Politecnico di Milano Sede di Cremona A.A. 2013/14. Corso di RETI DI COMUNICAZIONE E INTERNET (Modulo 1) Martino De Marco / Antonio Corghi

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1 Politecnico di Milano Sede di Cremona A.A. 2013/14 Corso di RETI DI COMUNICAZIONE E INTERNET (Modulo 1) Martino De Marco / Antonio Corghi ESERCITAZIONE VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI

2 Indice Sistemi di accodamento Processo degli arrivi Processo di servizio Disciplina di servizio Applicazioni alle telecomunicazioni Condizione di stabilità Occupazione media Tempo di transito ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 2

3 Valutazione delle prestazioni di rete Valutare le prestazioni di una Rete di Telecomunicazioni significa: determinare con quale probabilità le richieste di nuove connessioni vengono rifiutate misurare il ritardo medio per la consegna di un pacchetto da origine a destinazione stimare la capacità che deve avere un nodo di rete piuttosto che un collegamento per smaltire correttamente il traffico offerto ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 3

4 Sistemi di accodamento Un sistema di accodamento è un sistema deputato all erogazione di un servizio, per accedere al quale gli utenti possono entrare in competizione tra loro Anche se non ce ne rendiamo conto, noi abbiamo a che fare quotidianamente con sistemi di accodamento: quando aspettiamo di pagare la spesa alla cassa di un supermercato quando attendiamo che il semaforo si disponga al verde quando andiamo dal barbiere o dal parrucchiere... ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 4

5 Sistemi di accodamento nelle reti Sistemi di accodamento sono presenti anche negli apparati per reti di telecomunicazione e la loro efficienza determina le prestazioni complessive di una rete Nelle reti a commutazione di circuito (multiplazione sincrona), fenomeni di accodamento sono visibili nella fase di instaurazione dei circuiti, quando le richieste di una apertura della connessione competono per l assegnamento di risorse di rete Nelle reti a commutazione di pacchetto, i buffer presenti nel nodo consentono di accodare le unità informative in attesa della trasmissione sulla linea di uscita (multiplazione asincrona) ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 5

6 Teoria delle Code Per valutare le prestazioni di sistemi di accodamento si applicano risultati derivanti dalla Teoria delle Code La teoria delle code consente di studiare le prestazioni dei sistemi di accodamento Ritardo: distribuzione dei ritardi sperimentati dagli utenti Perdita: esclusione di utenti dal servizio a causa di eccessiva domanda Throughput: frequenza di servizio Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 6

7 Modello del sistema di accodamento Possiamo modellare un sistema di accodamento con i seguenti elementi: la popolazione: gli utenti potenziali del servizio la fila d attesa (o coda): l insieme degli utenti in competizione per accedere al servizio il servente: l entità deputata all offerta del servizio (la cassiera del supermercato, il sistema semaforico, il barbiere, ecc.). Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 7

8 Parametri di un sistema di accodamento Parametri che caratterizzano un sistema di accodamento sono: la numerosità della popolazione (N): il numero totale di utenti potenziali la distribuzione degli arrivi: come sono distribuiti nel tempo gli arrivi di nuovi utenti Il tempo di servizio: il tempo che il servente impiega per servire un utente il numero di serventi (m), contemporaneamente attivi la disciplina di servizio: l ordine con cui sono serviti gli utenti la capacità della fila d attesa (L): la capacità della coda di ospitare utenti in attesa del servizio Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 8

9 Diagramma temporale del sistema C i : i-esimo cliente che entra nel sistema τ i : tempo di arrivo i-esima richiesta di servizio t i : tempo di interarrivo tra la richiesta (i-1)-esima e la i-esima w i : tempo di attesa in coda della i-esima richiesta di servizio x i : tempo di servizio dell i-esima richiesta ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 9

10 Grandezze da valutare ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 10

11 Processo arrivi e partenze Ipotesi: gli arrivi avvengono uno alla volta Nella realtà possono presentarsi arrivi in gruppo (batch, o cluster) L utilizzo del servente (espresso come frazione di tempo in cui è impegnato a servire utenti) sarà definito come: ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 11

