato per la probabilità che K sia pagato a scadenza. Tale probabilità è N(d2) Il risultato è la formula di Black Scholes per la valutazione della call europea C0 = S0 * N(d 1 ) K * e -rt * N(d 2 ) Le due probabilità N(d 1 ) e N(d 2 ) sono simili sia concettualmente che in valore, ma non identiche. Vediamo quali fattori incidono su di esse 7

8 LA FORMULA DI BLACK SCHOLES C 0 = S 0 * N(d 1 ) K * e -rt * N(d 2 ) S t N(d 1 ) rappresenta il valore che si ottiene in caso di esercizio. Tale valore dipende dal prezzo del sottostante S0 e dalla probabilità N(d 1 )che S>K a scadenza. Ke -rt N(d 2 ) esprime il costo che si sostiene per il ritiro del sottostante.tale costo dipende dal valore attuale del prezzo di esercizio (Ke -rt ) e dalla probabilità N(d 2 ) che lo strike sia versato. Il valore dell opzione call è quindi semplicemente la differenza fra quanto si riceve con probabilità N(d 1 ) e quanto si paga con probabilità N(d 2 ). 8

9 LA FORMULA DI BLACK SCHOLES N(d 1 ) è la probabilità (fra 0 e 100%) che la call sia in the money a scadenza Se S 0 è molto più basso di K, d 1 è negativo e N(d 1 ) è prossimo a 0 (la probabilità che la call sia ITM a scadenza tende a 0) Se S 0 è in linea con K, d 1 è nullo e N(d 1 ) è prossimo a 0,50 (la probabilità che la call sia ITM a scadenza è intorno al 50%) Se S 0 è già in partenza molto alto rispetto a K, d 1 è positivo e N(d 1 ) è prossimo a 1 (la probabilità che la call sia ITM a scadenza tende al 100%) Sul valore di d 1 e N(d 1 ) incidono positivamente: La moneyness dell opzione (S/K) La volatilità del sottostante σ Il tasso di interesse r La durata dell opzione T 9

10 La misura del tasso di attualizzazione per la valutazione delle opzioni Il tasso di attualizzazione utilizzato per la formula di Black e Scholes è pari a quello per investimenti privi di rischio. La possibilità di utilizzare detto tasso dipende dalla circostanza che la combinazione dell opzione e del sottostante può avvenire in maniera tale da rendere la posizione complessiva coperta dal rischio connesso alle fluttuazioni di prezzo. 10

11 Si ipotizzi di costruire una posizione coperta composta da un azione che, alla data di valutazione dell opzione, ha un prezzo pari a 70 e dalla vendita di tre opzioni call europee sull azione che, alla scadenza, abbaino un prezzo di esercizio pari a 80. Si assuma inoltre che, al termine del suddetto esercizio, il prezzo dell azione possa essere pari a 100, nell ipotesi di evoluzione favorevole, e pari a 40 nell ipotesi di opzione sfavorevole. Il prezzo sale a 100 Il prezzo scende a 40 Valore azione Valore opzioni vendute Valore posizione coperta (60)

12 Assumendo un tasso di attualizzazione pari al 5%, ne deriva un valore dell opzione pari a 10,65, come risulta dalla seguente relazione metodologica: Valore alla scadenza di 1 Azione 3 opzioni = 40 Valore all epoca della stima di 1Azione 3opzioni = 40/e 0,05 = 70 3 opzioni = 38,05 Da cui, 1 opzione = 10,65 12

13 LA FORMULA DI BLACK SCHOLES call europea con dividendo Se il sottostante stacca il dividendo durante la vita dell opzione, il prezzo del sottostante viene decurtato del valore attuale del frutto staccato La formula di Black e Scholes diventa: 1) (S0 D*e -rt ) * N(d 1 ) K * e -rt * N(d 2 ) (ipotesi di dividendi puntuali; 2) (S0 e -yt ) * N(d1) K * e -rt * N(d2) (ipotesi di tasso di dividendo costante). Lo stacco del dividendo infatti incide negativamente sul valore dell azione e sul valore atteso di S T a scadenza 13

14 LA FORMULA DI BLACK SCHOLES per opzioni diverse da quelle europee L esercizio anticipato della call americana non è mai conveniente se il sottostante non stacca un diritto (come il dividendo) che compensa dalla perdita (il valore temporale) legata all esercizio anticipato; per tale ragione si può trattare la call americana come una call europea ed utilizzare il modello di B&S; Nell ipotesi di opzioni put europee, la formula di B&S può essere utilizzata con i seguenti adattamenti: C0 = K * e -rt * N(- d 2 ) S * N(- d 1 ) C0 = K * e -rt * N(- d 2 ) S e -yt * N(- d 1 ) Il modello di B&S non può essere impiegato per valutare le opzioni le call americano nell ipotesi in cui il sottostante paghi dividendi e le put americane (indipendentemente dalla circostanza che il sottostante paghi o meno dividendi) 14

