Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni"

Transcript

1 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione delle opzioni richiede spesso l impiego di tecniche di approssimazione numerica; tra gli algoritmi di approssimazione numerica l approccio più semplice è costituito dalle tecniche ad albero (binomial tree). La caratteristica fondamentale delle tecniche ad albero consiste nel restringere i prezzi possibili per il bene sottostante l opzione ad un insieme discreto di valori. Le tecniche ad albero sono interessanti in quanto non solo richiedono l impiego di strumenti matematici elementari ma in molte applicazioni forniscono dei risultati che risultano sufficientemente accurati. In particolare, l applicazione di tali tecniche alla risoluzione di problemi di finanza matematica ha dato spesso risultati soddisfacenti, proponendosi come uno strumento di valutazione che permette di ottenere delle ottime approssimazioni per il valore dei titoli derivati anche nei casi caratterizzati da una struttura particolarmente complessa. Lo scopo dei paragrafi che seguono è introdurre il funzionamento e analizzare l impiego degli alberi binomiali per la valutazione delle opzioni finanziarie su azioni. 2 Contratti di Opzione su azioni I contratti di opzione su azioni (stock options) sono stati trattati in borsa per la prima volta nel Da allora c è stata una fortissima crescita dei mercati delle opzioni, che vengono ora trattate in diverse borse sparse per tutto il mondo. Esistono due tipi fondamentali di opzioni: calls e puts. Le opzioni call danno al portatore il diritto di comprare un attività entro una certa data, per un certo prezzo. Il prezzo indicato nel contratto è detto prezzo di esercizio (exercise price) o prezzo base (strike price); la data indicata nel contratto è detta data di estinzione (expiration date) o scadenza (maturity). Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla scadenza, Dipartimento di Matematica, Università di Bari Aldo Moro 1

2 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 2 mentre le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi momento durante la loro vita. Le opzioni europee sono più facili da analizzare e alcune proprietà delle opzioni americane sono spesso dedotte da quelle delle corrispondenti opzioni europee. Le opzioni danno al poratore il diritto di fare qualcosa, ma il portatore non è obbligato ad esercitare questo diritto. Per acquistare un contratto di opzione si sostiene un costo. Esempio 2.1. Si consideri un investitore che compra 100 call europee scritte su azioni, con prezzo d esercizio K = 100$. Si supponga che il prezzo corrente dell azione è S 0 = 98$, che l opzione scada tra 2 mesi, cioè al tempo T = 2, e che il suo prezzo sia di 5$. L investitore può esercitare l opzione solo alla scadenza. Ne consegue che, se al tempo T = 2: il prezzo dell azione S T < 100$ l opzione non verrà esercitata (non ha senso comprare a 100$ un azione che ne vale meno). In questo caso l investitore perde l intero investimento iniziale che è pari a 100(5)$ = 500$; il prezzo dell azione S T > 100$ l opzione verrà esercitata. In questo secondo caso, supponiamo che S T = 115$. L investitore esercita quindi l opzione acquistando 100 azioni a 100$ l una. Se le azioni vengono immediatamente rivendute, l investitore consegue un profitto netto per call pari a 15$ 5$ = 10$ e un guadagno totale pari a 100(10)$ = 1000$ (in questo calcolo si sono trascurati i costi di tansazione e il valore temporale del denaro). Il guadagno netto unitario (o la perdita netta unitaria) dell investitore in funzione del prezzo finale S T dell azione sottostante è una funzione convessa non decrescente. Osserva: Talvolta l investitore può subire una perdita anche quando esercita un opzione. Si supponga, ad esempio, che S T = 103$. L investitore esercita l opzione ma subisce una perdita netta complessiva di 200$. Questo risultato è comunque migliore della perdita di 500$ che l investitore subirebbe nel caso in cui le opzioni non venissero esercitate. Chi acquista una call spera che il prezzo del titolo azionario sottostante aumenti, mentre chi acquista una put spera che il prezzo dell azione diminuisca. Esempio 2.2. Si consideri un investitore che compra 100 put europee scritte su azioni, con prezzo di esercizio K = 70$. Si supponga che il prezzo corrente del sottostante sia S 0 = 66$, che l opzione scada al tempo T = 3 mesi e che il suo prezzo sia di 7$. Allora, se al tempo T = 3: il prezzo dell azione S T > 70$ l opzione non verrà esercitata (non ha senso vendere a 70$ un azione che viene acquistata a un prezzo maggiore). In questo caso l investitore perde l intero investimento iniziale che è pari a 100(7)$ = 700$;

3 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 3 il prezzo dell azione S T < 70$ l opzione verrà esercitata. In questo secondo caso, supponiamo che S T = 50$. L investitore esercita quindi l opzione acquistando 100 azioni a 50$ l una e, in base alle condizioni sottoscritte nel contratto, le rivende a 70$ l una. L investitore consegue un profitto netto per call pari a 20$ 7$ = 13$ e un guadagno totale pari a 100(13)$ = 1300$ (in questo calcolo si sono trascurati i costi di tansazione e il valore temporale del denaro). Il guadagno netto unitario (o la perdita netta unitaria) dell investitore in funzione del prezzo finale S T dell azione sottostante è una funzione convessa non crescente. Nei contratti di opzione ci sono due controparti: a. l investitore che ha comprato l opzione (posizione lunga); b. l investitore che ha venduto o scritto l opzione (posizione corta); Chi vende l opzione incassa il premio ma può subire in futuro delle perdite. Il suo profitto è una perdita per la controparte, e viceversa. Esistono 4 tipi di posizioni sulle opzioni: 1. una posizione lunga su una call; 2. una posizione lunga su una put; 3. una posizione corta su una call; 4. una posizione corta su una put; È utile caratterizzare le posizioni su opzioni europee in termini del loro valore finale (payoff). Il costo iniziale dell opzione non viene considerato. Se K è il prezzo di esercizio e S T è il prezzo del titolo sottostante alla scadenza T dell opzione, allora il valore finale di una posizione lunga su una call europea è: (S T K) + := max(0, S T K) = Il valore finale di una posizione corta su una call europea è: (S T K) = min(0, K S T ). S T K, se S T > K; 0, se S T K. Il valore finale di una posizione lunga su una put europea è: (K S T ) + K S T, se S T < K; := max(0, K S T ) = 0, se S T K. Il valore finale di una posizione corta su una put europea è: (K S T ) := min(0, S T K).

