2) Calcolare il prezzo ad oggi di una Put europea con un albero a 3 periodi.

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1 1) Calcolare il prezzo ad oggi di una Call europea con un albero a 2 periodi. tasso risk free: r =3,00%; Scadenza: 2 anni Step: n=2 Prezzo spot del sottostante: S 0 =100 Strike Price: K=98 u = 1,1 e d =0,95 A scadenza gli scenari possibili sono: uu, ud e dd, a cui corrispondono i seguenti prezzi del sottostante: Suu = 121,00, Sud = 104,50 e Sdd = 90,25. Calcolo il valore del payoff nei diversi scenari: Cuu = 23,00, Cud= 6,50 e Cdd = 0,00. Calcolo le probabilità associate ai diversi scenari: Puu = q 2 = 28,77%, Pud = 2*q*(1-q) = 49,74% e Pdd = (1-q) 2 =21,50% Prezzo: 2) Calcolare il prezzo ad oggi di una Put europea con un albero a 3 periodi. Tasso risk free: r =10,00%; Scadenza: 3 mesi Step: n=3 ( quindi dt = 1 mese = 30/365 = 0,0822 ) Prezzo spot del sottostante: S 0 =60 Strike Price: K=60 Volatilità del sottostante: Scenari a scadenza: uuu, uud, udd e ddd (Attenzione: lo scenario uud racchiude anche gli scenari udu e duu e quindi la probabilità sarà moltiplicata per 3, come prevede la formula: n=3, per udd invece k=1) Prezzi del sottostante a scadenza: Suuu = 88,36, Suud = 68,26,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74 Valori del Payoff a scadenza nei diversi scenari: Cuuu = 0,00, Cuud = 0,00, Cudd = 7,26, Cddd = 19,26 dove in questo caso k=2 e

2 Probabilità associate ai diversi scenari: Puuu = 12,49%, Puud = 3*q 2 *(1-q) = 37,49%, Pudd = 37,51% e Pddd = 12,51% Prezzo: C = 5,01 3) Calcolare il prezzo ad oggi di una Put con esercizio americano utilizzando gli stessi dati dell esercizio precedente ( Options Futures and other derivatives J. Hull, esercizio 18.2 pag. 430). u, d e q sono i medesimi dell esercizio precedente. n = 3 (esattamente come l esercizio precedente) Scenari: uuu, uud, udd e ddd Prezzi del sottostante: Suuu= 88,36, Suud = 68,26,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74 Valori del Payoff : Cuuu = 0,00, Cuud = 0,00, Cudd = 7,26, Cddd = 19,26 n=2 Scenari: uu, ud, dd Prezzi del sottostante: Suu = 77,66, Sud = 60,00 e Sdd = 46,35 Payoff che si ottiene dall esercizio anticipato (Early exercise): 0,00, 0,00 e 13,65 Payoff che si ottiene aspettando: Payoff allo step n=2 (Max(EE,W): Cuu = = = 0,00 Cud = = 3,60 Cdd = = 13,65 (l esercizio anticipato fa variare il prezzo rispetto all europea) n=1 Prezzi del sottostante: Su = 68,26 e Sd = 52,74 Payoff che si ottiene dall esercizio anticipato (Early exercise): EEu = 0,00 e EEd = 7,26 Payoff che si ottiene aspettando: Payoff allo step n=1 (Max(EE,W): Cu = 1,79 e Cd =8,56 Prezzo:

3 Il prezzo di un opzione con esercizio americano è sempre > o = della medesima opzione ma con esercizio europeo. Se i payoff calcolati nei tre periodi fossero sempre stati pari a W (cioè l esercizio posticipato fosse sempre meglio di quello anticipato) allora il prezzo sarebbe pari all europea. Inoltre valgono le seguenti osservazioni: - Early exercise non è mai ottimo per un opzione Call su un sottostante che non paga dividendi, ovvero il prezzo di una Call americana è sempre pari al prezzo dell analoga Call europea se il sottostante non paga dividendi. (intuitivamente l esercizio è sempre ottimo a scadenza perché il prezzo del sottostante segue un processo lognormale e quindi ha un trend crescente); - L early exercise può risultare ottimo invece nel caso di un opzione Call su un sottostante che paga i dividendi, in tal caso se l esercizio anticipato è ottimo lo è appena prima dello stacco del dividendo. - L early exercise può risultare ottimo nel caso di un opzione Put (sia che il sottostante paghi o non paghi dividendi) come mostrato nell esercizio appena svolto); Sulla valutazione di opzioni americane con alberi binomiali si consiglia di svolgere anche gli esercizi e a pag 430 del libro Options Futures and other derivatives J. Hull. 4) Delta hedging: Voglio costruire un portafoglio costituito dal derivato e da un numero di azioni tale che il rendimento di tale portafoglio sia certo 1, ipotizzando che a scadenza il sottostante possa assumere solo due valori: Su e Sd (albero binomiale uni periodale), ottengo che: Quindi devo comprare un numero di azioni pari a: Ovvero il numero Delta è proprio la greca finanziaria Delta che è la derivata (in questo caso discreta) del prezzo del derivato rispetto al prezzo del sottostante. La costruzione di un portafoglio di questo tipo è detta delta hedging. Proviamo ora a calcolare il Delta della Put dell esercizio 3: n =1 n = 2 Il Delta è variabile nel tempo e non è deterministico (deve essere valutato ipotizzando un modello per il processo del sottostante), quindi non c è mai il Delta hedging perfetto. 5) Calcolare il prezzo di un opzione asiatica usando un albero binomiale con tre periodi costruito nel seguente modo: Tasso risk free: r =10,00%; 1 Per il principio di non arbitraggio il rendimento di tale portafoglio non potrà mai essere superiore al tasso privo di rischio.