12 Il processo degli arrivi alla coda (1) Cominciamo a considerare il processo di Poisson, largamente usato per modellizzare il processo degli arrivi in: traffico telefonico sistemi di commutazione reti a pacchetto reti di calcolatori rumore per effetto granulare generazione fotoni statistiche dei fotorivelatori generazione lacune nei semiconduttori... Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 12

13 Il processo degli arrivi alla coda (2) Se la popolazione è infinita e gli arrivi generati dagli utenti sono indipendenti tra loro, il processo degli arrivi è riconducibile alla legge di Poisson In tal caso, la probabilità che si presentino al sistema n clienti durante un intervallo di durata t è data da: ( ) λt λ t Pn [ t] = e n! Il processo degli arrivi è descritto unicamente dalla variabile λ, che indica la frequenza media di arrivo (utenti al secondo) n Popolazione Fila d attesa Servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 13

14 Il processo degli arrivi alla coda (3) Frequenza di arrivo = 1 messaggio al secondo Probabilità 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Funzione di distribuzione Numero di arrivi DeltaT=5s DeltaT=10s DeltaT=20s Probabilità 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Funzione di ripartizione Numero di arrivi DeltaT=5s DeltaT=10s DeltaT=20s ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 14

15 Il processo degli arrivi alla coda (4) Consideriamo un punto di partenza (nel tempo) arbitrario, ad esempio t=0, in cui avviene un arrivo di Poisson Sia t 1 la variabile aleatoria che esprime il tempo che trascorre fino al prossimo arrivo Risulta: ovvero: P(nessun arrivo in 0,t) Quindi la funzione di ripartizione di t 1 vale E quindi la distribuzione di probabilità vale:...che è una distribuzione esponenziale con media 1/λ (e zero altrove) ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 15

16 Il processo degli arrivi alla coda (5) Analogamente ha distribuzione esponenziale la variabile aleatoria intervallo di tempo fra due arrivi Poissoniani successivi L intervallo temporale tra un arrivo ed il successivo (tempo di interarrivo) sarà modellato matematicamente con una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa λ e λt Questa funzione rappresenta la frequenza normalizzata con cui si verificano tempi di interarrivo pari a t λ =0,5 arrivi al secondo Valor medio: 1/λ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 16

17 Il processo degli arrivi alla coda (6) Proprietà di non memoria P[intervallo di tempo fino al prossimo arrivo t0 + t intervallo di tempo fino al prossimo arrivo > t0] ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 17

18 Il processo di servizio In generale i serventi possono essere più di uno Per semplicità si considereranno sempre sistemi a singolo servente Occorre conoscere anche il tempo che il servente impiega per servire un cliente (tempo di servizio) Se il processo di servizio obbedisce alla Legge di Poisson, il tempo di servizio è una variabile casuale descritta da una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa, con valore medio Ts La variabile µ indica il numero medio di utenti che il servente riesce a soddisfare nell unità di tempo (frequenza media di servizio): µ= 1/ Ts Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 18

19 Disciplina di servizio Vi sono diversi modi con cui un servente può soddisfare i suoi utenti: FIFO (First In First Out): servire per primo chi è arrivato per primo LIFO (Last In First Out): servire per primo chi è arrivato per ultimo (stack) SJF (Shortest Job First): servire per primo quello che richiede meno tempo per essere serviti PQ (Priority Queueing): servire per primo che ha più priorità più elevata... In seguito adotteremo il criterio del primo arrivato primo servito (FIFO) Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 19

20 Capacità della fila d attesa Per quanto riguarda la fila d attesa essa, nella realtà, ha capacità tutt altro che infinita (anche se a volte può sembrarlo!) Se però la capacità della coda è molto grande (L>>λ Ts), si può approssimare la trattazione al caso della fila d attesa con capacità infinita (più semplice da descrivere analiticamente) Si considereranno nel seguito solamente file d attesa aventi capacità infinita Popolazione Fila d attesa Servente N L m ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 20

