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1 APPUNTI Impostazione Assiomatica 1) Completezza e coerenza. oppure o ancora. se e allora 2) Monotonicità se e solo se 3) Continuità, esiste un tale che 4) Indipendenza 5) Riduzione è la probabilità totale di ottenere. dove:,, : distribuzioni di probabilità; : l insieme delle distribuzioni di probabilità; : distribuzione degenere che offre con certezza il risultato migliore ; : distribuzione degenere che offre con certezza il risultato migliore ;,, : probabilità comprese tra 0 e 1; o e : simboli per indicare come sono fatte le distribuzioni (e non operazioni). 1

2 Teoria dell utilità attesa: Funzione di utilità e atteggiamento verso il rischio Se l ordinamento delle preferenze dell individuo rispetta gli assiomi, allora può essere rappresentato mediante funzione di utilità continua. Ha solo funzione di descrizione delle preferenze. A rilevare è solo il suo carattere ordinale. se e solo se 1) Avversione al rischio Pertanto: Il che equivale alla concavità della funzione di utilità. u Quadrante A) p 1 w 1 +(1-p 1 )w 2 < u[p 1 (w 1 )+(1-p 1 )(w 2 )] U(w) E[U(w)] Quadrante B) E[u(w)] < u[e(w)] u(w 1 ) A 2 u(w 2 ) A 2 u(w*)=u[p 1 (w 1 )+(1-p 1 )(w 2 )] u[e(w)] u*=p 1 u(w 1 )+(1-p 1 )u(w 2 ) A* E[u(w)] A* u(w 2 ) A 1 u(w 1 ) A 1 w 1 w*=p 1 w 1 +(1-p 1 )w 2 w 2 Figura x. Funzione di utilità concava e avversione al rischio. w w 1 C(w) E(w) w 2 w 2

3 2) Propensione al rischio Pertanto: Il che equivale alla convessità della funzione di utilità. u Quadrante A) p 1 w 1 +(1-p 1 )w 2 > u[p 1 (w 1 )+(1-p 1 )(w 2 )] u(w) E[u(w)] Quadrante B) E[u(w)] > u[e(w)] u(w 1 ) A 2 u(w 2 ) A 2 u*=p 1 u(w 1 )+(1-p 1 )u(w 2 ) A* E[u(w)] A* u(x*)=u[p 1 (w 1 )+(1-p 1 )(w 2 )] u[e(w)] u(w 2 ) A 1 u(w 1 ) A 1 w 1 w*=p 1 w 1 +(1-p 1 )w 2 w 2 w w 1 E(w) w 2 w Figura x. Funzione di utilità convessa e per propensione al rischio. 3

4 3) Neutralità al rischio (o indifferenza al rischio) Pertanto: Il che equivale alla linearità della funzione di utilità. U Quadrante A) p 1 w 1 +(1-p 1 )w 2 = u[p 1 (w 1 )+(1-p 1 )(w 2 )] U(w) E[U(w)] Quadrante B) E[u(w)] = u[e(w)] U(w 2 ) A 2 U(w 2 ) A 2 u*=p 1 u(w 1 )+(1-p 1 )u(w 2 ) A* E[U(w)]=U[E(w)] A* u(w 1 ) A 1 u(w 1 ) A 1 w 1 w*=p 1 w 1 +(1-p 1 )w 2 Figura x. Funzione di utilità lineare e neutralità al rischio. w 2 W w 1 E(w) w 2 W 4

5 Misura dell avversione al rischio 1) Ccoefficiente di avversione assoluta al rischio (Absolute Risk Aversion (ARA)) Coefficiente di tolleranza assoluta al rischio 2) Coefficiente di avversione relativa al rischio (Relative Risk Aversion (RRA)) Coefficiente di tolleranza relativa al rischio 5

6 Le scelte di portafoglio: il criterio (approccio) media-varianza In questo contesto, l ottimizzazione delle scelte di portafoglio passa attraverso: la massimizzazione del valore atteso del rendimento del portafoglio; la minimizzazione della varianza (o della deviazione standard). Il rendimento atteso del portafoglio: : il rendimento del portafoglio, : il numero di asset in portafoglio, : il rendimento del k-esimo asset, : il peso del k-esimo asset in portafoglio in ragione della ricchezza in esso investita rispetto alla ricchezza generale investita nel portafoglio. In termini prospettici: La varianza del portafoglio: In presenza di soli due asset, la varianza del portafoglio è pari a: In presenza di tre asset, la varianza del portafoglio è pari a: In presenza di n asset: Separando le varianze dalle covarianze, si ha: 6

7 La matrice di covarianza: dove: La matrice delle covarianze pesate: La deviazione standard del portafoglio: La matrice di correlazione è la seguente: Utilizzando la matrice di correlazione, la varianza del portafoglio è pari a: La deviazione standard del portafoglio è pari a: 7

8 Scelta del Portafoglio Ottimo Processo in tre fasi: Fase 1: stima dei rendimenti attesi, delle varianze e delle covarianza degli asset in portafoglio in vista della stima del rendimento atteso e della varianza (e deviazione standard) del portafoglio; Fase 2: costruzione della frontiera efficiente; Fase 3: scelta del portafoglio ottimale in base alle preferenze dell investitore. Fase 1) Stima del rendimento atteso e della varianza (e deviazione standard) del portafoglio Il rendimento atteso del portafoglio: Il vincolo può anche essere espresso come completamento ad 1 di. In tal senso: la quota-parte di ricchezza investita nell asset 2 la quota-parte di ricchezza investita nell asset 1. o anche: Se si assume che l asset 2 ha media e varianza (e quindi deviazione standard) maggiori dell asset 1 (per cui e e quindi ), l equazione evidenzia: la dipendenza lineare del rendimento atteso del portafoglio dalla quota-parte di ricchezza investita nell asset 2 che presenta maggiore rischiosità ( e quindi ) inclinazione positiva della retta nel piano dal momento che l asset 2 ha un rendimento atteso maggiore dell asset 1. 8

