Metodi Quantitativi per la Finanza

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1 Metodi Quantitativi per la Finanza Metodi Quantitativi per la Finanza S.M. Iacus Ricevimento: Gio 9:00-12:00, III Piano DEAS

2 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

3 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

4 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

5 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

6 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

7 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

8 Programma del corso il mondo dei derivati le dinamiche dei prezzi (moto browiano, equazioni differenziali stocastiche e formula di Ito) opzioni europee e americane modelli in tempo continuo modelli in tempo discreto forward, futures, opzioni esotiche Il tutto corredato da lezioni in laboratorio con e lavorare su dati reali per simulare

9 Materiale didattico Wilmott, Howison e Dewynne The Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge University Press, R Foundation for Statistical Computing R Statistical Environment [ ] Iacus, Masarotto (opzionale) Laboratorio di Statistica con R. McGraw-Hill Italia, 2003.

10 Materiale didattico Wilmott, Howison e Dewynne The Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge University Press, R Foundation for Statistical Computing R Statistical Environment [ ] Iacus, Masarotto (opzionale) Laboratorio di Statistica con R. McGraw-Hill Italia, 2003.

11 Materiale didattico Wilmott, Howison e Dewynne The Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge University Press, R Foundation for Statistical Computing R Statistical Environment [ ] Iacus, Masarotto (opzionale) Laboratorio di Statistica con R. McGraw-Hill Italia, 2003.

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13 Tipologie di mercati (non necessariamente luoghi fisici) stock markets (mercati azionari) : le borse nella nozione comune del termine, ad esempio, New York, Londra, Tokyo, Milano etc bond markets (mercati obbligazionari) : scambio di titoli di stato o simili currency markets or foreign exchange markets (mercati di cambio) : viene scambiata valuta e quindi di fatto fissato il prezzo dei cambi commodity markets (?) : vengono fissati i prezzi dei beni quali petrolio, oro, rame, frumento, elettricità futures and options markets (mercati dei prodotti derivati) : vengono acquistati e venduti titoli derivati come le opzioni

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15 Opzione : è il diritto ad acquistare o vendere un prodotto finanziario, a un prezzo stabilito e ad una scadenza prefissata. Forward e Futures : contratti che impegnano una delle due parti ad acquistare o vendere un prodotto finanziario, ad un prezzo definito ad una scadenza prefissata. I Futures e i contratti Forward sono quindi simili alle opzioni con la sostanziale differenza che vi è un obbligo di acquisto o vendita. La differenza tra Futures e contratti Forward è tecnica (nei futures ad esempio, il pagamento è dilazionato lungo tutta la lunghezza del contratto). Noi ci concentreremo principalmente sulle opzioni.

16 Opzione : è il diritto ad acquistare o vendere un prodotto finanziario, a un prezzo stabilito e ad una scadenza prefissata. Forward e Futures : contratti che impegnano una delle due parti ad acquistare o vendere un prodotto finanziario, ad un prezzo definito ad una scadenza prefissata. I Futures e i contratti Forward sono quindi simili alle opzioni con la sostanziale differenza che vi è un obbligo di acquisto o vendita. La differenza tra Futures e contratti Forward è tecnica (nei futures ad esempio, il pagamento è dilazionato lungo tutta la lunghezza del contratto). Noi ci concentreremo principalmente sulle opzioni.

17 Opzione : è il diritto ad acquistare o vendere un prodotto finanziario, a un prezzo stabilito e ad una scadenza prefissata. Forward e Futures : contratti che impegnano una delle due parti ad acquistare o vendere un prodotto finanziario, ad un prezzo definito ad una scadenza prefissata. I Futures e i contratti Forward sono quindi simili alle opzioni con la sostanziale differenza che vi è un obbligo di acquisto o vendita. La differenza tra Futures e contratti Forward è tecnica (nei futures ad esempio, il pagamento è dilazionato lungo tutta la lunghezza del contratto). Noi ci concentreremo principalmente sulle opzioni.

