studi e analisi finanziarie Il modello di Black e Scholes

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1 Il modello di Black e Scholes Si tratta di uno dei modelli più conosciuti in finanza che consente di calcolare il prezzo di un opzione call e, in seguito, di un opzione put. In questa sede verrà studiata l opzione call; derivare analiticamente tutte le formule non è una procedura di immediata comprensione, perché la base matematica necessaria è abbastanza complicata. Infatti, per ottenere il loro eccezionale risultato Fischer Black e Myron Scholes, nel 1973, hanno fatto uso del calcolo stocastico, disciplina che consente di studiare le variabili nel tempo, quando esiste anche l incertezza. Al contrario, la formula per calcolare il prezzo del call (tralasciando tutto quello che c è a monte) è abbastanza semplice, in questa sede saranno studiate alcuni risultati nel tentativo di fare emergere le intuizioni principali alla base del modello e, quindi, utili per chi opera nel mercato degli strumenti derivati. Calcolo del prezzo tramite il modello di Black e Scholes: Il prezzo di un opzione call europea su un titolo che in t ha prezzo S, da esercitare alla scadenza T, con prezzo di esercizio X, in presenza di un tasso di interesse privo di rischio r (ad esempio i BOT), ed una volatilità annua del titolo pari a σ. Call = S N r( T t) ) ( d ) X e N( ) 1 d 2 Dove: d 1 log = ( S 1 ) + ( r + σ 2 )( T t) X 2 σ T t d 2 = d σ 1 T t N è il valore della distribuzione normale cumulata. T-t è la durata dell opzione in frazioni di anno (es. 180 giorni=0,5) Un esempio può aiutare nella comprensione: Il valore dell azione è 42, il prezzo di esercizio 40, la durata 6 mesi, la volatilità è il 20%, il tasso di interesse il 10% 1

2 Otteniamo d1=0.7693, d2=0,6278 Xe r ( T t) = 40e 0.05 = Il valore della call europea sarà data: c = 42 N(0.7693) N(0.6278) = 4.76 Per l opzione put si utilizzano le stesse grandezze, ma combinate in modo diverso tra loro, esiste infatti una condizione che lega inequivocabilmente il prezzo di una call e di una put tra loro (put-call parity). Da questa relazione si ricava il prezzo giusto della put (in caso contrario sarebbe possibile ottenere dei guadagni senza correre rischi, il che è quasi impossibile nei mercati finanziari e quando siò si verifica è definito arbitraggio): Put = X e r ( T t )) N( d ) S N( d ) 2 1 p = N( ) 42N ( ) = 0.81 Per semplicità si ipotizza che il titolo non distribuisca dividendi, qualora ciò avvenisse, si può detrarre tale reddito dal tasso esente da rischio: si tratta di un approssimazione, utilizzata ampiamente nella pratica Esistono molti software in circolazione per calcolare il valore del call, inserendo esclusivamente cinque dati, oppure si può costruire un foglio di lavoro excel. Sul web si veda ad esempio dove è possibile scaricare una libreria di excel. Intuizione Il prezzo del call tende a rappresentare il valore atteso dei guadagni futuri che l opzione dovrebbe generare. Come possiamo valutare i guadagni: a) I profitti illimitati che il call può generare se il prezzo a scadenza è superiore allo strike; b) Perdite limitate se il prezzo a scadenza è inferiore allo strike. Nd1 è la probabilità che il prezzo adesso sia superiore allo strike 2

3 Nd2 è la probabilità che il prezzo a scadenza sia superiore allo strike Per questo motivo Nd2 è vista come la probabilità che il call sia esercitato (Nd1 è comunque un approssimazione per eccesso e poiché è uguale al delta viene utilizzata per semplicità) Tornando alla formula di Black e Scholes abbiamo le due componenti: I profitti illimitati alla quale sottrarre il costo di esercizio nel caso in cui venga esercitata. In base a tutti i parametri della formula e di mercato (prezzo, base, scadenza, volatilità, tassi di interesse) le due componenti assumono valori diversi, la loro differenza genera il prezzo del call. Nella prossima sezione verranno presentate alcune considerazioni sulle greche (delta, theta, gamma, vega, rho), ovvero le variabili che influenzano la vita del call. Inoltre, sono state preparate alcune tabelle multiuso che permettono di valutare il variare del prezzo del call al modificarsi delle greche, i dati sono utili per poter anticipare gli effetti sui prezzi dei call al verificarsi di un cambiamento di scenario (ipotesi che si verifica sempre). Il delta Misura la variazione istantanea del prezzo del call per ogni variazione unitaria del prezzo del titolo (es il titolo aumenta di 10, se il delta è 0,2 il valore del call aumenta di 2) La formula del delta è la seguente Delta= N( d 1 ) che costituisce una parte della formula di B&S per valutare il call; possiamo affermare che: - E crescente in S; - E decrescente in X; - Il tempo ha effetti contrastanti dipende se il prezzo di mercato del titolo sottostante è maggiore o inferiore allo strike; - La volatilità ha effetti contrastanti dipende se il prezzo di mercato del titolo sottostante è maggiore o inferiore allo strike. 3

