Reti di Telecomunicazioni. Sistemi a coda M/M/1

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1 Reti di Telecomunicazioni Sistemi a coda M/M/1 Ing. Francesca Lo Piccolo francesca.lopiccolo@uniroma2.it Un ringraziamento particolare al Prof. Andrea Detti, autore delle presentazioni da cui è stata tratta la maggior parte delle seguenti slide 1

2 Sistema M/M/1 λ... 1/µ M Il processo di arrivo degli utenti è caratterizzato da tempi di interarrivo con distribuzione esponenziale negativa con ritmo/frequenza medi λ [sec -1 ] λ M Il processo di servizio è caratterizzato da tempi di servizio con distribuzione esponenziale negativa con ritmo/frequenza medi µ [sec -1 ], ossia tempo medio di servizio T s 1/µ [sec] 1 1 solo servente Coda con capacità infinita (mai perdite!!!!) Popolazione di utenti di cardinalità infinita 2

3 Evoluzione di un sistema M/M/1 λ... 1/µ Si assume come stato che caratterizza l evoluzione del sistema il numero di utenti nel sistema all istante t N(t)» poiché N(t) può assumere qualunque valore intero, il sistema è caratterizzato da infiniti stati N(t) tempi di interarrrivo arrivi partenze tempi di servizio τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 τ 7 τ 8 θ θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 θ 5 θ 6 θ 7 θ 8 t 3

4 Sistema M/M/1 in regime stazionario Per ogni stato k si definisce probabilità di stato la probabilità che il numero di utenti nel sistema all istante t N(t) sia uguale a k In generale le probabilità di stato sono funzione dell istante di tempo considerato Un sistema M/M/1 raggiunge uno stato stazionario se le probabilità di stato sono indipendenti dall istante di tempo t considerato π k P(N(t)k) k,1,2, 4

5 Rappresentazione grafica di un sistema M/M/1 in regime stazionario λ λ λ λ λ λ k-1 k k+1... µ µ µ µ µ ogni cerchio rappresenta un possibile stato del sistema ogni freccia rappresenta una transizione di stato il valore numerico associato ad ogni freccia rappresenta la frequenza media di transizione di stato» intuitivamente, ogni volta che un utente arriva al sistema, il che accade con frequenza media λ, lo stato del sistema si incrementa di un unità» analogamente, ogni volta che un utente esce dal sistema, il che accade con frequenza pari a µ, lo stato del sistema si decrementa di un unità 5

6 Sistema M/M/1: distribuzione di π k Dato il generico stato k, si definisce flusso di probabilità uscente il prodotto tra la probabilità di statoπ k e la somma delle frequenze di transizione uscenti. Si definisce, invece, flusso di probabilità entrante la somma dei prodotti tra le frequenze di transizione entranti e le probabilità degli stati da cui hanno origine le transizioni. Si dimostra che in regime stazionario il flusso di probabilità si conserva, ossia il flusso di probabilità entrante eguaglia sempre il flusso di probabilità uscente λ λ λ λ λ λ k-1 k k+1... λπ µπ µ µ µ µ µ 1 λ λπ + µπ ( λ + µ ) π, k 1 π π µ k 1 k+ 1 k k+ 1 k 6

7 Distribuzione di π k in un sistema M/M/1 Distribuzione di π k in un sistema M/M/1 1, : ha si Ponendo π ρ π ρπ π µ λ ρ k k k k + 7 Imponendo che la somma delle probabilità π k sia 1 ) ( ρ ρ π ρ π ρ π ρ π ρ π π k k i i i i i i ρ <1

8 Sistema senza perdite: legge di Little (1) λ N(t) T(k) N(t) è il numero di utenti presenti nel sistema all istante t T(k) è il tempo che l utente k-esimo ha impiegato all interno del sistema λ è la frequenza media di arrivo al sistema (e di uscita dallo stesso, considerando che non si hanno perdite) E(N) è il numero medio di utenti nel sistema E(T) è il tempo medio di attraversamento del sistema 8

9 Sistema senza perdite: legge di Little (2) λ N(t) T(k) In condizioni di equilibrio statistico, in un qualunque sistema senza perdite E(N) λ E(T) Il numero medio di utenti nel sistema è uguale al prodotto della frequenza media di arrivo per il tempo medio di attraversamento 9