15 LA VALUTAZIONE DELLE OPZIONI IL MODELLO BINOMIALE Un modello diverso per la valutazione delle opzioni è il modello binomiale Come Black e Scholes, anche il binomiale stima il valore del sottostante (e il relativo valore intrinseco) a scadenza e giunge al valore corrente dell opzione attualizzando i suoi valori futuri tenendo conto della probabilità Anche se tecnicamente sono molto diversi, i due modelli pervengono (se il binomiale è ben calibrato) alla stessa valutazione dell opzione 15

16 L ALBERO BINOMIALE Step 1 Step 2 16

17 IL BINOMIALE IN SINTESI modello a 2 passi Si suddivide la durata dell opzione T in 2 intervalli di durata Δt=T/2 Partendo dal valore di oggi del sottostante S 0 si calcolano i possibili valori futuri S u (rialzo) e S d (ribasso); da ciascuno di essi si calcolano i due valori successivi (da S u si perviene a S uu e S ud, da S d si perviene a S du e S dd S ud e S du coincidono per le proprietà del modello In corrispondenza dei valori a scadenza del sottostante S uu, S ud e S dd, si calcolano i valori intrinseci della call C uu, C ud e C dd Attualizzando ogni coppia di valori futuri, tenendo conto della probabilità di rialzo e di ribasso si perviene al valore precedente Da C uu e C ud si arriva a C u, da C ud e C dd si arriva a C d, infine dai valori al tempo 1 C u e C d si calcola il valore corrente dell opzione C 0 17

18 IL MODELLO BINOMIALE: LE FORMULE Come si determina u e d u = e σ Δt d = e -σ Δt Approccio di Cox Ross Rubinstein Come si determina p u e p d Noti C uu e C ud come si determina C u Allo stesso modo, da C ud e C dd si perviene a C d, da C u e C d si perviene a C 0 18

19 Dati: IL MODELLO BINOMIALE: UN APPLICAZIONE PRATICA S=100; X=100; r=3%; σ=25%; Τ=1 anno Si valuti l opzione con l albero a due passi ************************** Si calcolano in primo luogo i parametri del modello Δt, u, d, p u, p d Si calcola la durata del passo: Δt = T/n = 1 anno / 2 = 0,50 Si calcola il tasso di crescita u u = e σ T/2 = e 0,25 0,50 = 1,193 Si calcola il tasso di decrescita d d = e -σ T/2 = e -0,25 0,50 = 0,838 Si calcola la probabilità di rialzo u = (1,015-0,838)/(1,193-0,838) = 0,498 Si calcola la probabilità di ribasso d = (1,193-1,015)/(1,193-0,838) = 0,502 19

20 L ALBERO DEL SOTTOSTANTE C uu =142, = 42,41 C ud = = 0 C ud =70, = neg = 0 LEGENDA Su = 119,34 = S 0 * u = 100 * 1,193 Sd = 83,80 = 100 * 0,838 Suu = 142,41 = 119,34 * 1,193 Sud = Sdu = 100,00 = 119,34 * 0,838 Sdd = 70,22 = 83,80 * 0,838 20

21 L ALBERO DELL OPZIONE LEGENDA C uu = (142,41 100) = 42,41; C ud = ( ) = 0; C uu = (70,22 100) = neg = 0 C u = (42,41* 0, * 0,502) / e -0,03*0,50 = 20,83 C d = (0,00 * 0, ,00 * 0,502) / e -0,03*0,50 = 0,00 C 0 = (20,83 * 0, ,00 * 0,502) / e -0,03*0,50 = 10,23 21

22 IL BINOMIALE E LA CALL AMERICANA il sottostante stacca il dividendo durante la vita dell opzione La presenza del dividendo può rendere conveniente l esercizio anticipato della call americana Ipotizzando, con i dati dell esempio precedente, di staccare il dividendo di 5 dopo un periodo, l albero scivola verso il basso in misura pari al dividendo staccato Se si esercita la call si incassa il VI 19,34 Albero del sottostante Cum 119,34 Albero della call Es ant 19,34 Se non si esercita Il valore dell opzione che resta in portafoglio è solo 17,90 22

23 Principali differenze nella valutazione delle opzioni reali rispetto a quelle finanziarie Difficoltà connesse alla quantificazione del valore dell attività sottostante; Perdita di valore dell attività sottostante; Stima della volatilità; Opzioni composte.

24 La valutazione di un opzione di rinviare un progetto: un esemplificazione (Fonte A. Damodaran, Valutazione delle aziende, Apogeo, Milano, 2002) Si ipotizzi un progetto con un investimento iniziale di 500 milioni di Euro, che per cinque anni genererà un flusso di cassa pari a 100 milioni di Euro. Si ipotizzi, inoltre, che nei prossimi cinque anni non ci saranno concorrenti - avendo noi l esclusiva del progetto per tale periodo - che il tasso di attualizzazione sia il 15%, che il tasso privo di rischio sia pari al 5% e che la deviazione standard sia pari al 42%. In questo caso, a fronte di un VAN negativo, abbiamo un valore dei diritti del progetto positivi, come risulta dalle seguenti relazioni metodologiche: VAN = Valore attuale di una rendita di 5 anni pari a 100 = = -165 Valore dei diritti = 335 e (-0,2)(5) (0,225) 500 e (-0,05)(5) (0,0451) = 10,18