4 Chiarimento in forma intuitiva: Al trascorrere del tempo, per le opzioni out-of-the-money, la probabilità che vengano esercitate diventerà sempre più bassa e quindi il delta tenderà a diminuire. Al contrario per opzioni in-the-money (ad esempio i delta100), il trascorrere del tempo farà aumentare la probabilità che l opzione venga esercitata a scadenza e, quindi, aumenterà il delta. Lo stesso effetto è generato dalla volatilità: un aumento della volatilità farà aumentare la probabilità che un opzione out-of-the money, sia esercitata (aumenta anche il delta). Al contrario un aumento della volatilità riduce il delta di un opzione in-themoney (diminuisce la probabilità di esercizio). Attenzione: in caso di aumento della volatilità il prezzo del call aumenta (bisogna ricordarsi che il valore del call è dato da due componenti: profitti illimitati e costo di esercizio, le due grandezze possono non muoversi nella stessa direzione). In linea di massima, possiamo affermare che il delta sia la probabilità che l opzione venga esercitata, anche se per volatilità molto alte e durata molto elevata sopra 6 mesi il delta sovrastima la probabilità di esercizio. Infine, volendo fare un paragone automobilistico il delta rappresenta la velocità del call rispetto alla velocità del titolo. Il theta Il trascorrere del tempo riduce il valore del call, in quanto l opzione deve il suo prezzo all incertezza sul futuro, rendendo possibile assumere posizioni pagando soltanto un premio. Se fossimo sicuri di quello che succederà non acquisteremmo opzioni (perché non esisterebbero). Indubbiamente più ci avviciniamo alla scadenza dell opzione minori saranno le probabilità che possa accadere qualcosa di imprevisto (e magari di desiderato) e, in linea di massima, il valore dell opzione diminuirà. Intuitivamente, quando manca molto tempo un giorno in più o in meno non modificherà sostanzialmente le cose, mentre quando la scadenza si avvicina l effetto dei giorni che passano si fa sentire in modo maggiore. Inoltre, l effetto dipenderà anche se l opzione è in the money (e quindi ha già un suo valore intrinseco S>X), se il prezzo di mercato è inferiore allo strike (out of the money), se il valore del call è prossimo allo strike (at the money). 4

5 Il vega In apparenza è il più semplice: maggiore è la variabilità maggiore è il prezzo del call. Quindi più la volatilità è alta più care saranno le opzioni, al diminuire della volatilità le opzioni saranno più a buon mercato. Ricordiamoci che viviamo in un mondo caratterizzato dall incertezza nel quale si paga un premio per poter eventualmente esercitare un diritto ad acquistare qualcosa. I cambi nella volatilità implicita (che determina il valore del call) non devono esser sottostimati: spesso al crescere dei prezzi, diminuisce la volatilità di un titolo e, di conseguenza, il prezzo del call aumenta meno di quanto ci si aspettasse! Il gamma E il tasso di variazione del delta: è massimo quando S=X, in pratica ci dice qual è l accelerazione nel prezzo del call al variare del prezzo di mercato del titolo (non del call!). Intuitivamente, possiamo considerare il gamma la sensibilità del prezzo del call alla volatilità vera del prezzo del titolo sottostante (non del call). Visto che il gamma per le opzioni at the money è più elevato all approssimarsi della scadenza, è possibile costruire delle strategie operative che consentano di immunizzare il costo del passare del tempo, sfruttando questa proprietà del gamma. Il rho Se aumentano i tassi di interesse il valore del call aumenta, perché ho la possibilità di investire il denaro, fino alla scadenza del derivato, ad un tasso maggiore per poter acquistare il titolo sottostante al prezzo X. Il prezzo del call si muove quindi in maniera contraria alle aspettative secondo una valutazione in base al modello di Black e Scholes. Ci sono però delle considerazioni estranee al contesto del modello, di cui tenere conto che riguardano la reattività del titolo sottostante. I tassi di 5