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19 Vanilla Options Vanilla : (Default flavour of ice cream in the US) Ordinary flavour, standard. When used of food, very often does not mean that the food is flavoured with vanilla extract! For example, vanilla wonton soup means ordinary wonton soup, as opposed to hot-and-sour wonton soup. This word differs from canonical in that the latter means default, whereas vanilla simply means ordinary. For example, when hackers go to a chinese restaurant, hot-and-sour wonton soup is the canonical wonton soup to get (because that is what most of them usually order) even though it isn t the vanilla wonton soup. [Free On-Line Dictionary of Computing,

20 European call option Ad una data prefissata futura (expiry date) il possessore dell opzione (holder) può decidere se acquistare un prodotto finanziario (asset o underlying asset) a un predeterminato prezzo di esercizio (exercise price). Quindi il possessore dell opzione acquisisce un diritto e non un obbligo. La controparte (writer) ha invece l obbligo di vendere l asset se il possessore dell opzione lo richiede. Il diritto alla scelta ha un valore (economico) e deve inoltre essere onorato in anticipo. Al contrario, chi proporne il contratto (writer) deve essere compensato dall obbligazione cui si vincola.

21 European call option Quindi ci sono due domande cui si deve rispondere quanto si deve pagare questo diritto di scelta? Cioè come deve essere fissato il valore di un opzione? come può essere minimizzato il rischio associato all obbligazione del writer?

22 Esempio di opzione: fra 8 mesi un certo asset può essere acquistato al prezzo di 25. Se tra 8 mesi il prezzo dell asset fosse di 27, il possessore dell opzione potrebbe acquistare al prezzo stabilito (25 ) l asset (esercitare l opzione), rivederlo subito sul mercato e realizzare il guadagno = 2 Viceversa, se il prezzo tra 8 mesi fosse di 23, sicuramente l opzione non verrà esercitata. Se, per ipotesi, i due soli valori possibili dell asset tra 8 mesi fossero 27 e 23 con eguale probabilità, allora il guadagno atteso sarebbe pari a = 1 2

23 Sembrerebbe quindi (trascurando i tassi di interesse) che il valore equo di questa opzione sia di 1. Ammesso che sia veramente questo il valore equo: se il prezzo dell asset fosse di 27 alla scadenza, il profitto di chi ha acquistato l opzione sarebbe pari a 2 1 = 1, cioè il 100% del capitale investito! Se al contrario, il prezzo del opzione fosse di 23, la perdita netta sarebbe del 100%. D altro canto, se il prezzo dell asset oggi fosse di 25 e lo si acquistasse al posto dell opzione, fra 8 mesi la perdita o il guadagno di capitale sarebbe stata/o solo di ±8% (± 2/25).

24 Determinanti del valore di un opzione Dunque, il valore delle opzioni risponde repentinamente alle variazioni di prezzo del valore dell asset sottostante. Il profitto sarà tanto maggiore tanto più alto sarà il prezzo finale dell asset. D altro canto, se oggi il valore di un asset è elevato, si può pensare che lo sia anche in futuro, quindi il valore dell opzione oggi dipende dal prezzo odierno dell asset. Ovviamente il valore dell opzione dipende anche dal prezzo d esercizio: più basso è il prezzo di esercizio, meno si pagherà all esercizio, e quindi maggiore è il valore dell opzione (per il writer).

25 Determinanti del valore di un opzione Dunque, il valore delle opzioni risponde repentinamente alle variazioni di prezzo del valore dell asset sottostante. Il profitto sarà tanto maggiore tanto più alto sarà il prezzo finale dell asset. D altro canto, se oggi il valore di un asset è elevato, si può pensare che lo sia anche in futuro, quindi il valore dell opzione oggi dipende dal prezzo odierno dell asset. Ovviamente il valore dell opzione dipende anche dal prezzo d esercizio: più basso è il prezzo di esercizio, meno si pagherà all esercizio, e quindi maggiore è il valore dell opzione (per il writer).

