Sistema a singolo servente

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1 Sistema a sgolo servente Servente Cliente arrivo Clienti coda Cliente servizio Cliente uscita empi di terarrivo A, A 2, v.a. IID (i.e., hanno la stessa funzione di distribuzione e sono dipendenti) empi di servizio S, S 2, v.a. IID (dipendenti dagli A i ) Coda FIFO

2 Sistema a sgolo servente Servente Cliente arrivo Clienti coda Cliente servizio Cliente uscita Stato iziale: coda vuota e servente libero Criterio di arresto: siano trascorsi = 8,6 m. Osservazione: il numero n di clienti serviti è una v.a. dipendente dai valori osservati degli A i e S i

3 Misure di prestazione I: attesa media coda d Un sgolo run della simulazione restituisce un certa attesa media coda degli n clienti osservati. ale valore dipende dalle sequenze di numeri casuali A i e S i generati. Un diverso run produce, generale, un diversa attesa media. Qudi, l attesa media su un sgolo run è essa stessa una v.a. associata ai possibili esiti dell esperimento sgolo run. Il nostro obiettivo è ottenere una stima del valor medio della v.a. attesa media coda. Intuitivamente, d (fito) di run si ottiene dalla media di un numero elevato

4 Stima di d Stima da un sgolo run: ritardi osservati D, D 2,, D n dˆ n i= = n D i D, D 2,, D n non sono IID (e.g. può essere D =, D 2 >). d è una statistica tempo-discreta (discrete-time) quanto è misurata rispetto al numero di clienti (che è una quantità discreta). L unità di misura è il tempo.

5 Misure di prestazione II: lunghezza media della coda Q diverso da d quanto calcolato lungo un periodo di tempo contuo e non sull sieme (discreto) dei clienti (contuous-time o timebased statistic). Quantità adimensionata. Defizione: Q = i= ip i+ ( ) Q è la media pesata dei possibili valori i della lunghezza della coda dopo che sia trascorso un tempo

6 Stima di Q Una stima di Q da una simulazione si ottiene dalle stime delle probabilità p i () Qˆ = ipˆ ( cui pˆ i ( Calcolo di Allora: pˆ pˆ i+ i ) Qˆ = ( ) ( ) + i= i+ ) ˆ ( ) è la proporzione osservata durante la simulazione = i pˆ ( ) empo di simulazione empo totale durante la simulazione cui la coda ha lunghezza i = i... Qˆ = i i i= = p i q( t) dt

7 3,5 q(t ) Esempio 3 2,5 2,5,5 arrivi,4,6 2, 3,8 4, 5,6 5,8 7,2 partenze 2,4 3, 3,3 4,9 8,6= 6

8 3,5 q(t ) Esempio 3 2,5 2,5,5,6 2, 2,4 3, 3,3 3,8 4. 4,9 5,6 5,8 7,2 8,6= 6,4 = (.6.) + (4. 3.) + ( ) = 3.2 = (2..6) + (3. 2.4) + (4.9 4.) + ( ) = 2 = (2.4 2.) + ( ) =.7 3 = ( ) =.4 2.3

9 Esempio 3,5 q(t ) 3 2,5 2,5,5,6 2, 2,4 3, 3,3 3,8 4. 4,9 5,6 5,8 7,2 8,6= 6,4 = 3.2 = =. 7 3 =. 4 ii ˆ i= ( 3.2) + ( 2.3) + (2.7) + (3.4) Q = = =.5 8.6

10 3,5 3 2,5,5,5 q( t ) 2 Esempio ( 2.3) ( 2.7) ( 3.4) ii ˆ i= ( 3.2) + ( 2.3) + (2.7) + (3.4) Q = = = La somma a numeratore cocide con l area sotto q(t ) Qˆ q( t) dt =

11 Misure di prestazione III: fattore atteso di utilizzo del servente ρ proporzione attesa del tempo [, ] cui il servente è occupato ( ρ ) da un sgolo run: proporzione osservata del tempo cui il servente è stato occupato Defizione geometrica (media tempo contua): ˆρ B( t) dt = Bt ()= servente occupato al tempo t altrimenti Misura utilizzata nell dividuazione di colli di bottiglia reti con diversi serventi

12 B(t ) Esempio,4,6 2, 2,4 3, 3,3 3,8 4. 4,9 5,6 5,8 7,2 8,6= 6 arrivi partenze Coda vuota

13 B(t ) Esempio,6 2, 2,4 3, 3,3 3,8 4. 4,9 5,6 5,8 7,2 8,6= 6,4 (3.3.4) + ( ) ˆ = = 8.6 ρ.9

14 Risultati osservati vs. valori teorici Dati (sistema M/M/): tempo di terarrivo: Exp() tempo di servizio: Exp(.5) λ = tasso di arrivo µ = 2 tasso di servizi n = Risultati di run vs. valori teorici: ˆ =.43 d Qˆ =.48 ˆ ρ =.46 d =.5 Q =.5 ρ =.5 Osservazioni: I risultati dipendono dalla sequenza di numeri casuali (A i, S i ) generati. Qudi, i risultati non rappresentano La risposta ma una stima dei valori attesi delle quantità di teresse. I risultati dipendono da e dallo stato iziale (sistema vuoto, servente libero).