Opzioni americane. Opzioni americane

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1 Opzioni americane Le opzioni di tipo americano sono simili a quelle europee con la differenza che possono essere esercitate durante tutto l intervallo [0, T ]. Supponiamo di avere un opzione call americana con prezzo del titolo a 50, prezzo di esercizio 40, scadenza un mese. In tal caso risulterebbe conveniente esercitare subito il diritto di opzione guadagnando 10. Ma se in un portafoglio abbiamo azioni del titolo sottostante e non intendiamo venderle prima di un mese, allora vendere subito non è la strategia migliore. Infatti converebbe vendere a fine periodo.

2 Opzioni americane Un secondo buon motivo per aspettare è che c è sempre la possibilità (anche solo remota) che il titolo scenda al di sotto del valore 40 ; in tal caso l opzione funge da garanzia contro la perdita di valore del titolo azionario. Se invece riteniamo che il titolo in nostro possesso sia sopravvalutato dal mercato, allora diventa interessante capire quando conviene esercitare il diritto di opzione e vendere il titolo stesso. Si noti che il valore di un opzione call americana è sempre maggiore di quello di una call europea, mentre questo non avviene nel caso di opzioni di tipo put o in generale quando vi sono dei dividendi.

3 Opzioni americane Esempio per un opzione di tipo put americana: supponiamo che il prezzo di esercizio sia pari a 10 mentre oggi il titolo sottostante è all incirca nullo. Vendendo subito abbiamo un payoff di 10. Se invece aspettiamo un po, il payoff potrebbe risultare più basso di 10 (non potendo ammettere quotazioni negative). Converrà quindi esercitare subito il diritto d opzione. Il valore di una put americana si dimostra essere funzione del prezzo iniziale S 0 : più basso è, maggiore è il valore dell opzione. Le opzioni americane che possono esercitate solo a date prefissate prima del tempo di scandenza vengono chiamate Bermudan.

4 Opzioni americane Le opzioni americane quindi devono soddisfare la seguente disequazione di Black & Scholes rc(t, x) C t (t, x) + rxc x (t, x) σ2 x 2 C xx (t, x) e la soluzione va determinata sotto due condizioni tecniche che riguardano la continuità del delta e del valore della funzione vista come funzione di S. Di un opzione americana si deve calcolarne sia il valore al variare del tempo ma anche, per dato valore del titolo sottostante S se conviene o meno esercitare il diritto di opzione.

5 Opzioni americane Ad ogni istante di tempo t, esisteranno dei valori di S per i quali conviene esercitare l opzione e altri per cui questo non è conveniente. Si parla di problemi a frontiera libera. Indichiamo con S f (t) la curva sotto/sopra la quale si esercita che chiameremo anche barriera di esercizio. Per l opzione put american: si esercita il diritto se S < S f (t)

6 Opzioni americane Non è possibile ottenere espressioni di P(t) in forma chiusa. Non è possibile svolgere un analisi Monte Carlo come quella vista per le opzioni di tipo europee e si deve quindi ricorrere a a metodi di soluzione numerica.

7 Diviamo l intervallo di tempo [0, T ] in N intervalli di stessa ampiezza t = T /N. Abbiamo quindi N + 1 tempi da considerare 0, t, 2 t,..., T Determiniamo il valore S max come il valore massimo raggiunto dal processo dei prezzi. Dividiamo l intervallo fino a S max in M sottointervalli di stessa ampiezza (si deve imporre per comodità che il valore corrente del processo sia uno di questi punti)

8 Alla fine avremo costruito una griglia di (M + 1)(N + 1) punti dove il punto di coordinate (i, j) rappresenta il valore j S del processo al tempo i t. Indichiamo con c i,j il valore dell opzione in corrispondenza al punto (i, j). Approssimiamo oppure con C(t, S(t)) x = C i,j+1 C i,j S forward C(t, S(t)) x = C i,j C i,j 1 S backward

9 Mentre, con alcuni passaggi si ricava che C(t, S(t)) x 2 = C i,j+1 + C i,j 1 2C i,j S 2 Sostituendo le approssimazioni nell equazione di Black & Scholes otteniamo...

10 C i+1,j C i,j t + rj S C i,j+1 C i,j 1 2 S σ2 j 2 2 C i,j+1 + C i,j 1 2C i,j 2 = rjc i,j Riorganizzando i termini si può scrivere

11 dove C i,j = a j C i+1,j 1 + b C i+1,j + c j C i+1,j+1 ( 1 2 rj t + 1 ) 2 σ2 j 2 t aj 1 = 1 + r t bj 1 ( ) = 1 σ 2 j 2 t 1 + r t cj 1 = 1 + r t ( 1 2 rj t σ2 j 2 t che permette di calcolare il valore dell opzione. )

12 Per poter calcolare i valori di C i,j è necessario osservare che al tempo T il valore della put è dato da max(k S(T ), 0) e quindi C N,j = max(k j S, 0), j = 0, 1,..., M Se invece il prezzo è pari a S max, ovvero S = S max allora il valore dell opzione è nullo, quindi C i,m = 0, i = 0, 1,..., N mentre se il prezzo del titolo è nullo allora il payoff è tutto X, quindi C i,0 = K, i = 0, 1,...,, N

13 Scriviamo l equazione per i = N e otteniamo C N 1,j = a j C N,j 1 + b C N,j + c j C N,j+1, j = 1, 2,..., M 1 dove il termine di destra è noto per quanto scritto in precendenza. Inoltre C N 1,0 = K C N 1,M = 0 e quindi abbiamo un sistema di M 1 equazioni in M 1 incognite C N 1,1, C N 1,2,..., C N 1,M 1 Di cui è possibile trovare la soluzione per sostituzioni successive (senza ricorrere all inversione della matrice del sistema)

14 Una volta determinati tutti i valori C N 1,j li si confrontano con K j S. Se C N 1,j < K j S allora il tempo ottimo di esercizio è T t e si pone C N 1,j = K j S. Si itera la procedura per i = N 1, etc fino ad arrivare a determinare i valori C 0,1, C 0,2,..., C 0,M 1. Uno di questi sarà il prezzo dell opzione che ci interessa (al variare dell indice j)