Modelli per la gestione delle scorte

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1 Modelli per la gestione delle scorte Claudio Arbib Università di L Aquila Prima Parte: gestione periodica

2 Sommario 1. Introduzione Termini del problema 2. Costi di spedizione 3. Costi di giacenza 4. Gestione ordini periodica di singola risorsa (EOQ) assorbimento costante assorbimento variabile con regolarità 5. Limiti del modello EOQ

3 1. Introduzione La produzione di un bene materiale coinvolge generalmente quantità limitate di risorse Ciascuna risorsa costituisce di norma una scorta in ingresso, ad alimentare la produzione per un certo periodo di tempo in uscita, destinata alla distribuzione Gestire le scorte può comportare la risoluzione di problemi decisionali Voci di costo trasporto giacenza lavoro Decisioni quanto acquistare/produrre quando acquistare/produrre Dati e vincoli parametri di processo domanda infrastruttura logistica

4 Termini del problema La produzione di un bene materiale coinvolge generalmente quantità limitate di risorse Ciascuna risorsa costituisce di norma una scorta in ingresso, ad alimentare la produzione per un certo periodo di tempo in uscita, destinata alla distribuzione Gestire le scorte può comportare la risoluzione di problemi decisionali Esempio In un impianto si fa uso di due tipi di risorsa. Siano b 11 = 100 q.li b 21 = 90 q.li le scorte delle risorse 1 e 2 disponibili il giorno 1 Parametri di processo: Il processo consuma a 1 = 2 q.li di risorsa 1 a 2 = 3 q.li di risorsa 2 per q.ledi prodotto finito. La capacità di produzione giornaliera è q max = 20 q.li

5 Termini del problema Sia x t la quantità prodotta il giorno t Si ha x 1 < b 11 /a 1 x 1 < b 21 /a 2 0 < x 1 < q max = 50 = 30 = 20 La soluzione x 1* = 20 sfrutta appieno la capacità di produzione del giorno 1 All inizio del giorno 2 le scorte valgono quindi b 12 = b 11 a 1 x * 1 = 60 b 22 = b 21 a 2 x * 1 = 30 Esempio In un impianto si fa uso di due tipi di risorsa. Siano b 11 = 100 q.li b 21 = 90 q.li le scorte delle risorse 1 e 2 disponibili il giorno 1 Parametri di processo: Il processo consuma a 1 = 2 q.li di risorsa 1 a 2 = 3 q.li di risorsa 2 per q.ledi prodotto finito. La capacità di produzione giornaliera è q max = 20 q.li

6 Termini del problema Sia x t la quantità prodotta il giorno t Si ha x 1 < b 11 /a 1 x 1 < b 21 /a 2 0 < x 1 < q max La soluzione x 1* = 20 sfrutta appieno la capacità di produzione del giorno 1 All inizio del giorno 2 le scorte valgono quindi b 12 = b 11 a 1 x * 1 = 60 b 22 = b 21 a 2 x * 1 = 30 = 50 = 30 = 20 Ripetendo il procedimento si ottiene x 2 < b 12 /a 1 = 30 x 2 < b 22 /a 2 = 10 0 < x 2 < q max = 20 La massima produzione vale x 2* = 10 e non sfrutta la capacità di produzione del giorno 2 Per mantenere la produzione a regime occorre rifornirsi di almeno r = a 2 q max b 22 = 30 entro t = 1

7 2. Costi di spedizione Riassumendo, siamo riusciti a circoscrivere le decisioni come segue: quanto acquistare r > 30 quando acquistare t < 1 Per precisarle ulteriormente dobbiamo esaminare le voci di costo Iniziamo dai costi di spedizione Il costo di spedizione è di norma formato da due termini: Un costo fisso s 0, che va cioè pagato anche se si sposta un solo grammo di risorsa Un costo variabile non decrescente con il quantitativo r di risorsa ordinato, ad esempio

8 Costi di spedizione costo s 0 s 0 + s 1 r per 0 < r < δ s 0 + s 1 δ + s 2 (r δ) per r > δ, s 2 < s 1 s 0 + s 1 r ks 0 + s 1 r per (k 1)δ < r < kδ ks 0 per (k 1)δ < r < kδ s 0 per ogni valore di r < quantità Il costo di spedizione è di norma formato da due termini: Un costo fisso s 0, che va cioè pagato anche se si sposta un solo grammo di risorsa Un costo variabile non decrescente con il quantitativo r di risorsa ordinato, ad esempio

9 Costi di spedizione Anche le caratteristiche dell infrastruttura logistica molteplicità di fornitori Supplier 1 R 1, R 2 capacità dei collegamenti hanno influenza sui costi Risorse eterogenee e/o non ancora critiche possono essere trasportate su un medesimo veicolo fino a saturazione della capacità, evitando la duplicazione di costi fissi Supplier 3 R 2 Customer Supplier 2 R 1, R 3