4 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 4 3 Arbitraggio Illustriamo il concetto di arbitraggio con un semplice esempio. Esempio 3.1. Si consideri un azione che è trattata in borsa, sia a New York che a Londra. Si supponga che il prezzo dell azione sia di 172$ a New York e di 100 a Londra, con un tasso di cambio 1 = 1,75$. Un arbitraggista potrebbe comprare simultaneamente 100 azioni a New York e venderle a Londra per ottenere, senza rischio, un profitto pari a: 100(1, 75(100) 172)$ = 300$, in assenza di costi di transazione. Probabilmente, i costi di transazione eliminerebbero le possibilità di profitto per i piccoli investitori. Però le grandi società finanziarie hanno costi di transazione molto bassi sia sul mercato azionario sia sul mercato dei cambi. Di conseguenza, esse troverebbero molto attraente questa possibilità di arbitraggio e cercherebbero di trarne il maggior vantaggio possibile. L arbitraggio consiste nella possibilità di realizzare guadagni certi, cioè privi di rischio, entrando simultanenamente in transazioni che riguardano due o più mercati finanziari. Le opportunità di arbitraggio del tipo di quella appena descritta non possono durare a lungo. Infatti, non appena gli arbitraggisti cominceranno a comprare le azioni a New York, ad un aumento di domanda corrisponderà un aumento del prezzo in dollari. Analogamente, non appena essi incominceranno a vendere le azioni a Londra, ad un aumento dell offerta corrisponderà una diminuzione del prezzo in sterline. Molto rapidamente, i due prezzi diventeranno equivalenti, se confrontati sulla base del tasso di cambio corrente. In realtà, l esistenza di arbitraggisti affamati di profitti, rende impossibile che un importante differenza tra il prezzo in sterline e il prezzo in dollari possa mai manifestarsi. L esistenza di opportunità di arbitraggio è in aperto contrasto con il concetto di equilibrio. Un mercato in equilibrio è un mercato nel quale sono assenti opportunità di arbitraggio, non consentendo il sistema vigente dei prezzi di porre in essere operazioni prive di rischio che consentano un arricchimento illimitato. La prima conseguenza che discende dall assumere che in un certo mercato finanziario siano assenti opportunità di arbitraggio riguarda la relazione di identità che deve legare differenti strumenti i quali forniscono il medesimo risultato. In modo piu preciso si puo affermare quanto segue. Regola di identità dei prezzi. In condizioni di equilibrio, se due strumenti finanziari forniscono alla scadenza t = T lo stesso risultato, allora all epoca iniziale t = 0 devono avere lo stesso prezzo. La condizione di assenza di arbitraggi e la conseguente regola di identità dei prezzi appena enunciata, giocano un ruolo fondamentale per la valutazione ed il prezzaggio di strumenti finanziari complessi quali i titoli derivati. Infatti, se si deve prezzare uno specifico strumento e questo può essere replicato utilizzando un portafoglio composto di altri strumenti il cui prezzo è noto, allora il prezzo del primo deve coincidere con il prezzo del portafoglio che lo replica. In un mercato ove siano presenti simultaneamente diverse

5 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 5 attività rischiose il principio di assenza di arbitraggi può essere reso operativo studiando quali condizioni devono complessivamente realizzarsi affinchè il sistema dei prezzi sia tale da escludere permanenti opportunità di guadagni illimitati. Consideriamo un esperimento casuale con spazio campionario 1, 2,..., m} e supponiamo che al tempo t = 0 si possa accedere a n attività rischiose (scommesse, acquisto di titoli azionari o altro) connesse con l esperimento. Sia (x 1, x 2,..., x n ) una strategia di investimenti associata alle n attività rischiose, cioè x j R è la somma investita sull attività j (j = 1,..., n). Indichiamo con r j ( ) la funzione profitto per unità monetaria investita sull attività j. Ne consegue che, per ogni j = 1,..., n x j r j (i) è il profitto totale se i è il risultato dell esperimento al tempo finale T. Indichiamo con Z = (z ij ) mxn la matrice che ha come elementi i diversi profitti che si possono conseguire in relazione a ciascuna attività rischiosa, se si verifica uno specifico risultato dell esperimento aleatorio: Z = z 11 z z 1n z 21 z z 2n z m1 z m2... z mn dove z ij = x j r j (i) è il profitto fornito dalla j-esima attività qualora si verifichi il risultato i. Ne consegue che, se il risultato dell esperimento è i, il profitto totale al tempo finale T sarà n n z ij = x j r j (i). Vale il seguente teorema j=1 Teorema (dell Arbitaggio) 1. Una sola delle seguenti affermazioni è vera. j=1 (a) esiste una distribuzione di probabilità (p 1, p 2,..., p m ) associata allo spazio campionario 1, 2,..., m} tale che oppure m p i r j (i) = 0 per ogni j = 1, 2,..., n, i=1 (b) esiste una strategia di investimenti (x 1, x 2,..., x n ) associata alle n attività rischiose tale che n x j r j (i) > 0 per ogni i = 1, 2,..., m. j=1 Osserva. Sia X la v.a. che indica il risultato dell esperimento aleatorio. Il Teorema 1 dice che o esiste una distribuzione di probabilità (p 1, p 2,..., p m ) tale che

6 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 6 (a) se P(X = i) = p i per ogni i = 1, 2,..., m allora E[r j (X)] = 0 per ogni j = 1, 2,..., n, (1) cioè si è in una condizione di equilibrio, oppure (b) esiste una strategia di investimenti che determina un guadagno sicuro, cioè si è in una condizione di arbitraggio. Definizione 1. Le probabilità (p 1, p 2,..., p m ) per le quali si verifica la condizione (1) sono dette probabilità neutrali al rischio. Esempio 3.2. Consideriamo un sistema di scommesse (per esempio, le scommesse sui cavalli in una corsa) in cui si sceglie uno dei possibili risultati j (j = 1,..., m) e si scommette che j sia il risultato dell esperimento. Spesso si dice che il risultato j è quotato q j a 1, cioè a 1 unità monetaria scommessa sul risultato j corrisponde un profitto pari a q j. Supponiamo che la funzione profitto r j per unità monetaria scommessa sul risultato j sia così definita qj, se X = j, r j (X) = 1, se X j. Affinchè non ci sia arbitraggio, per il Teorema 1 deve esistere una distribuzione di probabilità (p 1, p 2,..., p m ) tale che, per ogni i (i = 1,..., m) da cui consegue Poichè 0 = E[r j (X)] = q j p j (1 p j ), p j = q j. m p j = 1, ne consegue che la condizione di non arbitraggio è: j=1 Quindi, se m j=1 m j= q j = q j 1 chi scommette otterrà un guadagno sicuro. Suppponiamo che in una corsa di cavalli, con 3 cavalli, valgono le seguenti quotazioni: q 1 = 1, q 2 = 2, q 3 = 3 Poichè = , sicuramente si vince. Per esempio,

7 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 7 si scommette -1 sul cavallo 1 (si perde 1 se vince il cavallo 1 e si vince 1 se non vince il cavallo 1); si scommette - 0,7 sul cavallo 2 (si perde 1,4 se vince il cavallo 2 e si vince 0,7 se non vince il cavallo 2); si scommette - 0,5 sul cavallo 3 (si perde 1,5 se vince il cavallo 3 e si vince 0,5 se non vince il cavallo 3); Se vince il cavallo 1, chi scommette vince 1 + 0, 7 + 0, 5 = 0, 2. Se vince il cavallo 2, chi scommette vince 1 1, 4 + 0, 5 = 0, 1. Se vince il cavallo 3, chi scommette vince , 5 = 0, 2. Quindi, in ogni caso si vince sempre. 4 Modello Binomiale a uno stadio Il più diffuso e flessibile processo discreto per la valutazione di un opzione è senza dubbio quello binomiale. Esso si caratterizza per il fatto che il prezzo dell azione sottostante, qualunque sia il prezzo iniziale, può evolvere in due possibili stati alla fine di un periodo di tempo di ampiezza prefissata. Per motivi di semplicità si suppone, inoltre, che il mercato sia efficiente (non ci sono costi di transazione, è possibile vendere titoli allo scoperto senza limitazioni e cedere o prendere a prestito denaro allo stesso tasso (costante) di interesse, ecc.) e che non esistano opportunità di arbitraggio. Si suppone inoltre, anche se questa ipotesi può essere rimossa, che il bene sottostante l opzione non paghi dividendi durante la vita dell opzione. Iniziamo con il considerare una situazione molto semplice: Esempio 4.1. Il prezzo iniziale di un azione è di S 0 = 20$ e si sa che al tempo T = 3 mesi sarà pari a S T = 22$ oppure S T = 18$. Supponiamo di essere interessati a valutare una call europea per l acquisto dell azione al prezzo di esercizio K = 21$ alla scadenza T. Alla fine del trimestre, questa opzione avrà valore f c = S T K = 1$ se S T = 22$ e f c = 0$ se S T = 18$. Consideriamo un portafoglio che consiste di una posizione lunga su Q azioni e di una posizione corta su una call. Vogliamo determinare il valore di Q che rende il portafoglio privo di rischio. Il valore complessivo del portafoglio è pari a: V p = (22Q 1)$, se S T = 22$, f c = 1$ 18Q$, se S T = 18$, f c = 0$. Il portafoglio sarà privo di rischio se il valore di Q è scelto in modo tale che V p sia lo stesso in entrambi i casi, cioè se: 22Q 1 = 18Q, da cui si deduce che Q = 0, 25. Pertanto, il portafoglio privo di rischio è dato da:

8 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 8 1. una posizione lunga: 0,25 azioni; 2. una posizione corta: 1 opzione, e quindi il valore complessivo del portafoglio, V p, è pari a: (22 (0, 25) 1)$ = 4, 5$, V p = 18 (0, 25)$ = 4, 5$. Alla fine della vita dell opzione, il valore del portafoglio è sempre pari a 4,5$, indipendentemente dal fatto che il prezzo dell azione salga o scenda. In assenza di opportunità di arbitraggio, il tasso di rendimento di un portafoglio non rischioso deve essere pari al tasso d interesse privo di rischio. Si supponga che il tasso d interesse privo di rischio sia pari al 12% annuo. Ne segue che il valore corrente del portafoglio deve essere pari al valore attualizzato di 4,5$: 4, 5 e 0,12 (0,25) = 4, 367. Supponiamo ora che il valore corrente di un azione è S 0 = 20$. Vogliamo determinare il prezzo corrente, f 0, dell opzione in assenza di opportunità di arbitraggio. Il valore corrente del portafoglio è pari a 20 (0, 25) f 0 = 5 f 0, da cui 5 f 0 = 4, 367, e quindi f 0 = 0, 633$. Se f 0 > 0, 633$ = 5 f 0 < 4, 367. Ne consegue che il portafoglio renderebbe più del tasso d interesse privo di rischio. Se f 0 < 0, 633$ = 5 f 0 > 4, 367. Ne consegue che con la vendita allo scoperto del portafoglio rappresenterebbe un modo per prendere in prestito denaro a un tasso inferiore di quello privo di rischio. Possiamo generalizzare quanto appena presentato nell esempio 4.1, considerando un titolo azionario il cui prezzo iniziale sia S 0 e un opzione scritta su questo titolo il cui prezzo iniziale sia f 0. Supponiamo che l opzione scada al tempo T > 0 e che durante la sua vita il prezzo dell azione possa salire a S T = u S 0 oppure scendere a S T = d S 0 (u > 1, d < 1), rispettivamente con probabilità 0 < q < 1 e 1 q. L aumento proporzionale del prezzo dell azione quando c è un movimento al rialzo è u 1, mentre la riduzione proporzionale del prezzo dell azione quando c è un movimento al ribasso è 1 d. Indichiamo con f u il valore finale dell opzione se il prezzo dell azione sale e sia f d il valore finale dell opzione se il prezzo dell azione scende. Sia r il tasso di interesse privo di rischio costante e positivo, riferito al periodo in esame, al quale si può essere finanziati o investire il proprio denaro. Se si vuole evitare la

9 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 9 possibilità di arbitraggi si deve avere u > r > d. (2) Infatti, se ad esempio si avesse u > d > r, si potrebbe ottenere un profitto senza rischio e senza alcun esborso (arbitraggio) chiedendo denaro a prestito e investendolo nell acquisto del bene sottostante, ottenendo, in ogni caso, alla scadenza più di quanto si dovrà restituire. Allo scopo di comprendere il funzionamento del modello binomiale nell ambito della valutazione delle opzioni si consideri un opzione call di tipo europeo che scade alla fine del periodo T e ha prezzo d esercizio K. Alla scadenza l opzione call assume i due possibili valori: f u, c = max(0, us 0 K) f d, c = max(0, ds 0 K), (3) rispettivamente con probabilità p e 1 p. Come prima, immaginiamo di costruire un portafoglio di copertura che replica il payoff alla scadenza dell opzione call combinando in maniera opportuna il titolo azionario sottostante e titoli non rischiosi. Si indichi con Q il quantitativo di azioni sottostanti in portafoglio e con Y l importo monetario investito in titoli non rischiosi. Il valore iniziale (corrente) del portafoglio è V 0 = Q S 0 + Y Il valore del portafoglio alla scadenza T è Q us0 + e rt Y, con probabilità q, V p, c = Q ds 0 + e rt Y, con probabilità 1 q. Il portafoglio replica il payoff dell opzione se i coefficienti Q e Y sono tali che i valori di fine periodo del portafoglio coincidono con i valori di fine periodo dell opzione in entrambi gli stati possibili Q us 0 + e rt Y = f u, c Q ds 0 + e rt Y = f d, c. (4) Risolvendo questo sistema lineare nelle variabili Q e Y si ottiene Q = f u, c f d, c (u d)s 0, Y = u f d, c d f u, c (u d)e rt. (5) Si verifica facilmente che Q > 0 e Y < 0 e quindi si devono acquistare Q unità del titolo sottostante e prendere a prestito una quantità Y di moneta. In condizione di non arbitraggio il valore corrente f 0 dell opzione call deve coincidere con il valore corrente V 0 del portafoglio di copertura e quindi f 0 = Q S 0 + Y = f u, c f d, c u d + u f d, c d f u, c (u d)e rt = e rt d u d f u, c + u ert u d f d, c e rt (6)

10 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 10 Dalla (6) emerge una proprietà sorprendente del modello binomiale e cioè che il valore corrente dell opzione non dipende in alcun modo dalle probabilità q e 1 q. Tale proprietà comporta che il valore corrente dell opzione, f 0, è lo stesso sia che il prezzo dell azione sottostante passi da S 0 a u S 0 con probabilità del 99% sia che tale probabilità sia dell 1%. Tale caratteristica è dovuta all esistenza di un portafoglio che replica perfettamente il payoff dell opzione e ne individua esattamente il prezzo. Due operatori possono avere probabilità soggettive diverse associate ai due possibili prezzi finali del titolo sottostante; il portafoglio di copertura, tuttavia, non dipende dalla propensione al rischio o dalle opinioni degli operatori ma solo dall ipotesi che si cerchi di trarre vantaggio dalla possibilità di eventuali arbitraggi. Pertanto, non è necessario conoscere la struttura delle preferenze degli investitori. Fra le varie ipotesi che si possono introdurre sulle preferenze degli operatori e che per la presenza del portafoglio di copertura conducono allo stesso prezzo dell opzione, la più conveniente da un punto di vista computazionale è l ipotesi di neutralità al rischio. Le probabilità neutrali al rischio p e 1 p, rispettivamente, di rialzo e di ribasso del prezzo corrente S 0 dell azione, si possono determinare imponendo che il valore atteso del prezzo alla scadenza T dell azione sottostante l opzione E[S T ] = p us 0 + (1 p) ds 0 sia uguale al montante e rt S 0 ottenuto investendo il prezzo corrente dell azione al tasso di interesse privo di rischio r. Risolvendo l equazione si ottiene: p = ert d u d E[S T ] = e rt S 0 e 1 p = u ert u d Si osservi che lipotesi u > r > d garantisce che le probabilità neutrali al rischio siano strettamente positive. Da (6) e utilizzando le probabilità neutrali al rischio, il prezzo iniziale dell opzione si può riscrivere in forma più compatta e significativa come segue f 0 = e rt [p f u, c + (1 p) f d, c ] (8) La relazione (8) sottolinea che il prezzo corrente dell opzione può essere ottenuto in maniera molto semplice attualizzando al tasso privo di rischio il valore atteso del payoff alla scadenza, purchè tale valore atteso sia calcolato utilizzando non le vere probabilità q e 1 q ma le probabilità neutrali al rischio p e 1 p. Osserva. In questa ottica f 0 può essere assimilato alla posta richiesta per partecipare ad un gioco equo che ha come possibili risultati f u, c e f d, c : pagare una posta che coincide con il valore atteso del risultato implica un atteggiamento di indifferenza rispetto al rischio. Il fattore di sconto e rt rende comparabili nel tempo posta e risultato, riferiti ad istanti diversi. La portata generale del risultato (8), estendibile al caso multiperiodale illustrato nel paragrafo successivo, viene riassunta nella seguente proposizione. (7)