26 Determinanti del valore di un opzione Dunque, il valore delle opzioni risponde repentinamente alle variazioni di prezzo del valore dell asset sottostante. Il profitto sarà tanto maggiore tanto più alto sarà il prezzo finale dell asset. D altro canto, se oggi il valore di un asset è elevato, si può pensare che lo sia anche in futuro, quindi il valore dell opzione oggi dipende dal prezzo odierno dell asset. Ovviamente il valore dell opzione dipende anche dal prezzo d esercizio: più basso è il prezzo di esercizio, meno si pagherà all esercizio, e quindi maggiore è il valore dell opzione (per il writer).

27 Determinanti del valore di un opzione Dunque, il valore delle opzioni risponde repentinamente alle variazioni di prezzo del valore dell asset sottostante. Il profitto sarà tanto maggiore tanto più alto sarà il prezzo finale dell asset. D altro canto, se oggi il valore di un asset è elevato, si può pensare che lo sia anche in futuro, quindi il valore dell opzione oggi dipende dal prezzo odierno dell asset. Ovviamente il valore dell opzione dipende anche dal prezzo d esercizio: più basso è il prezzo di esercizio, meno si pagherà all esercizio, e quindi maggiore è il valore dell opzione (per il writer).

28 Determinanti del valore di un opzione È anche ovvio, che la durata del contratto è rilevante nel determinare il valore dell opzione: più siamo vicini alla scadenza, meno rischio ci aspettiamo. Se l asset di riferimento ha un alta volatilità (variazione repentina di quotazione) questo influisce sulla determinazione del valore finale dell asset e quindi sul profitto atteso derivante dall opzione. Inoltre, si deve far fronte ai tassi di interesse: poiché un opzione viene pagata in anticipo e il guadagno (eventuale) si ha solo a fine contratto, il profitto atteso deve essere conveniente rispetto ad un investimento in titoli di stato o simili.

29 Determinanti del valore di un opzione È anche ovvio, che la durata del contratto è rilevante nel determinare il valore dell opzione: più siamo vicini alla scadenza, meno rischio ci aspettiamo. Se l asset di riferimento ha un alta volatilità (variazione repentina di quotazione) questo influisce sulla determinazione del valore finale dell asset e quindi sul profitto atteso derivante dall opzione. Inoltre, si deve far fronte ai tassi di interesse: poiché un opzione viene pagata in anticipo e il guadagno (eventuale) si ha solo a fine contratto, il profitto atteso deve essere conveniente rispetto ad un investimento in titoli di stato o simili.

30 Determinanti del valore di un opzione È anche ovvio, che la durata del contratto è rilevante nel determinare il valore dell opzione: più siamo vicini alla scadenza, meno rischio ci aspettiamo. Se l asset di riferimento ha un alta volatilità (variazione repentina di quotazione) questo influisce sulla determinazione del valore finale dell asset e quindi sul profitto atteso derivante dall opzione. Inoltre, si deve far fronte ai tassi di interesse: poiché un opzione viene pagata in anticipo e il guadagno (eventuale) si ha solo a fine contratto, il profitto atteso deve essere conveniente rispetto ad un investimento in titoli di stato o simili.

31 Valore di un opzione In definitiva si ha che VALORE OPZIONE = f (Valore attuale asset, prezzo di esercizio, valore finale dell asset, durata contratto, tassi di interesse) dove valore finale dell asset implica la modellazione della dinamica dei prezzi di un asset e, in particolare, lo studio della distribuzione dei valori finali dell asset e la volatilità dei prezzi dell asset.

32 Valore di un opzione In definitiva si ha che VALORE OPZIONE = f (Valore attuale asset, prezzo di esercizio, valore finale dell asset, durata contratto, tassi di interesse) dove valore finale dell asset implica la modellazione della dinamica dei prezzi di un asset e, in particolare, lo studio della distribuzione dei valori finali dell asset e la volatilità dei prezzi dell asset.