10 Costi di spedizione Anche le caratteristiche dell infrastruttura logistica molteplicità di fornitori capacità dei collegamenti hanno influenza sui costi Risorse eterogenee e/o non ancora critiche possono essere trasportate su un medesimo veicolo fino a saturazione della capacità, evitando la duplicazione di costi fissi Supplier 1 R 1, R 2 Supplier 3 R 2 Customer consolidamento dei rifornimenti Supplier 2 R 1, R 3

11 Costi di spedizione Può essere quindi conveniente sincronizzare i rifornimenti per condividere risorse di trasporto e ottenere economie di scala 100 Livelli di scorta a inizio giornata lun mar mer gio ven sab Replenishment (oggi per domani) lun mar mer gio ven sab Scorta 1 Scorta 2 quattro spedizioni Acquisto 1 Acquisto 2

12 Costi di spedizione Può essere quindi conveniente sincronizzare i rifornimenti per condividere risorse di trasporto e ottenere economie di scala 100 Livelli di scorta a inizio giornata lun mar mer gio ven sab Replenishment (oggi per domani) lun mar mer gio ven sab Scorta 1 Scorta 2 tre sole spedizioni Acquisto 1 Acquisto 2

13 3. Costi di giacenza Tuttavia mantenere immobilizzato un bene materiale comporta un costo, quantificabile in sostanza come utili non percepiti Livello e valore economico della scorta lun mar mer gio ven sab Scorta 1 Valore ( ) Pensiamo a un conto in banca: a fine anno vengono accreditati utili il cui valore U cresce con la permanenza di valuta sul conto 1 U = T il saggio di interesse σ t praticato in ogni giorno t del periodo T Σ σ t v t b t t T g 0 (t) = σ t v t Costo per la giacenza di un unità di risorsa nel giorno t

14 Costi di giacenza Minore l accumulo di scorte nel sistema; minore il tempo di latenza dei materiali (tempo di attraversamento o lead time); Livello e valore economico della scorta risorse Sistema di produzione trasporto o stoccaggio lun mar mer gio ven sab prodotti Scorta 1 Valore minori i costi di giacenza. Il costo di giacenza dipende quindi: dal valore economico della risorsa dal suo quantitativo medio immobilizzato o nascosto all interno del sistema nel periodo di pianificazione ( )

15 Controindicazioni Di norma l andamento del costo di giacenza è opposto a quello del costo di spedizione elevata giacenza due spedizioni a settimana lun mar mer gio ven sab giacenza acquisto bassa giacenza tre spedizioni a settimana lun mar mer gio ven sab giacenza acquisto

16 Controindicazioni In un periodo di pianificazione prefissato T il costo di giacenza decresce il costo di trasporto cresce con la frequenza f = 1/ di rifornimento delle risorse nel periodo punto di costo frequenza di rifornimento giacenza rifornimento totale minimo costo

17 4. Gestione ordini periodici Per modellare il problema di minimizzare i costi complessivi (giacenza + trasporto) iniziamo con l ipotizzare quanto segue: una sola risorsa viene consumata con tasso di assorbimento costante fino a un certo limite di sicurezza b s (safety stock) livello di scorta (b 0 = 10) magazzino processo di consumo ( = 2) scorta di sicurezza b s il livello di scorta in magazzino b(t) decresce quindi linearmente nel tempo la giacenza media nell intervallo [0, T] corrisponde all area celeste = 0 T b(t)dt livello di scorta b(t) b(t) = b 0 t T tempo t

18 Gestione ordini periodici Per modellare il problema di minimizzare i costi complessivi (giacenza + trasporto) iniziamo con l ipotizzare quanto segue: una sola risorsa viene consumata con tasso di assorbimento costante fino a un certo limite di sicurezza b s (safety stock) l approvvigionamento avviene con periodo costante e con un costo s 0 per ciascuna spedizione, indipendentemente dal quantitativo spedito livello di scorta 2 T tempo Dimezzamento del periodo di rifornimento (raddoppia la frequenza) = Dimezzamento della giacenza variabile + Raddoppio delle spedizioni safety stock b s

19 Lotto economico di acquisto (EconomicOrderQuantity) Si possono allora esprimere i costi di giacenza e trasporto in un orizzonte temporale T come: b 0 b s = s() = s 0 g() = g 0 b(t)dt = b(t) = b 0 t 0 T T = g 0 T( /2 + b s ) Area = 2 /2 + b s b s Supponiamo che g 0 (t), s(r) il costo di giacenza g 0 (t) di un unità di risorsa in un tempo unitario (es. un giorno) non vari nel tempo: g 0 (t) = g 0 il costo s(r) di una singola spedizione non dipenda dalla quantità r spedita: s(r) = s 0 s 0 g 0 t, r

20 Lotto economico di acquisto (EconomicOrderQuantity) Si possono allora esprimere i costi di giacenza e trasporto in un orizzonte temporale T come: g() = s() = s 0 Il costo complessivo di gestione è pari a s 0 T g 0 T( /2 + b s ) g 0 costo * = 2s 0 / g 0 tempo Esiste un unica soluzione ottima *, indipendente da T e b s, che si può calcolare annullando la derivata prima: C() = T( + + g 0 b s ) 2 g 0 s 0 0 = 2 2