4 Scadenza: 3 mesi Step: n=3 ( quindi dt = 1 mese ) Prezzo spot del sottostante: S0=60 Strike: K = 54 Volatilità del sottostante: u, d e q sono i medesimi degli esercizi 2 e 3. n = 3 Suuu= 88,36, Suud = 68,26,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74 n=2 Suu = 77,66, Sud = 60,00 e Sdd = 46,35 n=1 Su = 68,26 e Sd = 52,74 Tabella di calcolo del valore dell opzione sui diversi path path mean payoff prob uuu 78,09 24,09 12,48% uud 71,40 17,40 12,49% udu 65,51 11,51 12,49% duu 60,33 6,33 12,49% udd 60,33 6,33 12,51% dud 55,16 1,16 12,51% ddu 50,61 0,00 12,51% ddd 46,61 0,00 12,52% Prezzo: C = 8,14 (media scontata dei valori a scadenza del Payoff) Osservazioni: perché il payoff è path dependent, questo perché la media aritmetica dei valori assunti da S è diversa per i differenti path: 6) Straddle costruita come una Put + Call con i medesimi parametri dell esercizio 2 e con volatilità apri al 30%. Diminuendo la volatilità il prezzo della strategia Straddle scende. u = 1,138, d= 0,879, q =50% e (1-q) = 50% (come esercizio 2) Scenari a scadenza: uuu, uud, udd e ddd Prezzi del sottostante a scadenza: Suuu= 88,36, Suud = 68,26,Sudd = 52,74 e Sddd = 40,74 Valori del Payoff della Call a scadenza:

5 Cuuu = 28,36, Cuud = 8,26, Cudd = 0,00, Cddd = 0,00 Probabilità associate ai diversi scenari: Puuu = 12,49%, Puud = 3*q 2 *(1-q) = 37,49%, Pudd = 37,51% e Pddd = 12,51% Prezzo Call ad oggi: Call = 6,47 Prezzo Put ad oggi : Put = 5,01 (vedere esercizio 2) Prezzo ad oggi dello straddle: Straddle = Call + Put = 11,48 Se ora modifico la volatilità: : u = 1,090, d= 0,918, q =55,64% e (1-q) = 47,36% Prezzi del sottostante a scadenza: Suuu = 77,66, Suud = 65,39,Sudd = 55,06 e Sddd = 46,35 Valori del Payoff della Put a scadenza: Cuuu = 0,00, Cuud = 0,00, Cudd = 4,94, Cddd = 13,65 Valori del Payoff della Call a scadenza: Cuuu = 17,66, Cuud = 5,39, Cudd = 0,00, Cddd = 0,00 Probabilità associate ai diversi scenari: Puuu = 14,59%, Puud = 3*q 2 *(1-q) = 39,37%, Pudd = 35,42% e Pddd = 10,62% Prezzo Call ad oggi: Call = 4,58 Prezzo Put ad oggi : Put = 3,12 (vedere esercizio 2) Prezzo ad oggi dello straddle: Straddle = Call + Put = 7,71 7) Call americana su un sottostante che paga dividendi Tasso risk free: r =10,00%; Scadenza: 3 mesi Step: n=3 ( quindi dt = 1 mese ) Prezzo spot del sottostante: S0=60 Strike: K = 54 Volatilità del sottostante: Dividendo : mesi e D = 2 u = 1,074 e d=0,931 q = 49,9% e 1-q =50,1% n=3 Scenari S Payoff (Suu-D)u 22,65 2,65 (Suu-D)d 19,62 0,00 (Sud-D)u 19,34 0,00 (Sud-D)d 16,76 0,00 (Sdd-D)u 16,47 0,00 (Sdd-D)d 14,27 0,00

6 n=2 Scenari S Early exe Waiting Payoff uu 21,08 1,08 1,32 1,32 ud 18,00 0,00 0,00 0,00 dd 15,33 0,00 0,00 0,00 n=1 Scenari S Early exe Waiting Payoff u 21,49 1,49 0,66 1,49 d 18,62 0,00 0,00 0,00 Price 0,74