21 Notazione formale (1) Notazione formale (notazione di Kendall) per esprimere le caratteristiche di un sistema a code M/M/m/L/N Il primo campo indica come sono distribuiti gli interarrivi dei clienti: M (memoryless) rappresenta una distribuzione esponenziale negativa (Poisson) G (general) indica che gli arrivi sono caratterizzati da una distribuzione di probabilità generale. In questo caso non si conosce l andamento della funzione distribuzione di probabilità degli arrivi, ma si conoscono solamente i momenti del 1 e del 2 ordine D (deterministic), indica che il processo degli arrivi è caratterizzato da una distribuzione di probabilità deterministica. Il secondo campo serve a rappresentare la distribuzione del tempo di servizio del servente ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 21

22 Notazione formale (2) Notazione formale (notazione di Kendall) per esprimere le caratteristiche di un sistema a code M/M/m/L/N Il terzo campo, m, è il numero di serventi presenti nel sistema considerato Il quarto campo, L, rappresenta la capacità massima della fila d attesa Il quinto campo, N, indica la numerosità della popolazione degli utenti In seguito si considereranno principalmente sistemi di tipo M/M/1/ / (M/M/1) Questi sistemi sono completamente descritti se si conosce il numero di utenti presenti in un dato istante in fila d attesa ed occupati col servente Il tempo che un cliente ha già trascorso nel servente non interessa, poiché la distribuzione esponenziale negativa non lo considera: si dice che non ha memoria ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 22

23 Applicazione alle telecomunicazioni (1) Elementi di Ritardo in una Rete di Telecomunicazione Processing Delay: tempo che trascorre tra quando il pacchetto è correttamente ricevuto al nodo di testa del link e quando esso viene assegnato alla coda di trasmissione di un link d uscita. Queueing Delay: tempo che trascorre tra l istante in cui il pacchetto è assegnato ad una coda per la trasmissione e l istante in cui il pacchetto inizia ad essere trasmesso. Transmission Delay: tempo che trascorre tra l istante in cui il primo e l ultimo bit del pacchetto sono spediti. Propagation Delay: tempo che trascorre tra l istante in cui l ultimo bit è spedito dal nodo di testa del link e l istante in cui esso è ricevuto dal nodo di coda del link. Questo tempo dipende dalle caratteristiche del mezzo trasmissivo, ed è proporzionale alla distanza che separa il sender dal receiver. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 23

24 Applicazione alle telecomunicazioni (2) Le considerazioni fatte nel caso generale si possono applicare alle reti di telecomunicazioni a commutazione di pacchetto i clienti sono i pacchetti generati da uno o più elementi di rete (host, router,...) il servente è rappresentato dall interfaccia di uscita di un nodo di rete che inoltra i pacchetti su una linea di trasmissione in sede di calcolo si dovrà considerare il tempo di servizio dovuto alla capacità della linea i ritardi di processing e di propagation vengono normalmente trascurati Interfaccia ingresso SWITCHING MATRIX ROUTER Interfaccia uscita Capacità linea (C) Processing Delay Queuing Delay Transmission Delay Propagation Delay ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 24

25 Applicazione alle telecomunicazioni (3) Se nella coda non sono segnati i posti per gli utenti, intenderemo che il sistema è del tipo a coda infinita La lunghezza dei pacchetti, essendo una variabile casuale con distribuzione esponenziale negativa, ha un valore medio pari a [bit] ~ l Nota la capacità C della linea [bit/s], si può calcolare il tempo medio di servizio del trasmettitore come: ~ l [ s] C Il numero medio di pacchetti processati nell unità di tempo dal trasmettitore è: C ~ l [ 1 s ] ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 25