11 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 11 Proposizione 1. Se il mercato è completo ed in equilibrio esiste una unica misura di probabilità di neutralità rispetto al rischio P = (p, 1 p) tale che il prezzo corrente di un opzione è il valore atteso scontato dei suoi possibili payoff a scadenza, calcolato in base alla misura P. Esempio 4.2. Sia S 0 = 100 il prezzo corrente dell azione sottostante l opzione (all epoca t = 0) e si supponga che all epoca T = 1 il prezzo possa assumere solo i due valori us 0 = 200 oppure ds 0 = 50, cioè che dopo un periodo unitario di tempo il prezzo del titolo sottostante possa raddoppiare (u = 2) o dimezzarsi (d = 1/2). Inoltre, sul mercato sia disponibile un opzione call con prezzo d esercizio K = 100 e con scadenza T = 1 e sia r = 10% il tasso uniperiodale di interesse. Si vuole determinare il prezzo corrente dell opzione f 0 (all epoca t = 0). Utilizzando le equazioni (7), le probabilità neutrali al rischio risultano p = e0,1 0, 5 2 0, 5 = 0, p = 0, 597. I possibili valori dell opzione alla scadenza sono f u, c = max(0, us 0 K) = 100 f d, c = max(0, ds 0 K) = 0 e, applicando l equazione (8) si trova f 0 = e 0,1 [0, 403(100)] = 36, 50 Da (5) si deduce che il portafoglio di copertura è formato da 100 Q = (2 1/2) 100 = 2 azioni sottostanti 3 100/2 Y = = 30, 16 unità monetarie (2 1/2) e0,1 Il valore di tale portafoglio all epoca T = 1 coincide con il valore dell opzione call sia se il prezzo del bene sottostante raddoppia sia se si dimezza.

12 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 12 5 Modello Binomiale multiperiodale L ipotesi che il prezzo finale del bene sottostante possa assumere due soli valori è chiaramente ben poco realistica. D altra parte, si può supporre di suddividere l intervallo di tempo che intercorre tra l epoca di valutazione e la scadenza dell opzione in un numero n adeguatamente elevato di sottoperiodi di uguale ampiezza. In ciascun sottoperiodo il prezzo di fine periodo è ottenuto moltiplicando il corrispondente prezzo di inizio periodo per il fattore di crescita u o per il fattore di diminuzione d. Tale procedura dà luogo ad un albero binomiale che descrive l andamento del prezzo del bene sottostante l opzione nei singoli sottoperiodi. Consideriamo dapprima, per semplicità, il caso in cui mancano due periodi alla scadenza T dell opzione. Consideriamo un titolo azionario, con prezzo corrente S 0, sottostante un opzione con prezzo iniziale f 0. Suddividiamo l intervallo di tempo [0, T ] in due sottointervalli di ampiezza T = T/2. Indichiamo con S i (i = 1, 2) il prezzo dell azione in ciascuno dei due periodi. Alla fine di ogni periodo i, il prezzo dell azione, S i, sale ad un livello pari a u volte il prezzo S i 1 all inizio del periodo o scende ad un livello pari a d volte il prezzo S i 1. Sia X i la variabile aleatoria così definita: X i = 1, se S i = u S i 1 con probabilità q, 0, se S i = d S i 1 con probabilità 1 q, i = 1, 2. (9) All epoca della scadenza T, cioè nel secondo periodo, il prezzo del bene sottostante S 2 può assumere uno dei seguenti valori: u (u S 0 ) = u 2 S 0, con probabilità q 2, u (d S 0 ) = u d S 0 = d (u S 0 ), con probabilità 2 q (1 q), d (d S 0 ) = d 2 S 0, con probabilità (1 q) 2. I corrispondenti payoff dell opzione sono: f 0, valore corrente, f u, f d, valori alla fine del primo periodo, f u u, f u d, f d d, valori alla fine del secondo periodo. La valutazione dell opzione può essere effettuata mediante una tecnica di programmazione dinamica che permette di percorrere all indietro l albero binomiale. Alla fine del primo periodo T (quando manca un solo periodo alla scadenza) si possono calcolare i due possibili valori dell opzione, f u e f d, come visto nel caso uniperiodale, attualizzando al tasso privo di rischio il valore atteso dei due corrispondenti payoff di fine periodo, calcolato con la misura di probabilità neutrale al rischio P = (p, 1 p) definita in (7). Applicando la (8) a f u u, f u d e f d d si ottiene f u = e r T [p f u u + (1 p) f u d ] f d = e r T [p f u d + (1 p) f d d ] (10) Applicando nuovamente questo procedimento ai payoff f u e f d si ottiene il prezzo dell opzione in corrispondenza dell epoca t = 0 : f 0 = e r T [p f u + (1 p) f d ] (11)

13 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 13 Sostituendo le equazioni (10) nella (11) si ottiene f 0 = e rt [p 2 f u u + 2 p (1 p) f u d + (1 p) 2 f d d ] (12) Questa formula è coerente con il principio di valutazione neutrale verso il rischio. Le quantità p 2, 2 p (1 p), (1 p) 2 sono le probabilità di raggiungere i nodi finali superiore, intermedio e inferiore. il prezzo dell opzione è uguale al suo valore atteso in un mondo neutrale verso il rischio, attualizzato al tasso di interesse r privo di rischio. Esempio 5.1. Consideriamo una put europea a 2 anni (T = 2), con prezzo di esercizio K = 52$, scritta su un azione il cui prezzo corrente è S 0 = 50$. Supponiamo che ci siano due intervalli temporali di 1 anno ( T = 1) e che in ciascun intervallo il prezzo dell azione salga o scenda in misura pari al 20% (cioè u = 1, 2, d = 0, 8). Supponiamo inoltre che il tasso di interesse privo di rischio sia pari a r = 5%. Alla fine del primo periodo si ottiene che il prezzo dell azione sottostante sale a S 1 = 60$ o scende a S 1 = 40$. Ne consegue che alla scadenza il prezzo S T dell azione sottostante assumerà uno dei seguenti valori: con corrispondenti payoff dell opzione put u 2 S 0 = 72$ u d S 0 = 48$ d 2 S 0 = 32$, f u u = max(0, K S T ) = 0$ f u d = max(0, K S T ) = 4$ f d d = max(0, K S T ) = 20$. Applicando la (7), le probabilità neutrali verso il rischio sono date da p = er T d u d = 0, p = 0, Applicando la (10) si ottengono i valori della put alla fine del primo periodo f u = 1, 4147$ f d = 9, 4636$, e applicando la (12) si ottiene il valore corrente dell opzione: f 0 = 4, 1923$. Studiamo ora il caso in cui il tempo T alla scadenza viene suddiviso in n sottoperiodi di ampiezza T = T/n. Consideriamo le variabili aleatorie X i (i = 1,..., n) definite in (9) che supponiamo indipendenti e con distribuzione di probabilità neutrale al rischio P = (p, 1 p) definita in (7) sostituendo T con T. Denotiamo con Y = n X i. i=1