33 Valore di un opzione In definitiva si ha che VALORE OPZIONE = f (Valore attuale asset, prezzo di esercizio, valore finale dell asset, durata contratto, tassi di interesse) dove valore finale dell asset implica la modellazione della dinamica dei prezzi di un asset e, in particolare, lo studio della distribuzione dei valori finali dell asset e la volatilità dei prezzi dell asset.

34 Valore di un opzione In definitiva si ha che VALORE OPZIONE = f (Valore attuale asset, prezzo di esercizio, valore finale dell asset, durata contratto, tassi di interesse) dove valore finale dell asset implica la modellazione della dinamica dei prezzi di un asset e, in particolare, lo studio della distribuzione dei valori finali dell asset e la volatilità dei prezzi dell asset.

35 Valore di un opzione In definitiva si ha che VALORE OPZIONE = f (Valore attuale asset, prezzo di esercizio, valore finale dell asset, durata contratto, tassi di interesse) dove valore finale dell asset implica la modellazione della dinamica dei prezzi di un asset e, in particolare, lo studio della distribuzione dei valori finali dell asset e la volatilità dei prezzi dell asset.

36 Valore di un opzione In definitiva si ha che VALORE OPZIONE = f (Valore attuale asset, prezzo di esercizio, valore finale dell asset, durata contratto, tassi di interesse) dove valore finale dell asset implica la modellazione della dinamica dei prezzi di un asset e, in particolare, lo studio della distribuzione dei valori finali dell asset e la volatilità dei prezzi dell asset.

37 Opzioni di tipo put Mentre in un opzione call si acquisisce il diritto di comperare ad un prezzo prestabilito, in un opzione di tipo put si acquisisce il diritto a vendere un asset ad un prezzo prestabilito e il writer è obbligato ad acquistare a tale prezzo. La struttura dei payoff è analoga a quanto visto per un opzione di tipo call. Ovviamente, mentre il possessore di un opzione call spera in un aumento del prezzo del titolo sottostante, il possessore di un opzione put preferirà una quotazione finale molto bassa.

38 Come leggere la stampa di settore Calls Puts Option Ex. Price Mar Jun Sep Mar Jun Sep R.Royce (134) Financial Times, Feb 4th 1993 (134) : prezzo dell asset alla chiusura della borsa il giorno 3 Feb 1993 Mar, Jun, Sep : expiry date, il terzo mercoledi del mese alle 18:00 L holder di una opzione Call paga di più se il prezzo di esercizio è 130 invece di 140 perché può acquistare ad un prezzo più basso; viceversa per l opzione put: si paga di più per opzioni con prezzo di esercizio più elevato potendo infatti scegliere di vendere ad un prezzo più elevato che non 130.

39 Come leggere la stampa di settore Calls Puts Option Ex. Price Mar Jun Sep Mar Jun Sep R.Royce (134) Financial Times, Feb 4th 1993 (134) : prezzo dell asset alla chiusura della borsa il giorno 3 Feb 1993 Mar, Jun, Sep : expiry date, il terzo mercoledi del mese alle 18:00 L holder di una opzione Call paga di più se il prezzo di esercizio è 130 invece di 140 perché può acquistare ad un prezzo più basso; viceversa per l opzione put: si paga di più per opzioni con prezzo di esercizio più elevato potendo infatti scegliere di vendere ad un prezzo più elevato che non 130.

40 Cosa c è dietro? Le opzioni molto spesso sono molto più liquide dell asset sottostante, cioè ci sono maggiori scambi di opzioni su un titolo che scambi del titolo stesso! Ma a cosa servono le opzioni? Un investitore tradizionale acquista azioni di una certa azienda pensando che il valore di queste azioni possa crescere. Se ha intuito correttamente il mercato, a tempo debito può vendere e realizzare un guadagno. Se si è sbagliato, può decidere di vendere limitando le perdite. Se avesse acquistato un opzione come quella dell esempio, avrebbe potuto guadagnare o perdere il 100% del capitale investito.