26 Sistemi di nascita e morte Assumiamo come variabile di stato S(t) del sistema il numero di pacchetti presenti nel sistema (coda+trasmettitore) all istante t Se il sistema non contiene alcun pacchetto, si dice che è nello stato 0 (zero) Se ora arriva un pacchetto il sistema passa dallo stato 0 allo stato 1 Quando il pacchetto viene trasmesso, il sistema ritorna nello stato 0 Un sistema in cui le sole transizioni di stato possibili sono quelle che portano a stati adiacenti viene chiamato sistema di nascita-morte ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 26

27 Diagramma degli stati Probabilità stazionaria p k è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k diamo una definizione intuitiva del concetto di probabilità p k rappresenta la frazione di tempo che il sistema trascorre nello stato k nel corso di un periodo di osservazione molto lungo p k indica analogamente la frequenza relativa (normalizzata) in cui il sistema viene osservato nello stato k in un gran numero di ispezioni casuali Frequenze di transizione La frequenza con cui il sistema passa dallo stato k allo stato k+1 è λ p k Analogamente, la frequenza con cui il sistema transita dallo stato k+1 allo stato k è µ p k+1, in cui p k+1 è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k+1 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 27

28 Principio di bilanciamento dettagliato Affinché il sistema sia stabile, cioè la sua coda non cresca indefinitamente, la frequenza di transizione dallo stato k allo stato k+1 dev essere uguale alla frequenza di transizione da k+1 a k (Principio di bilanciamento dettagliato) Quindi λ p k =µ p k+1, cioè ad esempio: si può ricavare p 2 in funzione di p 0 ottenendo: Generalizzando: λ p = µ p 0 1 λ p = µ p 1 2 λ p2 = p1 = p λ µ µ k k pk = p p λ = ρ µ λ p 0 p 1 p µ µ µ λ λ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 28

29 Condizione di stabilità ρ = λ/ µ prende il nome di intensità di traffico o carico del sistema, perché indica la frazione di tempo per cui il servente è occupato es.: λ =1, µ =2 ρ =0,5, cioè per il 50% del tempo il servente sta lavorando e per il restante 50% è inattivo ρ è in misurato in Erlang Se λ > µ il sistema si dice instabile, in quanto il servente soddisfa mediamente meno utenti di quanti ne arrivano Occorrerà quindi che, affinché un sistema possa funzionare, λ sia sempre minore di µ Affinché λ < µ (sistema stabile), ρ <1 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 29

30 Distribuzione di probabilità stazionaria Poiché la somma delle probabilità (frequenze normalizzate) deve essere 1: k = 0 k 1 pk = ρ p0 = p0 = 1 1 ρ k = 0 dato che la sommatoria di ρ k costituisce una serie geometrica di ragione ρ <1 In definitiva abbiamo che: p 0 =1-ρ e quindi: p k =ρ k (1-ρ) ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 30

31 Occupazione media del sistema Il numero medio di pacchetti nel sistema (N) sarà quindi: d d N = kp = k = k = = dρ ρ ρ ρ dρ Poiché: d dρ risulta: N = k k k ( 1 k ) ( 1 1 ρ ρ ρ ) ρ ρ ( 1 ρ ) ρ ( 1 ) k = 0 k = 0 k ρ = ( 1 ) k = 0 d 1 1 = dρ 1 ρ ρ ( ρ ) ( 1 ) 1 ρ ρ ρ = ρ 2 k = 0 k = 0 k = 0 k ρ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 31

32 Occupazione media del servente e della coda Il numero medio di pacchetti che il trasmettitore sta processando (N T ) equivale alla frazione di tempo in cui il servente non sia vuoto, cioè: N T =ρ Il numero medio di pacchetti in attesa di essere processati (N A ) può essere calcolato come il numero totale di pacchetti nel sistema meno il numero di pacchetti nel trasmettitore, cioè: N A = 2 ρρ ρ ρ 1 = 1 ρ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 32