6 interesse possono aumentare in conseguenza di una espansione economica e quindi portare ad un apprezzamento dei corsi azionari; al contempo però i tassi di interesse più elevati portano a penalizzare i flussi di cassa futuri scontati, relativi ai dividendi societari facendo diminuire il prezzo del titolo. Nota Operativa: Chi acquista le opzioni deve essere a conoscenza di come il valore del call si possa modificare nel tempo, anche se il prezzo dell azione dovesse rimanere costante. La considerazione centrale è che per chi acquista i call out-of-the money, il trascorrere del tempo e la tranquillità dei mercati sono degli avversari. 6

7 Variazione dell importanza del e del al modificarsi dello volatilità 25% riskfree 5% giorni a scad 60 strike 100 call in % Delta ass gamma % % % % % % % % % % % 360.5% % % 85.9% % % 14.4% % % 1.7% % % 0.1% % % 0.0% Variazione dell importanza del e del al modificarsi della durata del opzione at the money. volatilità 25% riskfree 5% 100 strike 100 call in % giorni a scadenza delta gamma % % 383.6% % % 376.9% % % 371.8% % % 360.5% % % 351.9% % % 344.8% % % 333.1% % % 323.3% % % 307.4% 7

8 Variazione dell importanza del e del al modificarsi della durata del opzione out of the money. volatilità 25% riskfree 5% 80 strike 100 call in % giorni a scadenza delta gamma % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 871.4% Variazione dell importanza del e del al modificarsi della volatilità del sottostante dell opzione at the money giorni a scad 180 riskfree 5% 100 strike 100 call in % volatilità delta gamma % 15% % 490.6% % 20% % 397.8% % 25% % 333.1% % 30% % 285.9% % 35% % 250.1% % 40% % 222.0% % 45% % 199.5% % 50% % 181.0% % 55% % 165.5% 8

9 Variazione dell importanza del e del al modificarsi della volatilità del sottostante dell opzione in the money giorni a scad 180 riskfree 5% 140 strike 100 call in % volatilità delta gamma % 15% % 0.2% % 20% % 2.8% % 25% % 9.2% % 30% % 17.5% % 35% % 25.5% % 40% % 32.3% % 45% % 37.6% % 50% % 41.6% % 55% % 44.5% Variazione dell importanza del e del al modificarsi della volatilità del sottostante dell opzione out of the money giorni a scad 180 riskfree 5% 80 strike 100 call in % volatilità delta gamma % 15% % % % 20% % % % 25% % % % 30% % 916.4% % 35% % 691.4% % 40% % 547.6% % 45% % 449.2% % 50% % 378.5% % 55% % 325.4% theta vega variazione in assoluto () al trascorrere di 1% anno variazione in assoluto () al 9