14 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 14 La variabile aleatoria Y ha distribuzione binomiale, Y B(n, p), e indica il numero di volte in cui in n periodi temporali il prezzo dell azione sottostante l opzione è salito. Ne consegue che dopo n periodi, cioè alla scadenza T, il prezzo dell azione può essere scritto come S T = u Y d n Y S 0. (13) Indichiamo ciascun nodo dell albero binomiale con (i, j), dove i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i. L indice i rappresenta lo stadio dell albero, cioè il sottoperiodo considerato, e l indice j indica il nodo dello stadio che identifica il numero di volte in cui il prezzo del titolo azionario è salito in i periodi. Pertanto il prezzo del titolo sottostante l opzione in corrispondenza del nodo (i, j) è S ij = u j d i j S 0 i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i (14) Il corrispondente valore dell opzione può essere determinato ricorsivamente come segue f i,j = e r T [p f i+1,j+1 + (1 p) f i+1,j ] i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i (15) posto che f n,j = max(0, S T K) = max(0, S n,j K) j = 0, 1,..., n Applicando n volte la formula ricorsiva (15), da (13) si trova che il prezzo corrente di un opzione call in assenza di arbitraggio è f 0 = e r T E[max(0, S T K)] = e r T E[max(0, u Y d n Y S 0 K)] (16) n = e r T P(Y = i) max(0, u i d n i S 0 K) (17) i=0 ( n = e r T i=0 n i ) p i (1 p) n i max(0, u i d n i S 0 K) (18) Esempio 5.2. Si vuole calcolare il valore iniziale di una call europea a 3 anni sapendo che: S 0 = 80$, K = 80$, u = 1, 5, d = 0, 5, q = 0, 7, r = 0, 1. Consideriamo n = 3 periodi di ampiezza T = 1 anno. Le probabilità neutrali al rischio sono: p = e0,1 0, 5 = 0, 60 1 p = 0, 4. 1, 5 0, 5 All epoca di scadenza T i possibili valori per il prezzo del bene sottostante sono: u 3 S 0 = 270, con probabilità q 3 = 0, 343 u 2 d S 0 = 90, con probabilità 3q 2 (1 q) = 0, 441 S T = u d 2 S 0 = 30, con probabilità 3q(1 q) 2 = 0, 189 d 3 S 0 = 10, con probabilità (1 q) 3 = 0, 027.

15 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 15 Il calcolo del valore iniziale dell opzione, tuttavia, va effettuato utilizzando le probabilità neutrali al rischio e considerando per il prezzo finale dell azione sottostante la variabile aleatoria S T le cui realizzazioni sono: S T = u 3 S 0 = 270, con probabilità p 3 = 0, 216 u 2 ds 0 = 90, con probabilità 3p 2 (1 p) = 0, 432 u d 2 S 0 = 30, con probabilità 3p(1 p) 2 = 0, 288 d 3 S 0 = 10, con probabilità (1 p) 3 = 0, 064. Il prezzo iniziale della call è quindi ( ) 3 f 0 = e r T 3 p i (1 p) 3 i max(0, u i d 3 i S 0 K) i i=0 = e 0,3 (0, 064(0) + 0, 288(0) + 0, 432(10) + 0, 216(190)) 33, 60. Osserva. La procedura binomiale multiperiodale descritta per la valutazione di un opzione call europea può essere applicata senza sostanziali modifiche anche alla valutazione di un opzione put europea. Passando a opzioni di tipo americano, basta osservare che queste forniscono tutti i diritti che derivano da opzioni europee con in più la facoltà dell esercizio anticipato. Dunque il loro prezzo non potrà essere inferiore a quello delle corrispondenti europee. Se indichiamo con f c, f C il prezzo, rispettivamente, di un opzione call europea e di un opzione call americana, e con f p, f P il prezzo, rispettivamente, di un opzione put europea e di un opzione put americana, valgono le relazioni Consideriamo i due seguenti portafogli: f C f c f P f p. Portafoglio A: una call europea più un importo in denaro pari a Ke r T ; Portafoglio B: un titolo azionario. Nel portafoglio A, il denaro, investito al tasso di interesse privo di rischio r, diventa K alla scadenza T dell opzione. Se S T > K, la call viene esercitata al tempo T e il portafoglio A vale S T. Se S T < K, la call non viene esercitata e scade al tempo T senza valore (f T,c = 0). Pertanto, al tempo T il portafoglio A vale max(s T, K) Il portafoglio B vale S T al tempo T. Pertanto al tempo T, il portafoglio A vale sempre almeno quanto il portafoglio B. Ne segue che in assenza di opportunità di arbitraggio, questa relazione deve valere anche al tempo corrente, cioè f 0,c + Ke r T S 0 ossia f 0,c S 0 Ke r T. (19)

16 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 16 Dato che il peggio che può capitare alla call è che f T,c = 0, il suo valore corrente f 0,c deve essere positivo. Ciò vuol dire che Consideriamo ora i due seguenti portafogli: f 0,c max(s 0 Ke r T, 0). Portafoglio C: una put europea più un titolo azionario; Portafoglio D: un importo in denaro pari a Ke r T ; Se S T < K, la put del portafoglio C viene esercitata al tempo T e il portafoglio vale K. Se S T > K, la put non viene esercitata e scade al tempo T senza valore (f T,p = 0) e il portafoglio vale S T. Pertanto, al tempo T il portafoglio C vale max(s T, K) Se il denaro viene investito al tasso di interesse privo di rischio r, il portafoglio D vale K alla scadenza T dell opzione. Pertanto al tempo T, il portafoglio C vale sempre almeno quanto il portafoglio D. Ne segue che, in assenza di opportunità di arbitraggio, questa relazione deve valere anche al tempo corrente, cioè f 0,p + S 0 Ke r T ossia f 0,p Ke r T S 0. (20) Dato che il peggio che può capitare alla put è che f T,p = 0, il suo valore corrente f 0,p deve essere positivo. Ciò vuol dire che f 0,p max(ke r T S 0, 0). Se l azione sottostante non dà diritto a pagamenti intermedi dovuti a dividendi, cedole o altro, non conviene esercitare una call americana prima della scadenza. Infatti, indicando con H call = S 0 K il suo valore intrinseco ed, in virtù della (19), segue che questo è sempre strettamente minore del prezzo corrente dell opzione f 0,c S 0 Ke r T > H call. da cui f 0,c > H call. Se l esercizio anticipato della call americana fosse ottimale, f 0,c = H call. In conclusione, conviene vendere la call americana anzichè esercitarla. Diversa è la situazione per una put americana. Infatti, nel caso in cui il prezzo del sottostante sia molto basso (vicino a zero, ad esempio) conviene esercitare l opzione in quanto il valore K del prezzo di esercizio è il massimo che si possa realizzare. Inoltre, dalla (20) deve essere sempre f 0,p K S 0 := H put

17 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 17 dato che il prezzo corrente della put non può scendere al di sotto del suo valore intrinseco H put. Per quanto è stato appena detto, qualora il titolo sottostante non effettui pagamenti intermedi durante la vita dell opzione, la possibilità di esercizio prima della scadenza diviene una eventualità della quale tenere conto solo nel prezzare opzioni put americane. Ne consegue che nel prezzaggio delle opzioni di tipo americano, il modello binomiale richiede una modifica per tenere conto della suddetta eventualità. Si consideri che le opzioni americane valgono di più al crescere della vita residua, cioè il periodo rimanente fino alla scadenza T. A tal proposito, nel procedimento di valutazione all indietro è necessario verificare in corrispondenza di ciascun nodo se risulta conveniente l esercizio anticipato. Il prezzo di un opzione put americana in corrispondenza di ciascun nodo (i, j) C i,j = max(a i j, K S i j ) i = 0, 1,..., n 1, j = 0, 1,..., i, (21) è dato dal massimo fra il valore intrinseco S i j K e il valore A i,j = e r T [p C i+1,j+1 + (1 p) C i+1,j ] (22) calcolato sull albero attualizzando il valore atteso associato ai nodi successori (i + 1, j + 1) e (i + 1, j). Esempio 5.3. Si considerino un opzione put europea ed una americana emesse su un titolo azionario la cui quotazione corrente è S 0 = 500. Suppponiamo che il prezzo di esercizio sia K = 500, che le opzioni scadano fra 3 mesi (T = 3) e che il tasso istantaneo di rendimento per le attività non rischiose sia r = 0, 06 su base annua. Si desidera valutare le opzioni con il modello binomiale considerando n = 3 sottointervalli temporali di un mese nell ipotesi che u = 1, e d = 1/u = 0, ( Le probabilità neutrali al rischio sono T = T/3 = 3 ( ) ) 1 = 1/12 : 12 3 p = er T d u d = 1, , = 0, p = 0, , , I prezzi per l azione sottostante sono: S1 1 = u S 0 = 569, 36, S 1 0 = d S 0 = 430, 09, dopo 1 mese (stadio 1) S 2 2 = u 2 S 0 = 648, 34, S 2 1 = ud S 0 = 500, S 2 0 = d 2 S 0 = 385, 60, dopo 2 mesi (stadio 2) e alla scadenza T (stadio 3) S T = S 3 3 = u 3 S 0 = 738, 28 S 3 2 = u 2 d S 0 = 569, 36 S 3 1 = ud 2 S 0 = 439, 09 S 3 0 = d 3 S 0 = 338, 63.

18 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 18 I corrispondenti payoff finali delle opzioni put (europea e americana) sono: f 3,3 = C 3,3 = max(0, K S 3 3 ) = 0 f 3,2 = C 3,2 = max(0, K S 3 2 ) = 0 f 3,1 = C 3,1 = max(0, K S 3 1 ) = 60, 91 f 3,0 = C 3,0 = max(0, K S 3 0 ) = 161, 37 Allo stadio 2 i prezzi dell opzione put europea sono: f 2,2 = e r T [pf 3,3 + (1 p) f 3,2 ] = 0 f 2,1 = e r T [pf 3,2 + (1 p) f 3,1 ] = 31, 10 f 2,0 = e r T [pf 3,1 + (1 p) f 3,0 ] = 111, 91 mentre dalla (21) i prezzi dell opzione put americana risultano: C 2,2 = max(a 2 2, K S 2 2 ) = max(0, 148, 34) = 0 C 2,1 = max(a 2 1, K S 2 1 ) = max(31, 10, 0) = 31, 10 C 2,0 = max(a 2 0, K S 2 0 ) = max(111, 91, 114, 40) = 114, 40 dove, applicando la (22), risulta A 2 2 = f 2,2 A 2 1 = f 2,1 A 2 0 = f 2,0 Allo stadio 1 per la put europea si ha: f 1,1 = e r T [pf 2,2 + (1 p) f 2,1 ] = 15, 89 f 1,0 = e r T [pf 2,1 + (1 p) f 2,0 ] = 72, 21 mentre i prezzi della put americana risultano: C 1,1 = max(a 1 1, K S 1 1 ) = max(15, 89, 69, 36) = 15, 89 C 1,0 = max(a 1 0, K S 1 0 ) = max(73, 48, 69, 91) = 73, 48 dove A 1,1 = e r T [p C 2,2 + (1 p) C 2,1 ] = 15, 89 A 1,0 = e r T [p C 2,1 + (1 p) C 2,0 ] = 73, 48 Ne consegue che il prezzo corrente dell opzione europea è: e quello dell opzione americana è f 0 = e r T [pf 1,1 + (1 p) f 1,0 ] = 44, 56 C 0 = max(a 0, K S 0 ) = max(45, 22, 0) = 45, 22. dove A 0 = p C 1,1 + (1 p) C 1,0 = 45, 22.

19 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Calibrare la volatilità Il prezzo di un opzione, dipende dal prezzo di esercizio K, dal comportamento nel tempo del prezzo dell attività sottostante, dal tasso di interesse, dal tempo alla scadenza e dalla volatilità. Volatilità è il termine usato per misurare l incertezza circa i futuri movimenti del prezzo del titolo, cioè è il tasso di variabilità per unità di tempo, che quantifica la maggiore o minore attitudine del prezzo del sottostante a subire oscillazioni nel tempo. Il simbolo usato per denotarla è σ. Al crescere della volatilità, cresce la probabilità che le realizzazioni nel tempo del titolo risultino molto brillanti o molto modeste. Per chi possiede l azione, questi due risultati tendono a compensarsi l uno con l altro. Non è invece così per chi possiede un opzione. Chi possiede una call trae beneficio dagli aumenti del prezzo dell azione ma ha un rischio di perdita limitato se il prezzo dell azione diminuisce, perchè al massimo può perdere il prezzo dell opzione. Analogamente, chi possiede una put trae beneficio dalla riduzione del prezzo dell azione ma ha un rischio di perdita limitato se il prezzo dell azione aumenta. Pertanto, il valore di un opzione aumenta al crescere della volatilità. È utile notare come la volatilità, a differenza delle altre variabili dalle quali dipende il prezzo di un opzione, non essendo direttamente osservabile sul mercato, occorre stimarla con opportune metodologie statistiche utilizzando i dati che provengono dall analisi del mercato reale (serie storiche), e quindi la correttezza di una qualunque formula di prezzaggio finisce con il dipendere dalla corretta stima di σ. Si è visto che modellando il processo del prezzo di un attività rischiosa tramite processi binomiali ad alberi, i parametri che devono essere specificati sono i fattori di variazione periodale u, d e la probabilità di rialzo del prezzo (nel mondo reale) q. I parametri u e d si scelgono in modo che risultino coerenti con la volatilità dei prezzi dell azione. Si suppongano note le stime ˆµ e ˆσ, rispettivamente, del tasso istantaneo, µ, di rendimento medio dell attività sottostante e della corispondente volatilità σ. Nel primo stadio di un albero binomiale, considerando un intervallo periodale di lunghezza T il tasso di variazione del prezzo dell azione è pari a (u 1) in caso di rialzo, e a (1 d) in caso di ribasso. Quindi se S 0 è il prezzo iniziale del titolo sottostante, alla fine del primo periodo T il prezzo dell azione è S 1,1 = u S 0, con probabilità q S T = S 1,0 = d S 0, con probabilità 1 q. Il montante del prezzo dell azione alla fine del primo periodo è S 0 eˆµ T. Abbiamo già visto che in un mercato in equilibrio ove gli operatori siano neutrali rispetto al rischio, E P[S T ] = p u S 0 + (1 p) d S 0 = S 0 e r T, dove P = (p, 1 p) è la probabilità neutrale al rischio e r è il tasso di interesse privo di rischio. La stessa condizione di equilibrio se viene riferita ad un mondo non indifferente al rischio, i cui operatori concordino sulle probabilità di aumento e diminuzione del prezzo

20 Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni 20 secondo la misura Q = (q, 1 q), diventa da cui si deduce che E Q [S T ] = q u S 0 + (1 q) d S 0 = S 0 eˆµ T, eˆµ T d q = (23) u d La (23) può quindi essere considerata quale primo vincolo che lega il dato di mercato ˆµ con i parametri q, u, d del modello. Una condizione ulteriore la si ricava utilizzando la volatilità, ponendo che V ar Q [S T ] = S 2 0 ˆσ 2 T, (24) affinchè la volatilità dell azione sia coerente con il modello binomiale. Si noti che V ar Q [S T ] = E Q [S 2 T ] (E Q [S T ]) 2 In base all equazione (23), la (24) diventa = S 2 0[q u 2 + (1 q) d 2 ] S 2 0[q u + (1 q) d] 2. eˆµ T (u + d) ud e 2ˆµ T = ˆσ 2 T (25) Cox, Ross e Rubinstein nel 1979 hanno proposto la seguente soluzione della (25) risolta imponendo alcune semplificazioni (si suppone che T sia sufficientemente piccolo): u = eˆσ T d = 1 u = e ˆσ T In conclusione, quando si utilizzano i modelli binomiali ad albero per il prezzaggio di un titolo azionario sottostante un opzione, i parametri del modello da specificare nel mondo reale sono q = eˆµ T d u d u = eˆσ T d = 1 u = e ˆσ T, dove ˆµ è il valore stimato del tasso di rendimento medio del titolo sottostante, mentre in un mondo neutrale verso il rischio p = er T d u d u = eˆσ T d = 1 u = e ˆσ T, dove r è il tasso di interesse privo di rischio. Se ne deduce che nel passaggio dal mondo reale al mondo neutrale verso il rischio, il tasso di rendimento atteso cambia ma la volatilità rimane inalterata (almeno per T sufficientemente piccolo).

