Esercitazione 26 Febbraio 2009

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1 Esercitazione 26 Febbraio 2009 Economia Monetaria (6058) Classe 14 5 marzo Esercizio (a) Considerate il modello della domanda di moneta per investimento della ricchezza. Supponete in particolare che il rendimento atteso del titolo rischioso sia E(i ) 0:05. Quale sara la frazione di ricchezza detenuta in moneta, nell ipotesi che lo scarto quadratico medio (SQM) del rendimento del titolo rischioso sia p 0:1, e che la funzione di utilità degli investitori sia data da: U(E(i A ); A ) E(i A ) ( A ) 2 Modello della domanda di moneta per investimento della ricchezza. La funzione di utilità dell investitore è: U(E(i A ); A ) E(i A ) ( A ) 2 (1) E(i ) 0:05 i M 0 p 0:1 Vogliamo calcolare, la quota di ricchezza investita in titoli (per di erenza, calcoleremo anche (1 ), la quota investita in moneta). Il rendimento atteso di portafoglio è: E(i A ) E(i ) + (1 )i M (2) Mentre lo scarto quadratico medio del portafoglio è: A (3) Sostituiamo il rendimento atteso (inserendo l equazione (2) e lo scarto quadratico medio (inserendo l equazione (3) nella funzione di utilità (1). La funzione di utilità può quindi essere riscritta come: U E(i ) + (1 )i M 2 ( ) 2 (4) Sostituiamo i dati a nostra disposizione nella (4): 1

2 U 0:05 2 0:1 Possiamo ora massimizzare l utilità dell individuo, rispetto ad : max 0:05 2 0:1 Calcoliamo la derivata della funzione di utilità rispetto ad e la poniamo pari a zero (condizione del primo ordine): du d 0:05 2 0:1 0 ) 0:05 2 0:1 0:25 Quindi, la frazione di ricchezza detenuta in moneta, ( ) sarà pari a (b) Qual è la principale caratteristica che il modello di domanda di moneta di Keynes e il modello della domanda di moneta per investimento della ricchezza hanno in comune? Qual è invece la principale caratteristica che distingue i due modelli? Analogie e di erenze con il modello di Keynes. caratteristica comune: in entrambi i modelli la moneta viene domandata a scopo speculativa caratteristica che distingue i due modelli: nel modello di Keynes, gli individui basano al loro scelta di allocazione della ricchezza sul rendimento relativo atteso. Nel modello della domanda di moneta per investimento, la scelta dipende non solo dal rendimento atteso del portafoglio, ma anche dal rischio connesso alla incertezza del portafoglio stesso (rappresentato dallo scarto quadratico medio (SQM)). 2 Esercizio (a) Nell ambito del modello di Baumol e obin per la domanda di moneta a scopo transattivo si ricavi la domanda di saldi reali se il tasso di interesse è pari al 10%, il costo unitario di conversione a 5 e il reddito a (si ipotizzi che il livello dei prezzi sia P 1). Il modello di Baumol e obin considera la domanda di moneta a scopo transattivo. Gli individui domandano moneta a causa dell assenza di sincronia tra pagamenti rievuti e pagamenti e ettuati. Per questo motivo, gli individui detengono moneta anche in presenza di altre attività nanziarie a rendimento più elevato. Assumiamo che convertire una attività nanziaria in un altra

3 attività comporti dei costi di transazione che indichiamo con F. In assenza di costi di transazione, gli individui vorrebbero detenere tutta la ricchezza nanziaria in attività a rendimento maggiore rispetto alla moneta. Se i costi di transazione sono positivi, invece, gli individui vorranno detenere moneta in modo da bilanciare il vantaggio di un rendimento più elevato con quello di minori costi di transazione. Consideriamo i dati dell esercizio: Y i 10% F 5 P 1 Indichiamo con Y N l importo di ogni transazione. Il numero di conversioni e ettuate in ogni periodo è quindi N. La quantità media di moneta detenuta in ogni periodo è YN 2 : L investitore desidera minimizzare il costo totale sostenuto per la gestione dei pagamenti. C F N + i YN 2 La prima componente dei costi di gestione rappresenta i costi di transazione (costo di transazione, F, moltiplicato per il numero di transazioni, N). La seconda componente dei costi totali rappresenta il costo opportunità di detenere moneta al posto di un altra attività nanziaria a rendimento i. L investitore minimizza i costi totali scegliendo l importo ottimale N. Il problema di minimizzazione è quindi il seguente: min F N + iyn N 2 Deriviamo i Costi otali rispetto a N e poniamo la derivata pari a zero (condizione del primo ordine): La domanda di saldi reali F iy 2N 2 0 r iy N 2F M d P Y r 2N 2i Sostituendo i valori dell esercizio: r M d 2 0:1 900