10 delta variare 1% volat implicita variazione in assoluto al variare una lire nello Critiche al modello di Black e Scholes Il modello è stato oggetto di forti critiche negli anni, ma riteniamo che la validità dell impostazione sia ancora attuale, pur consci di alcuni limiti. Bisogna considerare che l analisi finanziaria deve interagire con un mondo esterno caratterizzato dall incertezza. Il punto centrale è che la dinamica dei prezzi nei mercati, cioè le oscillazioni di tutti i giorni, non rispecchiano fedelmente le ipotesi teoriche di Black e Scholes, che avevano consentito di risolvere elegantemente il modello matematico. I prezzi tendono ad oscillare più di quanto prevede la teoria, le fasi di volatilità sono spesso vicine nel tempo e intervallate da periodi di relativa calma; non esiste un criterio univoco per determinare quale sia la forma della volatilità, anche perché questa è incerta per definizione! La volatilità non è costante sui vari orizzonti temporali (l incertezza a 1 mese può essere diversa da quella a sei mesi) e per valori diversi del titolo (aumenti del 10% o del 30% possono avvenire con probabilità diverse da quanto sia previsto da una distribuzione normale standard). In pratica nella vita di tutti i giorni, dovendo decidere un valore per la volatilità, si stima un valore e poi lo si maggiora, in modo empirico, di un ammontare per compensare ad eventuali salti di variabilità, dovuti ad eventi imprevedibili. (Questa era anche l idea di Fischer Black, uno degli ideatori del modello e sicuramente conscio dei limiti). La scelta è tra il rigore del modello e la semplicità di realizzazione, anche perché non è certo che un modello molto rigoroso possa consentire di stimare perfettamente la volatilità futura! Sarà idoneo a guardare al passato, ma non necessariamente preciso per un analisi del futuro, in questi casi si fa sempre un parallelo con coloro che guidano guardando solo nello specchietto retrovisore. Il rischio per chi vende call è sottostimare l incertezza futura e, quindi, vendere sottocosto il diritto a comprare un titolo ad un prezzo predeterminato. Riflessione 1 D=f(P) Le tre lettere esprimono il concetto fondamentale di tutti gli strumenti derivati! 10

11 Il prezzo (D) dipende dal valore di mercato P, in base alle formula f. In questo caso abbiamo visto che il call dipende dal prezzo di mercato (S) in base alla formula di Black e Scholes. Quindi possiamo scrivere: C=f(S) Il problema è che mentre il prezzo S è sempre osservabile sul mercato e non può essere modificato (ad esempio il prezzo del titolo Generali), la formula f è per così dire discrezionale e potrebbe dipendere dall emittente che deve dare un prezzo al call. In presenza di un mercato asimmetrico questa ipotesi è più probabile. Ricordiamoci che si tratta di uno strumento derivato e non di un attività vera e propria! Riflessione 2 Il modello Black e Scholes ci dice che in un mondo che funziona in base alle loro ipotesi (stringenti, ma non troppo) non puoi guadagnare sistematicamente vendendo i call ad un prezzo giusto, ottenuto in base alla formula (1). Il prezzo dell incertezza è contenuto nel prezzo del call! Il call può essere replicato a costo irrisorio da chi lo ha venduto e, quindi, non si possono fare profitti sistematici: per fare profitti sistematici si devono vendere i call a prezzo elevato (superiore a quello giusto) e continuare a replicarli a prezzo inferiore. Questo è il compito di un istituzione finanziaria che voglia guadagnare dalla vendita dei call! In realtà possiamo affermare che non esiste un giusto prezzo per il call, ma un prezzo di mercato al quale ci sono dei venditori disposti ad assumersi dei rischi e dei compratori disposti a pagare un prezzo. Questo è il mercato finanziario e, dopotutto, è solo uno dei tanti mercati nei quali dobbiamo recarci ogni giorno, senza esserne obbligati. La volatilità La volatilità viene calcolata come la deviazione standard dei rendimenti giornalieri e poi aggiustata per le varie durate temporali di cui si ha bisogno. La regola utilizzata nella pratica è di moltiplicare il valore base (in questo caso giornaliero) per la radice quadrata del tempo (ad esempio 252 per ottenere l anno). Alla base c è il concetto che la varianza cresca in modo lineare con il trascorrere del tempo (la deviazione standard è la radice quadrata della varianza e per questo motivo si utilizza la radice quadrata del tempo, lavoriamo con la deviazione standard e non con la varianza in questo modello)!) 11

12 In realtà, sembra che la varianza tenda a oscillare molto più nel breve periodo che nel lungo periodo o meglio: la regola della radice quadrata tenda un po a sovrastimare i valori di lungo termine: l incertezza c è sempre, ma forse meno di quanto ci si aspetti. In realtà per ottenere dei valori di lungo periodo, corretti dal punto di vista statistico, sarebbero necessari moltissimi anni (almeno un paio di secoli), visto che non li abbiamo a dispozione è necessario fare dei compromessi Bibliografia Per imparare quasi tutto John Hull, Introduzione ai mercati dei futures e delle opzioni, Il Sole 24 ore John Hull, Opzioni, futures e altri strumenti derivati, Il Sole 24 ore Per saperne veramente di più: Nassim Taleb, Dynamic Hedging, Wiley (1997) Eric Briys et al., Options, futures and exotic derivatives, Wiley (1988) 12