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi;

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi; Capitolo 3 Prodotti derivati: forward, futures ed opzioni Per poter affrontare lo studio dei prodotti derivati occorre fare delle ipotesi sul mercato finanziario che permettono di semplificare dal punto

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

FORWARD RATE AGREEMENT

FORWARD RATE AGREEMENT FORWARD RATE AGREEMENT FLAVIO ANGELINI. Definizioni In generale, un contratto a termine o forward permette una compravendita di una certa quantità di un bene differita a una data futura a un prezzo fissato

Dettagli

10 ESEMPIO DI VALUTAZIONE IN BILANCIO DI UN OPZIONE

10 ESEMPIO DI VALUTAZIONE IN BILANCIO DI UN OPZIONE SOMMARIO 1 INTRODUZIONE ALLE OPZIONI 1.1 Teoria delle opzioni 1.2 Specifiche contrattuali delle opzioni su azioni 2 FORMALIZZAZIONI 3 PROPRIETA FONDAMENTALI DELLE OPZIONI SU AZIONI 3.1 Put-Call Parity

Dettagli

4. Introduzione ai prodotti derivati. Stefano Di Colli

4. Introduzione ai prodotti derivati. Stefano Di Colli 4. Introduzione ai prodotti derivati Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Che cos è un derivato? I derivati sono strumenti il cui valore dipende dal valore di altre più fondamentali

Dettagli

Tassi a pronti ed a termine (bozza)

Tassi a pronti ed a termine (bozza) Tassi a pronti ed a termine (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2006/2007 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 3 2.2 Obbligazioni

Dettagli

derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici

derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici PREFAZIONE Il mercato italiano dei prodotti derivati 1. COSA SONO LE OPZIONI? Sottostante Strike

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Slide con esempi di prezzi di Futures e opzioni quotate su Borsa Italiana sulle azioni di Unicredit.

Slide con esempi di prezzi di Futures e opzioni quotate su Borsa Italiana sulle azioni di Unicredit. Slide con esempi di prezzi di Futures e opzioni quotate su Borsa Italiana sulle azioni di Unicredit. http://www.borsaitaliana.it/borsa/azioni/scheda.html?isin=it0004781412&lang=en http://www.borsaitaliana.it/borsa/derivati/idem-stock-futures/lista.html?underlyingid=ucg&lang=en

Dettagli

Le reverse convertible. Cosa sono e quali rischi comportano per chi le acquista. Ottobre 2012. Consob Divisione Tutela del Consumatore

Le reverse convertible. Cosa sono e quali rischi comportano per chi le acquista. Ottobre 2012. Consob Divisione Tutela del Consumatore Le reverse convertible Cosa sono e quali rischi comportano per chi le acquista Ottobre 2012 Consob Divisione Tutela del Consumatore Indice Introduzione 3 Le reverse convertible 4 Cos è una reverse convertible

Dettagli

Scelta sotto incertezza

Scelta sotto incertezza Scelta sotto incertezza 1. Introduzione Nei capitoli 1 e 2 della microeconomia standard si studia la scelta dei consumatori e dei produttori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

INDICE. Introduzione Cosa sono le Opzioni FX? Trading 101 ITM, ATM e OTM Opzioni e strategie di Trading Glossario Contatti e Informazioni

INDICE. Introduzione Cosa sono le Opzioni FX? Trading 101 ITM, ATM e OTM Opzioni e strategie di Trading Glossario Contatti e Informazioni OPZIONI FORMAZIONE INDICE Introduzione Cosa sono le Opzioni FX? Trading 101 ITM, ATM e OTM Opzioni e strategie di Trading Glossario Contatti e Informazioni 3 5 6 8 9 10 16 ATTENZIONE AI RISCHI: Prima di

Dettagli

GUIDA ALLE OPZIONI SU AZIONI SU T3

GUIDA ALLE OPZIONI SU AZIONI SU T3 GUIDA ALLE OPZIONI SU AZIONI SU T3 SERVIZIO SULLE OPZIONI SU AZIONI (ISOALPHA) 1. INTRODUZIONE Con la piattaforma T3 di Webank possono essere negoziate le Opzioni su Azioni (Isoalpha), contratti di opzione

Dettagli

IL MERCATO FINANZIARIO

IL MERCATO FINANZIARIO IL MERCATO FINANZIARIO Prima della legge bancaria del 1936, in Italia, era molto diffusa la banca mista, ossia un tipo di banca che erogava sia prestiti a breve che a medio lungo termine. Ma nel 1936 il

Dettagli

Le Opzioni. Caratteristiche delle opzioni. Sottostante

Le Opzioni. Caratteristiche delle opzioni. Sottostante Le Caratteristiche delle opzioni...1 I fattori che influenzano il prezzo di un opzione...4 Strategie di investimento con le opzioni...5 Scadenza delle opzioni...6 Future Style...7 Schede prodotto...8 Mercato

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

GUIDA ALLE OPZIONI BINARIE

GUIDA ALLE OPZIONI BINARIE Titolo GUIDA ALLE OPZIONI BINARIE Comprende strategie operative Autore Dove Investire Sito internet http://www.doveinvestire.com Broker consigliato http://www.anyoption.it ATTENZIONE: tutti i diritti sono

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

Capitale raccomandato

Capitale raccomandato Aggiornato in data 1/9/212 Advanced 1-212 Capitale raccomandato da 43.8 a 6.298 Descrizioni e specifiche: 1. E' una combinazione composta da 3 Trading System automatici 2. Viene consigliata per diversificare

Dettagli

IFRS 2 Pagamenti basati su azioni

IFRS 2 Pagamenti basati su azioni Pagamenti basati su azioni International Financial Reporting Standard 2 Pagamenti basati su azioni FINALITÀ 1 Il presente IRFS ha lo scopo di definire la rappresentazione in bilancio di una entità che

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

I Derivati. a.a. 2013/2014 mauro.aliano@unica.it

I Derivati. a.a. 2013/2014 mauro.aliano@unica.it I Derivati a.a. 2013/2014 mauro.aliano@unica.it 1 Definizione di derivati I derivati sono strumenti finanziari (art.1 TUF) Il valore dello strumento deriva da uno o più variabili sottostanti (underlying

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati 1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1 UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA Filippo Romano 1 1. Introduzione 2. Analisi Multicriteri o Multiobiettivi 2.1 Formule per l attribuzione del

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

FOGLIO INFORMATIVO. relativo alle operazioni di

FOGLIO INFORMATIVO. relativo alle operazioni di FOGLIO INFORMATIVO relativo alle operazioni di FINANZIAMENTI IMPORT, ANTICIPI E PREFINANZIAMENTI EXPORT, FINANZIAMENTI SENZA VINCOLO DI DESTINAZIONE (questi ultimi se non rientranti nel credito ai consumatori)

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Parleremo di correlazione: che cos è, come calcolarla

Parleremo di correlazione: che cos è, come calcolarla IDEMDJD]LQH 1XPHUR 'LFHPEUH %52 (56 21/,1( 68//,'(0 nel 2002, il numero di brokers che offrono la negoziazione online sul minifib è raddoppiato, passando da 7 nel 2001 a 14. A novembre due nuovi brokers

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Azionario Flessibile 7 anni Scheda sintetica - Informazioni specifiche 1 di 6

Azionario Flessibile 7 anni Scheda sintetica - Informazioni specifiche 1 di 6 Scheda sintetica - Informazioni specifiche 1 di 6 La parte Informazioni Specifiche, da consegnare obbligatoriamente all investitore contraente prima della sottoscrizione, è volta ad illustrare le principali

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4

1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 IL RISCHIO 1 IL RISCHIO: INTRODUZIONE.2 2 LA VOLATILITA.4 2.1 La volatilità storica... 4 2.2 Altri metodi di calcolo... 5 3 LA CORRELAZIONE..6 4 IL VALUE AT RISK....8 4.1 I metodi analitici... 9 4.2 La

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Qual è il fine dell azienda?