4 (b) Si ricavino analiticamente le elasticità della domanda di moneta al tasso di interesse e al reddito. Ricaviamo analiticamente l elasticità della moneta al reddito: P MP 0 1 " M F q 2i 2i q 2i 2i A 1 q 2i Y MP 1 2 L elasticità della domanda di saldi reali al reddito è positiva ed inferiore ad uno: questo signi ca che esistono economia di scala. A seguito di un aumento del reddito, la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al reddito. Ricaviamo ora l elasticità della domanda di saldi reali al tasso di interesse: P MP 0 1 " q 2i2 2i A i q 2i L elasticità della domanda di saldi reali al tasso di interesse è negativa ed, in valore assoluto, inferiore a 1. (c) Si discuta l e etto di una variazione dal 10% all 11% del tasso di interesse sulla domanda di moneta. Consideriamo ora un aumento del tasso di interesse: i 11%. Cosa dovremmo aspettarci? Abbiamo appena visto che se il tasso di interesse aumenta, la domanda di saldi reali diminuisce, ma meno in termini percentuali del tasso di interesse. Sostituiamo il nuovo valore del tasso di interesse: r M d 2 0:11 858:116 E ettivamente, la domanda di saldi reali è diminuita in misura meno che proporzionale.

5 (d) Cosa accade alla domanda di moneta se il reddito raddoppia? Cosa accade se il reddito raddoppia? A seguito di un aumento del reddito e in presenza di economie di scala, la domanda di saldi reali aumenta, ma meno in termini percentuali rispetto al reddito. r M d 2 0:1 1272:79 3 Esercizio Considerate la domanda di moneta come attività patrimoniale secondo il modello di portafoglio. (a) Scrivete le equazioni che rappresentano il modello e rappresentatele gra - camente; Nel modello di portafoglio l individuo sceglie razionalmente la quota della propria ricchezza da detenere in moneta e la quota da detenere in titoli considerando il trade o esistente tra rischio e rendimento. Il rendimento del titolo è una variabile casuale e può essere rappresentato con una distribuzione probabilistica che ha valore atteso E(i ) c + V e V V e scarto quadratico medio pari a : La moneta, invece, ha rendimento certo pari a i M : Se l individuo detiene una quota della propria ricchezza in titoli, il rendimento atteso del portafoglio è quindi: mentre lo scarto quadratico medio è: E(i A ) E(i ) + (1 )i M (1) A (2) L individuo sceglierà quindi ottimamente come allocare la propria ricchezza massimizzando la propria funzione di utilità dati i vincoli del rendimento atteso e dello scarto medio di portafoglio. I due vincoli possono essere riscritti. Infatti la quota (2) può quindi essere riscritta come: A (3) Sostituendo l equazione (3) nell equazione del rendimento atteso del portafoglio (1), abbiamo:

6 che può essere riscritta come: E(i A ) A E(i ) + (1 A )i M Gra camente avremo quindi E(i A ) (E(i ) i M ) A + i M (4) (b) Esaminate gli e etti di un aumento del rendimento della moneta; L aumento del rendimento della moneta, a parità di rischio del titolo, induce gli individui a detenere una quota superiore di ricchezza in moneta e una quota inferiore in titoli. Gra camente si modi ca intercetta e inclinazione del vincolo: l intercetta aumenta e l inclinazione si riduce.

7 (c) Esaminate gli e etti di una riduzione del grado di avversione al rischio; La riduzione dell avversione al rischio dell individuo, a parità di rischio e rendimento, induce gli individui a detenere una quota superiore di ricchezza in titoli e una quota inferiore in moneta. Gra camente si riduce la concavità delle curve di indi erenza individuali.

8 (d) Quale sarebbe la posizione di equilibrio nel caso limite di un individuo completamente indi erente al rischio? Nel caso limite di un individuo completamente indi erente al rischio le curve di indi erenza sarebbero delle rette orizzontali (si veda l ultimo punto dell esercizio 4) e la soluzione sarà quindi un punto d angolo. 4 Esercizio (a) Considerate il modello della domanda di moneta a scopo speculativo (o patrimoniale...) per l investimento della ricchezza. Supponete che il rendimento atteso del titolo rischioso sia E(i ) e che lo scarto quadratico medio (SQM) del titolo rischioso sia e che la funzione di utilità del portafoglio detenuto dagli investitori sia data dalla seguente funzione di utilità quadratica: U (E (i A ; ) ; A ) E (i A ) 2 ( A) 2 ; 0 < < 2 E (i A ) ( A ) 2 (1)

