RETI DI TELECOMUNICAZIONE

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1 RETI DI TELECOMUNICAZIONE PROCESSI DI POISSON Definizione Un processo stocastico che assume valori interi non negativi si dice essere un processo di Poisson con frequenza λ se 1. A(t) è un prosesso di enumerazione che rappresenta il numero totale degli arrivi che si sono verificati dal tempo 0 al tempo t 2. Il numero degli arrivi che si verificano in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti 3. Il numero degli arrivi in ciascun intervallo di lunghezza τ è distribuito secondo Poisson con parametro λτ PROCESSI DI POISSON 2 1

2 La distribuzione di Poisson è normalizzata Ovvero: per essere una distribuzione di probabilità la somma per n da 0 ad infinito di tutti i termini deve convergere a 1 Dimostrazione Sviluppo in serie di Maclaurin di e λτ PROCESSI DI POISSON 3 Valore medio Il primo termine è nullo, dividendo il denominatore per n PROCESSI DI POISSON 4 2

3 Significato della costante λ La costante di proporzianalità rappresenta quindi il rate medio degli arrivi di Poisson. PROCESSI DI POISSON 5 Calcoliamo prima Varianza come per la media PROCESSI DI POISSON 6 per la linearità dell operazione di derivazione 3

4 Varianza Quindi PROCESSI DI POISSON 7 Deviazione standard E utile considerare anche la deviazione standard normalizzata alla media tende a 0 per cioè per valori grandi di λτ la distribuzione è aggregata attorno al valore medio PROCESSI DI POISSON 8 4

5 Esempio λ=5 τ = 2.5s τ = 5s τ = 7.5s PROCESSI DI POISSON 9 Esempio λ=5 τ = 50s τ = 100s PROCESSI DI POISSON 10 5

6 Probabilità di avere 0 arrivi La probabilità di avere 0 arrivi nell intervallo τ è esponenziale decrescente al crescere di τ λ=5 τ (s) PROCESSI DI POISSON 11 Proprietà a) I tempi di interarrivo sono indipendenti ed esponenzialmente distribuiti con parametro λ b) Per con PROCESSI DI POISSON 12 6

7 Proprietà c) Dati n intervalli disgiunti e contigui τ 1, τ 2,, τ n, nei quali avviene un processo di Poisson rispettivamente con parametro λτ 1, λτ 2,, λτ n, il numero degli arrivi in τ =τ 1 +τ 2 + +τ n è un processo di Poisson con parametro λ(τ 1 +τ 2 + +τ n ) d) Dati più processi di Poisson indipendenti A 1, A 2,, A k, con frequenza λ 1, λ 2,, λ k, il processo cumulativo A = A 1 +A 2 + +A k sarà ancora di Poisson con frequenza λ=λ 1 +λ 2 + +λ k PROCESSI DI POISSON 13 Dimostrazione proprietà a) a) I tempi di interarrivo sono indipendenti ed esponenzialmente distribuiti con parametro λ Sia il generico istante di tempo dell n-esimo arrivo. Dobbiamo dimostrare che gli intervalli di tempo hanno distribuzione cumulativa di probabilità e sono mutuamente indipendenti. La funzione densità di probabilità sarà infatti esponenzialmente distribuiti con parametro λ PROCESSI DI POISSON 14 7

8 Dimostrazione proprietà a) La probabilità che non ci sia alcun arrivo in un intervallo di tempo pari a s è data da dalla quale PROCESSI DI POISSON 15 Valore medio dei tempi di interarrivo PROCESSI DI POISSON 16 8

9 Calcoliamo prima Varianza dei tempi di interarrivo PROCESSI DI POISSON 17 Varianza dei tempi di interarrivo λ=5 P(τ n s) n f τ (s) PROCESSI DI POISSON 18 s 9

10 Dimostrazione proprietà b) b) Per sarà infatti sviluppando secondo Maclaurin PROCESSI DI POISSON 19 Dimostrazione proprietà b) In quanto Analogamente si possono dimostrare gli altri casi Partendo dalla proprietà b) possiamo arrivare alla definizione di processo di Poisson Consideriamo un intervallo di ampiezza τ suddiviso in m sottointervalli di ampiezza δ PROCESSI DI POISSON 20 10

11 Dalla proprietà b) ai processi di Poisson Assumiamo essere λδ la probabilità che ci sia un arrivo in un intervallo di tempo δ e 1 λδ la probabilità che nello stesso intervallo non ci sia alcun arrivo. Stiamo praticamente assumendo che in ciascun intervallo non possa esserci più di un arrivo La probabilità che ci siano n arrivi nell intervallo τ è allora data dalla distribuzione binomiale fissando τ e facendo tendere δ 0, sarà m PROCESSI DI POISSON 21 Dalla proprietà b) ai processi di Poisson PROCESSI DI POISSON 22 11

12 Dalla proprietà b) ai processi di Poisson PROCESSI DI POISSON 23 Dimostrazione proprietà c) c) Dati n intervalli disgiunti e contigui τ 1, τ 2,, τ n, nei quali avviene un processo di Poisson rispettivamente con parametro λτ 1, λτ 2,, λτ n, il numero degli arrivi in τ =τ 1 +τ 2 + +τ n è un processo di Poisson con parametro λ(τ 1 +τ 2 + +τ n ) La proprietà si può dimostrare per induzione Sia e allora la probabilità che nell intervallo cumulativo τ ci siano 0 arrivi sarà PROCESSI DI POISSON 24 12

13 Dimostrazione proprietà c) che ci sia 1 solo arrivo PROCESSI DI POISSON 25 Dimostrazione proprietà c) PROCESSI DI POISSON 26 13

14 Dimostrazione proprietà c) che ci siano 2 arrivi PROCESSI DI POISSON 27 Dimostrazione proprietà c) sommando i vari termini si ottiene generalizzando al caso di m arrivi si ha quindi PROCESSI DI POISSON 28 14

15 Dimostrazione proprietà d) d) Dati più processi di Poisson indipendenti A 1, A 2,, A k, con frequenza λ 1, λ 2,, λ k, il processo cumulativo A = A 1 +A 2 + +A k sarà ancora di Poisson con frequenza λ=λ 1 +λ 2 + +λ k La proprietà può essere dimostrata sfruttando i tempi di interarrivo di ogni singolo processo. Siano t 1, t 2,, t k i tempi di interarrivo di ogni singolo processo e t il tempo di interarrivo del processo cumulativo. Per ogni singolo processo sarà per il processo cumulativo PROCESSI DI POISSON 29 Dimostrazione proprietà d) Quindi da cui Per la proprietà a) il processo cumulativo degli arrivi sarà esponenzialmente distribuito con parametro λτ PROCESSI DI POISSON 30 15

16 Distribuzione esponenziale dei tempi di servizio La distribuzione dei tempi di servizio è esponenziale con parametro µ quando dove s n è il tempo di servizio dell n-esimo cliente. Sarà Il parametro µ rappresenta la frequenza media di servizio Numero di clienti che viene servito nell unità di tempo PROCESSI DI POISSON 31 Proprietà di memoryless della distribuzione esponenziale Implica che: Trascorso un certo tempo t dall inizio di un servizio, il tempo addizionale t + necessario per completare il servizio non dipende dal tempo t già trascorso Trascorso un certo tempo t dall arrivo dell ultimo cliente nel sistema, il tempo addizionale t + che trascorrerà affinché arrivi il successivo cliente non dipende dal tempo t già trascorso PROCESSI DI POISSON 32 16

17 Dimostrazione Proprietà di memoryless della distribuzione esponenziale Regola di Bayes PROCESSI DI POISSON 33 Regola di Bayes N A B N B N A N PROCESSI DI POISSON 34 17