33 Principio di Little (1) Per conoscere il tempo medio di transito nel sistema (coda + trasmettitore), dobbiamo applicare un equazione dimostrata per la prima volta da D. C. Little nel 1961 Spiegazione intuitiva: si indichi con T il tempo medio trascorso da un utente nell intero sistema (cioè l intervallo di tempo che intercorre tra l arrivo e l uscita dal sistema di un pacchetto) Il numero medio di arrivi di nuovi pacchetti durante l intervallo T è λ T Poiché il numero medio di pacchetti nel sistema è N, si ha N= λ T (Principio di Little) Il Principio di Little, può essere utilizzato per calcolare T: ρ 1 N 1. T = = ρ µ 1 = = λ λ 1 ρ µ λ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 33

34 Principio di Little (2) Il principio di Little può essere applicato a qualsiasi superficie chiusa, permettendoci di ricavare altri parametri interessanti del sistema tempo medio di transito nella fila d attesa (T A ) in questo caso N A è il numero medio di pacchetti in coda, quindi: T A 2 ρ N A 1 = = ρ ρ = λ λ µ λ tempo medio di transito nel trasmettitore (T T ) T T NT ρ 1 = = = λ λ µ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 34

35 Dimensionamento del servente Il Principio di Little consente di dimensionare una sistema di trasmissione Sostituendo a µ la sua espressione in funzione della capacita ~ C della linea di trasmissione e della lunghezza media l dei pacchetti si ottiene: T ~ 1 l = = 1 = C ~ µ λ λ C λl ~ l ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 35

36 Sistema a coda M/M/S/S/ (1) Ipotesi: tempi di interarrivo con distribuzione esponenziale negativa (λ); tempi di servizio con distribuzione esponenziale negativa (µ); processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti. S serventi, statisticamente identici ed indipendenti; capacità nulla della fila d attesa. Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,..., S} λ λ λ λ λ S-1 S... µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 36

37 Sistema a coda M/M/S/S/ (2) Scrivendo gli equilibri ai tagli si ha: E più in generale: λ λ λ λ λ S-1 S... µ 2µ 3µ (S-1)µ Sµ ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 37

38 Sistema a coda M/M/S/S/ (3) Applicando la condizione di normalizzazione si ottiene: Nessuna nuovo ingresso è accettato quando il sistema ha tutti gli S serventi occupati. Pertanto la probabilità di blocco del sistema è la probabilità di avere il sistema nello stato S FORMULA DI ERLANG B ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 38

39 Esercizi ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 39

40 Esercizio 1 Si consideri un sistema con N terminali, ognuno dei quali genera λ=2 pacchetti al minuto. Si vuole accedere ad un database remoto raggiungibile da una rete a cui si accede tramite un multiplatore che trasmette a bps. si supponga che i pacchetti abbiano una distribuzione esponenziale negativa con una lunghezza media 1024 bit. Si supponga inoltre che la lunghezza della fila d attesa sia infinita. Si calcoli: a) il numero massimo di terminali affinché il sistema sia stabile; b) il numero massimo di terminali affinché il ritardo d attraversamento dell intero sistema (multiplatore + linea di trasmissione) sia inferiore a 0,1 s. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 40

41 Esercizio 2 Supponiamo di essere in un supermarket in cui entrano 10 clienti al minuto, e supponiamo che una cassiera riesca a smaltire un cliente ogni 2 minuti. Quante casse devo predisporre per fare in modo che il tempo medio di attesa globale (compreso il tempo di servizio) sia inferiore a 5 minuti? Per ridurre il numero di casse posso introdurre delle casse rapide. Supponiamo che il 30 % dei clienti acquisti pochi articoli e che, quindi, ognuno di questi clienti abbia bisogno di 0.5 minuti per essere servito su una cassa veloce per la quale si vuole fare in modo che il tempo di servizio sia inferiore o uguale 4 minuti. Quante sono le casse complessivamente? Quante le casse veloci? ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 41