9 µ p µ 2 α 2 µ 1 α α Per valori di e (linea tratteggiata in rosso) si hanno vendite allo scoperto dei due asset. La varianza del portafoglio in presenza di due asset, è pari a: Facendo ricorso al coefficiente di correlazione, si ha: o anche: Sviluppando e ponendo: ; ; si ha: Il vertice della parabola esprime il punto di minimo della varianza del portafoglio ed è pari a: 9

10 σ 2 p σ 2 2 α 2 α 1 σ α* 1 α Se la correlazione positiva tra i due asset è molto elevata, si ha che per cui gli effetti della diversificazione si perdono e il portafoglio di minima varianza può essere ricostruito solo mediante operazioni di vendite allo scoperto. σ 2 p σ 2 2 α 2 σ 2 1 α 1 α* 0 1 α 10

11 a) Correlazione nulla tra gli asset Lavarianza del portafoglio è pari a: b) Perfetta correlazione positiva tra i due asset La varianza del portafoglio è pari a: L argomento del quadrato è sempre positivo, per cui è possibile non considerare il quadrato: Da cui si ha: dove è negativo. c) Perfetta correlazione negativa tra gli asset La varianza del portafoglio è pari a: Per cui: Da cui: dove è positivo. 11

12 σ P σ 2 a 2 ρ=1 a 1 σ 1 α * ρ=-1 ρ=-1 0 α* α* 1 α 12

13 Fase 2) Costruzione della frontiera efficiente a) portafoglio composto da due soli asset rischiosi Asset 1 con peso pari a ; Asset 2 con peso pari a ; Asset 2 rendimento atteso maggiore dell Asset 1: ; Asset 2 ha varianza (e quindi deviazione standard) maggiore dell Asset 1: ;. Quota-parte di ricchezza investita nell Asset 2 è pari ad Quota-parte della ricchezza investita nell Asset 1 è, dunque, pari ad. Pertanto al variare del parametro si ottengono tutti i portafogli possibili data la combinazione dei due asset. Si osservi come: in presenza di sole posizioni di acquisto, e quindi in assenza di vendite allo scoperto, il parametro si muove nell intervallo per cui: ; in presenza di vendite allo scoperto, per valori di si vende allo scoperto l asset 1 per acquistare l asset 2, mentre per valori si vende allo scoperto l asset 2 per acquistare l asset 1. La Frontiera delle opportunità : Questo sistema esprime le equazioni parametriche di qualsiasi portafoglio ottenibile al variare del parametro. in quanto fornisce le coordinate di un Da cui: e quindi: dove: 13

14 µ P µ 2 α 2 A µ* α* µ 1 B α 1 0 σ 2 * σ 2 1 σ 2 2 σ 2 p La frontiera delle opportunità esprime tutti i possibili portafogli dati dalla combinazione dei due asset al variare del parametro nell intervallo. Questi portafogli si posizionano lungo la curva. Portafogli di minima varianza: La frontiera dei portafogli efficienti: tratto e Passando dalla varianza del portafoglio alla sua deviazione standard, si ha: µ P µ 2 a 2 µ R R Ρ = -1 Ρ = -0,5 Ρ = 0 Ρ = 0,5 Ρ = 1 Ρ = -1 µ 1 a 1 0 σ 1 σ 2 σ P 14

15 b) portafoglio composto da n asset rischiosi b.1) presenza di vendite allo scoperto, 15

16 µ P µ * 0 σ 2 * σ 2 P µ P µ * 0 σ * σ P b.2) Assenza di vendite allo scoperto Il problema non ammette soluzione analitica. La frontiera delle opportunità è ricavata mediante procedure numeriche. 16

17 c) portafoglio composto da n asset rischiosi e da un asset privo di rischio (risk-free) L investimento in un asset rischioso genera un attesa di rendimento maggiore rispetto al rendimento certo offerto del risk-free. Assumendo che gli investitori sono avversi al rischio, questa differenza esprime l extra-rendimento atteso per l investimento nell asset rischioso: Costruzione della frontiera efficiente in modo intuitivo: Si assuma di investire una parte della ricchezza pari ad nell asset risk-free e la quota residua pari a nel portafoglio A) composto esclusivamente da asset rischiosi appartenente alla frontiera efficiente. Assumiamo di costruire un portafoglio P) combinando l asset risk-free e il portafoglio A) contenente gli asset rischiosi. Il rendimento atteso di questo portafoglio è pari a: e sua deviazione standard è pari a: dove e sono rispettivamente il rendimento atteso e la deviazione standard del portafoglio A). E possibile esprimere il rendimento atteso del portafoglio P) in funzione della sua deviazione standard come segue: µ M µ P M Linea di efficienza Frontiera efficiente µ * R P* i N 0 σ * σ M σ P 17

18 In questo caso il rendimento atteso del portafoglio ottimale funzione della sua deviazione standard è pari a: Step 3) Scelta del portafoglio ottimale in funzione delle preferenze dell investitore µ µ' =ū µ =ū P M P P* 0 i N σ 18

19 µ p B-I B-I B-I A-I A-I A-I A B σ p 19