Qual è il fine dell azienda? CORSO DI FINANZA AZIENDALE SVILUPPO DELL IMPRESA E CREAZIONE DI VALORE Testo di riferimento: Analisi Finanziaria (a cura di E. Pavarani) - McGraw-Hill - 2001 Cap. 9 1 Qual è il fine dell azienda? Massimizzare

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Tipologie di strumenti finanziari

Tipologie di strumenti finanziari Tipologie di strumenti finanziari PRINCIPALI TIPOLOGIE DI STRUMENTI FINANZIARI: Azioni Obbligazioni ETF Opzioni 1 Azioni: definizione L azione è un titolo nominativo rappresentativo di una quota della

Dettagli

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi il risparmio, dove lo ora? metto le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi Vademecum del risparmiatore le principali domande emerse da una recente ricerca di mercato 1

Dettagli

La valutazione implicita dei titoli azionari

La valutazione implicita dei titoli azionari La valutazione implicita dei titoli azionari Ma quanto vale un azione??? La domanda per chi si occupa di mercati finanziari è un interrogativo consueto, a cui cercano di rispondere i vari reports degli

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito

Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito Finalità La finalità del presente Principio è quella di definire il trattamento contabile delle imposte sul reddito. L aspetto principale della

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA ECONOMIA E FINANZA IL TRADING DI STRUMENTI DERIVATI. RELAZIONE DI STAGE PRESSO LA T4T. RELATORE: CH.MO PROF.

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

I Futures: copertura del rischio finanziario e strumento speculativo

I Futures: copertura del rischio finanziario e strumento speculativo I Futures: copertura del rischio finanziario e strumento speculativo Luca Cappellina GRETA, Venezia Che cosa sono i futures. Il futures è un contratto che impegna ad acquistare o vendere, ad una data futura,

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Costruirsi una rendita. I principi d investimento di BlackRock

Costruirsi una rendita. I principi d investimento di BlackRock Costruirsi una rendita I principi d investimento di BlackRock I p r i n c i p i d i n v e s t i m e n t o d i B l a c k R o c k Ottenere una rendita è stato raramente tanto difficile quanto ai giorni nostri.

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi ONDI OMUNI: AI A CELTA IUSTA Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi CONOSCERE I FONDI D INVESTIMENTO, PER FARE SCELTE CONSAPEVOLI I fondi comuni sono

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Offerta pubblica di sottoscrizione di UNIT LINKED FONDI VITTORIA prodotto finanziario-assicurativo di tipo unit linked (Codice Prodotto 640U)

Offerta pubblica di sottoscrizione di UNIT LINKED FONDI VITTORIA prodotto finanziario-assicurativo di tipo unit linked (Codice Prodotto 640U) Offerta pubblica di sottoscrizione di UNIT LINKED FONDI VITTORIA prodotto finanziario-assicurativo di tipo unit linked (Codice Prodotto 640U) Il presente prodotto è distribuito dalle Agenzie Vittoria Assicurazioni

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

I CRITERI DI VALUTAZIONE DELLE POSTE DI BILANCIO: una breve disamina sul fair value

I CRITERI DI VALUTAZIONE DELLE POSTE DI BILANCIO: una breve disamina sul fair value I CRITERI DI VALUTAZIONE DELLE POSTE DI BILANCIO: una breve disamina sul fair value A cura Alessio D'Oca Premessa Nell ambito dei principi che orientano la valutazione del bilancio delle società uno dei

Dettagli

LAVORO, ENERGIA E POTENZA

LAVORO, ENERGIA E POTENZA LAVORO, ENERGIA E POTENZA Nel linguaggio comune, la parola lavoro è applicata a qualsiasi forma di attività, fisica o mentale, che sia in grado di produrre un risultato. In fisica la parola lavoro ha un

Dettagli

Crescere e far crescere. Finalmente la composizione ideale per i tuoi investimenti.

Crescere e far crescere. Finalmente la composizione ideale per i tuoi investimenti. Crescere e far crescere. Finalmente la composizione ideale per i tuoi investimenti. LINEA INVESTIMENTO GUIDA AI PRODOTTI Crescere e far crescere. Finalmente la composizione ideale per i tuoi investimenti!

Dettagli

L impresa che non fa il prezzo

L impresa che non fa il prezzo L offerta nei mercati dei prodotti L impresa che non fa il prezzo L impresa che non fa il prezzo (KR 10 + NS 6) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline L offerta nei mercati

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA ANALISI EDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA arco BOZZA * * Ingegnere Strutturale, già Direttore della Federazione regionale degli Ordini degli Ingegneri del Veneto (FOIV), Amministratore di ADEPRON DINAICA

Dettagli

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione

Il monitoraggio della gestione finanziaria dei fondi pensione Il monitoraggio della gestione finanziaria nei fondi pensione Prof. Università di Cagliari micocci@unica.it Roma, 4 maggio 2004 1 Caratteristiche tecnico - attuariali dei fondi pensione Sistema finanziario

Dettagli

GUIDA OPZIONI BINARIE

GUIDA OPZIONI BINARIE GUIDA OPZIONI BINARIE Cosa sono le opzioni binarie e come funziona il trading binario. Breve guida pratica: conviene fare trading online con le opzioni binarie o è una truffa? Quali sono i guadagni e quali

Dettagli

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica Correnti e circuiti a corrente continua La corrente elettrica Corrente elettrica: carica che fluisce attraverso la sezione di un conduttore in una unità di tempo Q t Q lim t 0 t ntensità di corrente media

Dettagli

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Alessio Porretta Universita di Roma Tor Vergata Gli elementi tipici di un gioco: -un numero di agenti (o giocatori): 1,..., N -Un insieme di strategie

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

DOCUMENTO DI SINTESI STRATEGIA DI ESECUZIONE E TRASMISSIONE DEGLI ORDINI BANCA CENTROPADANA CREDITO COOPERATIVO

DOCUMENTO DI SINTESI STRATEGIA DI ESECUZIONE E TRASMISSIONE DEGLI ORDINI BANCA CENTROPADANA CREDITO COOPERATIVO DOCUMENTO DI SINTESI STRATEGIA DI ESECUZIONE E TRASMISSIONE DEGLI ORDINI LA NORMATIVA MIFID BANCA CENTROPADANA CREDITO COOPERATIVO Novembre 2010 La Markets in Financial Instruments Directive (MiFID) è

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

I principali prodotti derivati. Elementi informativi di base. Ottobre 2012. Consob Divisione Tutela del Consumatore

I principali prodotti derivati. Elementi informativi di base. Ottobre 2012. Consob Divisione Tutela del Consumatore I principali prodotti derivati Elementi informativi di base Ottobre 2012 Consob Divisione Tutela del Consumatore Indice I - Premessa 3 II - Cosa sono i prodotti derivati 4 III - I principali prodotti

Dettagli