42 Esercizio 3 Si consideri un multiplexer che raccoglie traffico formato da messaggi con intertempi di arrivo a distribuzione esponenziale negativa. Il multiplexer è formato da un buffer e da una linea di trasmissione in uscita. Il tempo di trasmissione di un messaggio sulla linea è anch esso a distribuzione esponenziale negativa con valor medio di 10ms. Da misure effettuate sul buffer si ricava che la probabilità che esso sia vuoto è pari a 0,8. Ricavare il ritardo medio di trasmissione di un messaggio. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 42

43 Esercizio 4 Si consideri la rete in figura. Essa è costituita da tre router R1, R2 e R3. Il traffico in ingresso a R1 e R2 ha una distribuzione esponenziale con tasso di arrivo λ 1 =λ 2 =20 pacchetti/secondo. I pacchetti vengono inoltrati al router R3, che procede ad una verifica di correttezza e ne scarta una frazione 2α equamente ripartita sul traffico proveniente da R1 e da R2 e ne richiede quindi la trasmissione a R1 e R2. I tre router hanno tempi di trasmissione esponenziali, con tasso medio, espresso in pacchetti al secondo, rispettivamente di µ1=30, µ2=40, µ3=60. Quale valore massimo può assumere α affinché il sistema sia stabile? Supponendo α=0,1, calcolare il tempo di attesa medio trascorso da un pacchetto nel sistema. R1 R2 N1 R3 ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 43

44 Esercizio 5 Si consideri il collegamento tra due stazioni S e D che attraversa 2 link in cascata (come illustrato nella Figura seguente). La sorgente S genera ad intervalli casuali pacchetti con lunghezza media pari L =4000 bit. I link sono caratterizzati da un tasso d'errore sul pacchetto e1=1% sul Link 1, e2=10% sul Link 2. Le velocità di trasmissione sui link sono rispettivamente C1=48000 bit/s sul Link 1 e C2=52000 bit/s sul Link 2. Si assuma che sia applicabile all analisi il modello di reti di code M/M/1. S Link1 X Link2 D PARTE 1 Sul Link 1 è implementato il controllo e recupero degli errori di trasmissione (tra i nodi S e X), mentre sul Link 2 (tra i nodi X e D) non vi è nessun controllo. Fra la sorgente S e destinazione D viene implementato un meccanismo di controllo e recupero degli errori end-to-end, quindi se alla destinazione D il pacchetto giunge errato, questo deve essere ritrasmesso da parte della sorgente S. a) Si illustri graficamente il modello a code che descrive il sistema, indicando il valore delle grandezze di interesse per la valutazione delle prestazioni (in particolare, i flussi di traffico entranti e uscenti da ogni sottosistema). b) Si calcoli il traffico limite smaltibile tra S e D in condizioni di stabilità, descrivendo il procedimento seguito. PARTE 2 Si ipotizzi ora che anche sul Link 2 (cioe tra X e D) venga implementato un meccanismo di controllo e recupero degli errori di trasmissione. a) Si illustri graficamente il modello a code che descrive il sistema, indicando il valore delle grandezze di interesse per la valutazione delle prestazioni (in particolare, i flussi di traffico entranti e uscenti da ogni sottosistema). b) Si calcoli il traffico limite smaltibile tra S e D in condizioni di stabilità, descrivendo il procedimento seguito. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 44

45 Esercizio 6 Si consideri un centralino telefonico che raccoglie le chiamate di una grande azienda in cui si hanno 1000 utenze telefoniche, ciascuna generante un traffico di Poisson di 30mErlang. a) Dimensionare il numero di linee telefoniche per collegarsi alla Rete Telefonica Pubblica in modo da garantire una probabilità di blocco delle chiamate minore o uguale al 3% (si faccia uso della tabella allegata). b) Cosa succede al numero di linee in uscita, volendo mantenere la probabilità di blocco inferiore o uguale al 3%, se il numero di utenze telefoniche aumenta a 1300? c) Si confronti l incremento percentuale di traffico offerto con l incremento percentuale di linee che ne risulta. ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 45

46 n Loss probability (E) n ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 46

47 n Loss probability (E) n n Loss probability (E) n ESERCITAZIONE: VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 47