9 dove E (i A ) E(i ) + (1 )i M A è il rendimento atteso del portafoglio e ( A ) 2 2 ( ) 2 rappresenta lo scarto quadratico medio del portafoglio al quadrato. Il rendimento della moneta è certo e pari a i M. Si trovi l equazione delle curve di indi erenza dell investitore e se ne dia una rappresentazione gra ca. (a) Dato un livello di utilità costante U arbitrariamente ssato una curva d indi erenza è de nita da tutte le combinazioni (E (i A ; ) ; A ) tali che U (E (i A ; ) ; A ) A Prendiamo la derivata totale della (2) e otteniamo: 2 ( A) 2 A d A d A du (3) d A A d A 0 (4) La pendenza della curva di indi erenza è pari al suo saggio marginale di sostituzione (SMS): SMS A ; A d A d A A > 0 (5) L investitore è pronto a sopportare livelli più alti di rischio solo se il rendimento atteso del portafoglio aumenta. Quindi, ci troviamo di fronte ad un investiore avverso al rischio. La curvatura della curva d indi erenza è determinata prendendo la derivata prima della A ; A d2 A d ( A ) 2 > 0 (6) La curvatura della funzione di utilità (concava rispetto al origine) ci dice che l avversione al rischio dell investitore cresce al crescere di ( A ) 2 : Intuitivamente, al crescere del livello di rischio il rendimento atteso del portafoglio deve crescere più velocemente. Gra camente:

10 (b) Quale sarà la frazione della ricchezza totale detenuta in moneta? Come cambia la vostra risposta se il rendimento della moneta è nullo (i M 0). Interpretate il risultato ottenuto. Per calcolare risolviamo il problema dell investitore: max A A 2 ( A) 2 (7) t:c: A + (1 )i M (8) t:c: A (9) Sostituendo i vincoli ((9) e (8)) nel problema di massimizzazione (7): max U + (1 )i M 2 ( ) 2 (10) Deriviamo la (10) rispetto ad e poniamo la derivata pari a zero (condizione del 0

11 i M ( ) 2 0 i M ( ) 2 (11) La frazione di ricchezza detenuta in moneta sarà pari a: (1 ) 1 i M ( ) 2 (12) L espressione ricavata per la frazione di ricchezza detenuta in titoli (o in moneta) mette in evidenza che il nostro investitore è interessato all eccesso di rendimento ( i M ) che l attività rischiosa consente di ottenere rispetto alla moneta, ovvero al rendimento relativo atteso. Dato che i M 0, la (12) diventa: (1 ) 1 ( ) 2 (13) Il fatto che l investitore detenga parte della propria ricchezza in un attività che ha un rendimento nullo ci porta a fare due considerazioni. La prima è che la moneta è percepita come un attività patrimoniale che permette di ridurre l esposizione al rischio. La seconda considerazione poggia sul movemente speculativo vero e proprio e nasce dalla possibilità che l investitore si aspetti che il rendimento atteso dei titoli possa addirittura essere negativo, quindi detenere moneta riduce la possibilità di perdite patrimoniali. Inoltre, i M 0 è assimilabile alla moneta detenuta in contanti, mentre i M > 0 è assimilabile al caso di un conto corrente bancario. Ovviamente stiamo assumendo che queste due forme di detenzione della moneta non comportino nessun tipo di rischio (ad esempio che la banca fallisca). E importante notare che l ipotesi che il rendimento della moneta sia nullo non fa perdere generalità alle nostre conclusioni. (c) Come varia la composizione del portafoglio al variare di, e di i M? L espressione ricavata per ci permette di trarre alcune conclusioni: Un aumento del rendimento atteso dell attività rischiosa ( ") fa aumentare. Mentre un aumento dello scarto quadratico medio dell attività rischiosa ( ") oppure del rendimento della moneta (i M ") fa diminuire. Usando M 1 ( ) 2 > 0 1 ( ) 2 < 0

12 @ 2 ( i M ( ) 3 < 0 (d) Calcolate l elasticità della quantità ottima di moneta al tasso d interesse atteso sui titoli. " (1 (1 (1 ) " ; (14) " (1 ); 1 ( ) 2 (1 ) ( ) ( ) 2 (1 ) < 0 ( ) 2 (15) (e) Cosa accade al nostro modello se < 0? Se ne fornisca una rappresentazione gra ca. In corrispondenza di < 0 avremo un investiore amante del rischio. La pendenza delle curve d indi erenza (4) diventa negativa ed è data da: d A d A A < 0 Chiaramente ora l utilità del nostro investitore è strettamente crescente in ( ) 2, quindi l investitore raggiunge la massima utilità possibile in corrispondenza di 1. In equilibrio deterrà un portafoglio composto di soli titoli. Gra camente:

13 (f) Cosa accade al nostro modello se 0? In corrispondenza di 0 avremo un investiore neutrale al rischio. funzione di utilità (2) diventa: La U (E (i A ; ) ; A ) A Intuitivamente, l investitore non è in uenzato dalla rischiosità del portafoglio ma solo dal suo rendimento atteso. La pendenza delle curve d indi erenza (4) è data da (5) in corrispondenza di 0: La condizione di ottimo richiede: d A d A A 0 A (5) 0 (6) i M

14 Possiamo distinguere tre sottocasi: 1. Se i M l investitore deterrà una qualsiasi combinazione di titoli e moneta. 2. Se < i M l investitore deterrà solo moneta. 3. Se > i M l investitore deterrà solo titoli. Gra camente: