PEREQUAZIONE CON LEGGI DI SOPRAVVIVENZA

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1 Siano PEREQUAZIONE CON LEGGI DI SOPRAVVIVENZA qˆ, = a, a +, K, ω le stime delle probabilità di morte q, = a, a +, K, ω, di un modello di sopravvivenza non parametrico ottenute secondo un approccio di stima di tipo non parametrico. Tali stime presentano usualmente delle irregolarità spesso imputabili alla limitata numerosità della popolazione, in particolare in alcune classi di età. Tali irregolarità possono essere rimosse mediante opportune procedure di perequazione. Due obiettivi sono alla base della scelta di una procedura di perequazione: la regolarità (o smoothness) delle stime perequate al variare dell età; l accostamento (o goodness of fit) delle stime perequate alle stime originali. 83

2 La perequazione con leggi di sopravvivenza o perequazione analitica consiste nel sostituire alle stime iniziali le stime ottenute mediante un modello analitico di mortalità (per es. il modello di Gompertz). Il procedimento di perequazione analitica si articola in due fasi:. verifica (mediante analisi grafica) della possibilità di accostamento fornita dalla legge di sopravvivenza considerata. stima dei parametri della legge di sopravvivenza scelta Analisi grafica di modelli di sopravvivenza Si devono individuare dei legami di tipo lineare, per esplorare mediante grafici le possibilità di accostamento del modello ai dati. 84

3 Modello di Gompertz Si ha ( ) β e µ = > 0 β > 0 > 0 ( ) = log β log µ + Si considera allora il grafico dei punti ( log ˆ ), = a, a +, K, ω m essendo mˆ le stime delle intensità istantanee di mortalità ottenute in un approccio non parametrico; se il grafico dei punti presenta un andamento approssimativamente lineare, il modello di Gompertz si presta a descrivere la mortalità nella collettività in esame. Il coefficiente angolare e l intercetta della retta interpolante forniscono delle stima preliminari per i parametri > 0 e β > 0 85

4 Un altro legame lineare può essere ottenuto considerando le probabilità di sopravvivenza p Dalla S β ep 0, si ha ( ) = ( e ) p = S ( + ) S( ) = β ep ( e ) e e quindi log ( log ) = log ( e ) p β + Si considera allora il grafico dei punti ( log( log ˆ )), = a, a +, K, ω p Il coefficiente angolare e l intercetta della retta interpolante forniscono delle stima preliminari per i parametri > 0 e β > 0 86

5 Un altro grafico che può indicare se il modello di Gompertz si presta a descrivere la mortalità nella collettività in esame è il seguente infatti log pˆ, + = a, a +, K, ω log pˆ log p + log p = e quindi se i punti del grafico hanno un andamento approssimativamente costante, il modello di Gompertz potrebbe essere adatto. 87

6 Modello di Makeham Si ha ( ) δ β e µ = + > 0 β > 0 δ > 0 > 0 log Se il grafico dei punti ( ) + ( µ ( + ) µ ( ) ) = log β ( e ) (, log( ˆ ˆ )) m m + a, a +, K, = ω presenta un andamento approssimativamente lineare, il modello di Makeham si presta a descrivere la mortalità nella collettività in esame. Il coefficiente angolare e l intercetta della retta interpolante forniscono delle stima preliminari ˆ e βˆ per i parametri e β,rispettivamente. Per una stima preliminare di δ si può considerare una media delle quantità mˆ ˆ β e ˆ = a, a +, K, ω 88

7 Un altro legame lineare può essere ottenuto considerando le probabilità di sopravvivenza p Dalla si ha S β ep 0 ( ) = ( e ) δ ( + ) S( ), ( e ) e S β p = = ep δ Indicato con log p = log p + log p si ha log p + = log p Se il grafico dei punti e log pˆ +, = a, a +, K, ω log pˆ presenta un andamento approssimativamente costante, il modello di Makehanm si presta a descrivere la mortalità nella collettività in esame. 89

8 Come stima preliminare di si può considerare il logaritmo della media di valori log pˆ + = a, a +, K, ω log pˆ log p = log p p β e + log = Dalla ( ) si individua come stima preliminare di β la media dei seguenti valori log pˆ ˆ = a, a +, K, ω ˆ ˆ ( e ) e Infine, dalla β log p = ( e ) e δ Si ottiene come stima preliminare di δ la media dei seguenti valori ˆ β ˆ ˆ ˆ ( e ) e log pˆ e = a, a +, K, ω 90

9 Altre formule di perequazione utilizzate in ambito attuariale ALTRE FORMULE DI PEREQUAZIONE UTILIZZATE IN AMBITO ATTUARIALE Formula di Barnett q q = A + H + B c A, H, B, c > 0 Le quantità sono dette odds. q q Formula di Wilkie q q = ep ( pol( ) ) dove pol () è un polinomio in, spesso lineare o di grado 9

10 Altre formule di perequazione utilizzate in ambito attuariale Tali espressioni, che esprimono legami funzionali tra gli odds e le età, possono essere viste come formule perequative che costituiscono casi particolari della seguente espressione più generale: Formula Gompertz-Makeham di tipo ( r, s) GM r, s r i= r i i r ( ) = + ep i= dove r e s sono interi positivi i r+ s i + (, K,,,, ) = è un vettore di coefficienti, r r+ K r+ s Se r = 0 si ha solamente il termine esponenziale GM 0, s i= i ( ) = ep s i Se s = 0 si ha solamente il termine polinomiale GM r,0 r ( ) = i= i i 9

11 Altre formule di perequazione utilizzate in ambito attuariale 0, Se ( r, s) = ( 0, ) si ha ( ) = ep( + ) GM e si trova quindi una formula di tipo Gompertz GM 0, ( ) = ep( + ) = e e = β e, Se ( r, s) = (, ) si ha ( ) = + ep( + ) GM 3 e si trova quindi una formula di tipo Makeham GM, ( ) ( ) 3 = + ep + = + e e = δ + β e, Se ( r, s) = (, ) si ha ( ) = + + ep( + ) e si trova quindi una formula di tipo Barnett, 3 GM 3 4 ( ) ( ) 3 = + + ep + = + + e e 4 = A + H BC GM i= 0, n i Se ( r, s) = ( 0, n) si ha GM ( ) = ep e si trova quindi la formula di Wilkie. n i 93

12 Stima dei parametri di una formula di perequazione STIMA DEI PARAMETRI DI UNA FORMULA DI PEREQUAZIONE Dopo avere individuato una legge di sopravvivenza adatta a descrivere la mortalità nella collettività, oppure una formula adatta per perequare le stime iniziali qˆ oppure si devono stimare i parametri. Metodo dei minimi quadrati min, β, K mˆ = a, a +, K, ω ω = = a F (, β, K) con F(, β, K ) w [ uˆ f ( ;, β, K) ] essendo n w = nel caso di minimi quadrati pesati, con n esposizione nella classe di età qˆ û una opportuna trasformazione dei qˆ oppure degli mˆ tale che la funzione f sia lineare nei parametri del modello; infatti se f è lineare, le stime dei minimi quadrati dei parametri si ottengono agevolmente risolvendo un sistema lineare. 94

13 Stima dei parametri di una formula di perequazione Per esempio, nel caso del modello di Gompertz si ha ( ) = log β log µ + Quindi si può considerare il seguente problema log β + min ω w, log mˆ β = a Si noti che, poiché mˆ ha il significato di stima dell intensità istantanea di mortalità costante nella classe di età ], +], dovendo attribuirla ad una precisa età nella classe ], +] si considera l età + Metodo della massima verosimiglianza Tratteremo la stima dei parametri mediante il metodo della massima verosimiglianza nell ambito dei GLM. 95