41 Cosa c è dietro? Le opzioni molto spesso sono molto più liquide dell asset sottostante, cioè ci sono maggiori scambi di opzioni su un titolo che scambi del titolo stesso! Ma a cosa servono le opzioni? Un investitore tradizionale acquista azioni di una certa azienda pensando che il valore di queste azioni possa crescere. Se ha intuito correttamente il mercato, a tempo debito può vendere e realizzare un guadagno. Se si è sbagliato, può decidere di vendere limitando le perdite. Se avesse acquistato un opzione come quella dell esempio, avrebbe potuto guadagnare o perdere il 100% del capitale investito.

42 Cosa c è dietro? Integrare una tale opzione in un certo portafoglio è un modo molto economico di aggiungere alto rischio al portafoglio stesso (anziché pagare 250 ora, provo a investire 1 ) Oppure, anche possedendo azioni, in una strategia di lungo periodo, si possono comperare opzioni legate a questi asset anziché vendere le azioni stesse se durante il periodo accade che le azioni subiscano una temporanea perdita di valore. In sostanza, con un limitato investimento iniziale si può realizzare un forte guadagno.

43 Cosa c è dietro? Integrare una tale opzione in un certo portafoglio è un modo molto economico di aggiungere alto rischio al portafoglio stesso (anziché pagare 250 ora, provo a investire 1 ) Oppure, anche possedendo azioni, in una strategia di lungo periodo, si possono comperare opzioni legate a questi asset anziché vendere le azioni stesse se durante il periodo accade che le azioni subiscano una temporanea perdita di valore. In sostanza, con un limitato investimento iniziale si può realizzare un forte guadagno.

44 Cosa c è dietro? Integrare una tale opzione in un certo portafoglio è un modo molto economico di aggiungere alto rischio al portafoglio stesso (anziché pagare 250 ora, provo a investire 1 ) Oppure, anche possedendo azioni, in una strategia di lungo periodo, si possono comperare opzioni legate a questi asset anziché vendere le azioni stesse se durante il periodo accade che le azioni subiscano una temporanea perdita di valore. In sostanza, con un limitato investimento iniziale si può realizzare un forte guadagno.

45 L altro lato della medaglia: il writer Simmetricamente, il writer si espone a grosse perdite a fronte di un piccolo premio iniziale pagato alla stipula del contratto. Ma chi mai stipulerebbe un opzione dunque? Cioè, chi mai farebbe il writer (piccolo guadagno/alto rischio)? Sicuramente i writer sono addentro al mercato e se propongono una opzione call è perché si aspettano un crollo del valore dell asset. Viceversa per le opzioni put. In realtà il writer campa sul guadagno che realizza vendendo le opzioni ad un prezzo leggermente maggiore del loro valore reale e comprandole ad un valore leggermente inferiore. In tal modo minimizza il rischio: si parla in questo caso di hedging

46 L altro lato della medaglia: il writer Simmetricamente, il writer si espone a grosse perdite a fronte di un piccolo premio iniziale pagato alla stipula del contratto. Ma chi mai stipulerebbe un opzione dunque? Cioè, chi mai farebbe il writer (piccolo guadagno/alto rischio)? Sicuramente i writer sono addentro al mercato e se propongono una opzione call è perché si aspettano un crollo del valore dell asset. Viceversa per le opzioni put. In realtà il writer campa sul guadagno che realizza vendendo le opzioni ad un prezzo leggermente maggiore del loro valore reale e comprandole ad un valore leggermente inferiore. In tal modo minimizza il rischio: si parla in questo caso di hedging

47 L altro lato della medaglia: il writer Simmetricamente, il writer si espone a grosse perdite a fronte di un piccolo premio iniziale pagato alla stipula del contratto. Ma chi mai stipulerebbe un opzione dunque? Cioè, chi mai farebbe il writer (piccolo guadagno/alto rischio)? Sicuramente i writer sono addentro al mercato e se propongono una opzione call è perché si aspettano un crollo del valore dell asset. Viceversa per le opzioni put. In realtà il writer campa sul guadagno che realizza vendendo le opzioni ad un prezzo leggermente maggiore del loro valore reale e comprandole ad un valore leggermente inferiore. In tal modo minimizza il rischio: si parla in questo caso di hedging

48 Hedging Si supponga di avere un asset con valore in decremento. Se il mio portafoglio contiene solo asset di questo tipo, il suo valore calerà. Se contiene solo put su questo asset, il valore del portafoglio aumenterà. Un portafoglio che contenga sia asset che opzioni put su questo asset in proporzione adeguata permetterà di ridurre il rischio. Se esistesse un rapporto ottimale tra quantità di asset e opzioni sull asset allora il portafoglio sarebbe risk free. In generale, la strategia di riduzione del rischio basata sulla correlazione tra assets e opzioni viene chiamata hedging (copertura).

49 Un market maker in grado di vendere un opzione ad un prezzo maggiore del suo valore in modo da coprire (eliminare) il rischio relativo al restante tempo di vita dell opzione si è procurato un profitto risk-free. Questo è ciò che sta dietro all option pricing.

50 Altri tipi di opzioni Il tipo di opzioni viste sin qui sono dette di tipo Europeo. Quelle che possono essere esercitate anche prima della data di esercizio sono dette Americane anche se questa classificazione non ha a che vedere con i mercati in cui vengono scambiate ne sulla loro origine. Quasi tutte le opzioni oggi sono di tipo americano e sono più intriganti da studiare perché oltre a doverne fissare il prezzo (option pricing) è anche necessario valutare il tempo ottimale di esercizio

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52 Altri tipi di opzioni Le opzioni esotiche o path-dependent sono opzioni il cui valore finale dipende dall andamento dell asset sottostante durante tutto il periodo. Ad esempio, una opzione call in cui il prezzo di acquisto è fissato pari alla media dei prezzi del periodo (vero molto spesso per le commodities) o il massimo, il minimo, o altre medie come quella geometrica, etc. Parlando di medie però il problema è capire su cosa esattamente viene calcolata. Su tutte le quotazioni del periodo? (alcuni titoli vengono quotati ogni 30 secondi: dati ad alta frequenza) O sulle quotazioni alla chiusura? (dati in tempo discreto). C è differenza nel calcolo del valore dell opzione in tempo continuo o discreto?

53 Classificazione matematica delle opzioni Dal punto di vista analitico le opzioni si dividono in tre grandi categorie: barrier options (quelle esercitate solo se il valore dell asset sottostante raggiunge un certo livello) Asian options (il prezzo finale è calcolato attraverso qualche forma di media) lookback options (il prezzo dell opzione dipende dal minimo o dal massimo dell asset nel periodo)

54 Classificazione matematica delle opzioni Dal punto di vista analitico le opzioni si dividono in tre grandi categorie: barrier options (quelle esercitate solo se il valore dell asset sottostante raggiunge un certo livello) Asian options (il prezzo finale è calcolato attraverso qualche forma di media) lookback options (il prezzo dell opzione dipende dal minimo o dal massimo dell asset nel periodo)

55 Classificazione matematica delle opzioni Dal punto di vista analitico le opzioni si dividono in tre grandi categorie: barrier options (quelle esercitate solo se il valore dell asset sottostante raggiunge un certo livello) Asian options (il prezzo finale è calcolato attraverso qualche forma di media) lookback options (il prezzo dell opzione dipende dal minimo o dal massimo dell asset nel periodo)

56 Classificazione matematica delle opzioni Dal punto di vista analitico le opzioni si dividono in tre grandi categorie: barrier options (quelle esercitate solo se il valore dell asset sottostante raggiunge un certo livello) Asian options (il prezzo finale è calcolato attraverso qualche forma di media) lookback options (il prezzo dell opzione dipende dal minimo o dal massimo dell asset nel periodo)

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