10 Legge di Little La legge di Little si applica anche ai casi deterministici Una linea di autobus effettua una partenza ogni 1 minuti Il percorso dura 1 ora. Quanti autobus sono contemporaneamente in viaggio? N λt 1/1 (min -1 ) 6 (min) 6 autobus Una seggiovia ha 16 seggiolini (8 in salita e 8 in discesa). Passano 15 secondi tra un seggiolino e il successivo. Quanto dura il percorso? T N / λ 8 / 4 (min -1 ) 2 minuti 1

11 Carico o coefficiente di utilizzazione in un sistema M/M/1 Riepilogando k ( ( ) ) k π P N t k ρ (1 ρ), ρ<1 λ<µ La condizione su ρ garantisce la convergenza della sommatoria delle probabilità di stato. La stessa condizione può essere ricavata, considerando che per la legge di Little il numero medio di serventi occupati è: E(S) λ E(T s ) λ 1/µ Dato che il servente è unico, E(S) deve essere minore di 1 e ρ rappresenta proprio il carico o coefficiente di utilizzazione della coda M/M/1 11

12 Ancora sul numero di serventi impegnati E possibile calcolare anche in un altro modo il numero medio di serventi impegnati: E ( S ) P( S ) + 1 P( S 1) ( 1 π ) ( 1 ( ρ) ) ρ 1 1 come ci aspettavamo 12

13 Numero medio di utenti in un sistema M/M/1 ( ) k ( ) ( ) k 1 E N kπ kρ 1 ρ 1 ρ kρ ρ k k k k 1 d d 1 ( ) ( ) k 1 dρ dρ 1 ρ 1 ρ ( 1 ρ) ρ 1 ρ 1 ρ k (1 ρ) ρ ρ 1 ρ ρ 1 13

14 E(N) in funzione del carico E ( N ) ρ 1 ρ E(N N) Carico 14

15 Tempo di attesa in un sistema M/M/1 Per tempo medio di attesa nel sistema si intende il tempo medio trascorso in attesa in coda ed in servizio. Si può utilizzare per calcolarlo la legge di Little E N λe T ( ) ( ) E T ( ) E ( N) ρ 1 1 λ λ ( 1 ρ ) µ ( 1 ρ) 1 µ λ 15

16 E(T) in funzione del carico 25 E ( T ) 1 1 µ 1 ρ 2 E(T) / E(Ts) Carico 16

17 Distribuzione del ritardo in un sistema M/M/1 È possibile valutare analiticamente la distribuzione (densità di probabilità) dei tempi di attesa di un sistema M/M/1 Tale calcolo, che utilizza la trasformata di Laplace della densità di probabilità del tempo di servizio, si omette. Il risultato è f T ( ) ( ) ( 1 ρ ) µ t t 1 ρ µ e Il tempo di attesa ha una distribuzione esponenziale negativa con ritmo (1-ρ)µ. Come già visto il tempo medio di attesa è 1 / (µ(1-ρ)). 17

18 Distribuzione del ritardo in un sistema M/M/1 La distribuzione di probabilità del tempo di attesa T è quindi F T ( ) ( 1 ρ ) µ t t 1 e Si definisce percentile r del ritardo il ritardo d r al di sotto del quale corrisponde una frazione di utenti pari a r%, ossia il valore d r del ritardo tale che Prob < r { T d } Prob{ } r T > d 1 1 r 1 r 18

19 Distribuzione del ritardo in un sistema M/M/1 Da cui si ricava dr 1 e e ( 1 ρ ) ( ρ ) µ 1 d r r µ 1 r 1 ( ) ( ) 1 ρ µ d log 1 r d r d r 1 r log 1 r 1 1 µ 1 ρ 1 19

20 Ipotesi per applicare M/M/1 al multiplatore statistico SORG. 1 Multiplatore statistico SORG. 2 MUX CANALE DI USCITA SORG. M I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti sono rappresentabili mediante processi di Poisson I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono indipendenti tra loro Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione esponenziale negativa e sono indipendenti tra loro ll processo di ingresso complessivo è indipendente dal processo di servizio Modello M/M/1 adeguato nel caso di M>>1 (ipotesi di Kleinrock) 2