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1 Cognome, nome e n. matricola METODI E MODELLI QUANTITATIVI PER LE SCELTA FINANZIARIE Corso di laurea magistrale in sviluppo economico e dell impresa Prova scritta d esame TREVISO 25 I ) Si consideri il caso di un importatore canadese che sottoscrive in posizione lunga un contratto future sull euro. Il contratto scade fra 8 mesi, il tasso di cambio all epoca iniziale è S CAD/EUR 0 = , i tassi di interesse istantanei annui, supposti costanti per tutta la durata del contratto, sono r CAD = 0.75% e r EUR = 0.65%. Si richiede di: Calcolare il prezzo teorico del contratto future unitario F EUR/CAD 0,8. Scrivere la funzione di payoff alla scadenza e disegnarne il grafico. Calcolare il valore del contratto 4 mesi dopo la sua attivazione nell ipotesi che il dollaro canadese si sia rivalutato del 5% rispetto alla quotazione iniziale. Calcolare il tasso di cambio dollaro canadese/euro che all epoca t = 7 mesi annulla il valore del contratto attivato oggi. 2) Il prezzo di un titolo azionario che non distribuisce dividendi è regolato dalla dinamica browniana geometrica ds = µsdt + σsdw con S 0 = 100, µ = r = 0.01, σ = 0.2. Con riferimento a tale titolo azionario viene attivata una strategia che prevede l acquisto di un opzione put e la vendita di due call. Le opzioni sono di tipo europeo e hanno la medesima scadenza (T=9 mesi) ma diverso prezzo d esercizio (X put = 93 e X call = 108). I premi unitari di mercato sono p me = 3 per una put e c me = 5 per una call. Si richiede di: 1. scrivere l espressione analitica della funzione di profitto della strategia alla scadenza e disegnare tale funzione per S T [60, 130]; 2. calcolare il prezzo di Black-Scholes dell opzione call e della put; 3. calcolare la probabilità che la strategia dia luogo a un guadagno all epoca di scadenza. 3) Il prezzo di un bene, regolato da una dinamica binomiale, all epoca t = 0 quota S 0 = 100 e ogni 6 mesi può aumentare o diminuire del 5 %. La probabilità di un incremento è q = 0.6. Su tale bene viene emessa un opzione put americana at the money di tipo tutto (k=30) o niente con scadenza dopo 18 mesi. Il tasso di interesse mono-periodale semestrale per le attività non rischiose è i 2 = Si richiede di: 1. Costruire l albero binomiale su un periodo di 18 mesi 2. Calcolare il valore medio dei possibili prezzi finali del bene, 3. Stabilire se un C.T.Z. che quota 97.5 e scade fra 18 mesi domina il bene in base al criterio media/varianza, 4. Calcolare il valore medio dell opzione binaria alla scadenza, 5. Calcolare le probabilità neutrali al rischio, 6. Prezzare l opzione binaria. 1

2 CENNO DI SOLUZIONE 1) Il prezzo teorico del contratto future è F EUR/CAD 0,8 = S EUR/CAD 0 e (r CAD r EUR )t 8 = La funzione di payoff alla scadenza e( )2/3 = = K 0,T G(S T ) = S T K 0,T La rivalutazione del dollaro canadese comporta che sia S CAD/EUR 5 = S CAD/EUR = Il valore del contratto 4 mesi dopo la sua attivazione è f 4 = (K 4,T K 0,T )e (T t4) = dollari canadesi. Il tasso di cambio dollaro canadese/euro che all epoca t = 7 mesi annulla il valore del contratto attivato oggi si ottiene da cioè da K EUR/CAD 7,T = K EUR/CAD 0,T S EUR/CAD 7 e ( )1/12 = e si trova S EUR/CAD 7 = e quindi S CAD/EUR 7 = ) La funzione di profitto della strategie alla scadenza è G(S T ) = 2 max[s T X call, 0] + max[x put S T, 0] + 2c me p me ovvero 93 S T + 7, se S T < 93; G(S T ) = 7, se 93 S T 108; 2(S T 108) + 7, se S T > 108. Il prezzo di Black-Scholes dell opzione call è c BS = S 0 N(d 1 ) X call e rt N(d 2 ) = 4.12 (d 1 = N(d 1 ) = d 2 = N(d 2 ) = ) Il prezzo di Black-Scholes dell opzione put è p BS = Xe rt N( g 2 ) S 0 N( g 1 ) = 3.48 (d 1 = 0, 5489 d 2 = 0, 3757 N(d 1 ) = 0, 7085 N(d 2 ) = 0, 6464) La strategia dà luogo a un guadagno all epoca di scadenza se S T < Si ha P rob(s T > 111.5) =

3 Figura 1: Funzione di profitto della strategia per S T [60, 140] e quindi la probabilità richiesta è 1 P rob(s T > 111.5) = ) 1) I prezzi dopo 6 mesi sono: I prezzi dopo un anno sono: S 0 u = 105 S 0 d = 95 S 0 u 2 = S 0 ud = S 0 d 2 = I prezzi dopo 18 mesi sono: S 0 u 3 = S 0 u 2 d = S 0 ud 2 = S 0 d 3 = e le rispettive probabilità sono: Il valore medio dei prezzi alla scadenza è E[P ] = Il tasso di rendimento medio del prezzo del bene è del 3.03%. Dato che in 18 mesi lo C.T.Z. rende meno del 3% non c è relazione di dominanza in base al criterio media/varianza. Il valore dell opzione binaria a scadenza è positivo solo per S 0 ud 2 = che viene ottenuto con probabilità e per S 0 d 3 = che viene ottenuto con probabilità Dato che l opzione paga la somma K se l opzione scade in the money, il valore medio è Le probabilità neutrali al rischio sono E[P T ] = = p = r d = p = 0.3 u d 3

4 Ripercorrendo l albero a ritroso ricordando che l opzione è americana dopo un anno si ottiene P 22 = 0 P 21 = P 20 = 30 Dopo sei mesi si ha [ P 11 = max X S 11, pp ] 22 + (1 p)p 21 = P 10 = 30 r p All epoca iniziale si ha P 0 = pp 11 + (1 p)p 10 r p =

5 HANNO SUPERATO L ESAME BASSI GIULIA con punti 18 (5742) BASSO ELISA con punti 22 (10462) BERALDO FEDERICO con punti 23 (10652) CATTAI FRANCESCO con punti 26 (11852) CORRENTE PIETRO con punti 18 (7632) DARIO VALENTINA con punti 18 (6552) DE BIASI FEDERICO con punti 30 (111162) LIN PING con punti 18 (853)+2 MINTO MARCO con punti 26 (8972) RACHIU VIORICA con punti 18 (755)+1 SEMENZATO GIORGIO con punti 18 (5462) SNIDARO SERENA con punti 21 (1164) TIOTTO SAVERIO con punti 29 (11108) ZERBATO MARCO con punti 26 (8972) Visione compiti corretti e registrazione GIOVEDI 9 febbraio ore ufficio I al piano terreno 5

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