21 Assorbimento variabile In alcuni casi (ad es. risorse deperibili, obsolescenza etc.) l ipotesi di tasso di assorbimento costante nel tempo può risultare troppo semplicistica. Esempio. In un industria conserviera la quantità di prodotto trattabile decresce in ragione del tempo t trascorso dalla sua acquisizione. Ciò fa sì che la quantità necessaria per ottenere un unità di prodotto finito cresca con t, o in altri termini che il tasso di assorbimento della scorta sia una funzione crescente del tempo: a = a(t) Detta r = b 0 la scorta di prodotto fresco acquisita all istante t 0 = 0, a t ore di distanza il livello di scorta sarà dato da b(t) = b 0 a(τ)dτ t 0

22 Costo di giacenza In genere, il tasso di deterioramento di un prodotto ha un andamento esponenziale. Supponiamo a(t) = e λt, con a(0) = (tasso di assorbimento iniziale) e λ > 0. Si ha quindi lotto acquistato b 0 a b(t) = b 0 0 (e λt 1) λ livello di scorta tempo Detta r = b 0 la scorta di prodotto fresco acquisita all istante t 0 = 0, a t ore di distanza il livello di scorta sarà dato da safety stock b s b(t) = b 0 t 0 a(τ)dτ

23 Costo di giacenza In genere, il tasso di deterioramento di un prodotto ha un andamento esponenziale. Supponiamo a(t) = e λt, con a(0) = (tasso di assorbimento iniziale) e λ > 0. Si ha quindi lotto acquistato b 0 b(t) = b 0 λt s + (e λ 1) e λt ) λ livello di scorta tempo safety stock b s Sia il periodo di rifornimento. Per evitare inutili giacenze il rifornimento b 0 va scelto in modo che la scorta residua al tempo sia pari alla scorta di sicurezza b s b s = b 0 (e λ 1) λ a b 0 = b s + 0 (e λ 1) λ

24 Costo di giacenza In genere, il tasso di deterioramento di un prodotto ha un andamento esponenziale. Supponiamo a(t) = e λt, con a(0) = (tasso di assorbimento iniziale) e λ > 0. Si ha quindi lotto acquistato b 0 a b(t) = b s + 0 (e λ e λt ) λ 0 livello di scorta tempo Il costo di giacenza dipende dal periodo. Per esprimerlo calcoliamo l integrale di b(t) esteso all intervallo [0, ] λ (b s + e λ )dτ e λτ dτ λ 0 λ λ 2 safety stock b s = b s + e λ (e λ 1)

25 Costo di giacenza Eseguendo i calcoli si ottiene l area totale in funzione di Area = T b s + e λ (e λ 1) λ λ 2 lotto acquistato b 0 livello di scorta tempo safety stock b s Quest area si ripete T/ volte nel periodo di pianificazione T T λ λ 2 = b s + e λ (e λ 1)

26 Costo di giacenza Eseguendo i calcoli si ottiene l area totale in funzione di Area = T b s + e λ (e λ 1) λ λ 2 lotto acquistato b 0 livello di scorta tempo safety stock b s Il costo di giacenza è proporzionale all area secondo g 0 g() = g 0 T b s + e λ (e λ 1) λ λ 2

27 Costo totale Il costo totale si ottiene sommando tra loro il costo di giacenza il costo di spedizione (proporzionale secondo s 0 al numero di spedizioni nel periodo di pianificazione) il costo dovuto alle perdite di prodotto per deterioramento (proporzionale secondo il valore v 0 del prodotto alla quantità deterioratasi nell intervallo ) quantità (= b 0 ) assorbita dal processo con tasso dopo ore g() = g 0 T b s + e λ (e λ 1) λ v 0 λ λ 2 s() = s 0 T/ p() = v 0 (b(e 0 λ λ b 1) s ) livello di scorta quantità (= b 0 b s )deterioratasi in ore (con b 0 b s = (e λ 1)/λ) quantità (= b s ) effettivamente in magazzino dopo ore

28 Costo totale Il costo totale si ottiene sommando tra loro il costo di giacenza il costo di spedizione il costo dovuto alle perdite di prodotto per deterioramento C() = = g 0 T b s + e λ (e λ 1) + + λ λ 2 s 0 g 0 v 0 λ (e λ λ 1)

29 Periodo di rifornimento ottimo Come nel caso di assorbimento costante, il periodo di riforni mento ottimo * si ricava annullando la derivata di C() = e λ e λ + e λ + (e λ 1) λ 2 2 λ λ 2 2 g 0 T 1 s 0 g 0 2 v 0 C() = 1 λ v λ 2 s 0 / g 0 v 0 λ 2 2 g 0 T λ 2 2 Tg e λ = = g 0 T b s + e λ (e λ 1) + + λ λ 2 s 0 g 0 v 0 λ (e λ λ 1)

30 Periodo di rifornimento ottimo Periodo di rifornimento ottimo 1200, ,00 800,00 600,00 400,00 λ = 0,2 = 5 g 0 = 2 s 0 = v 0 = T = * ~ 3, ,00 0, λ v λ 2 s 0 / g 0 v 0 λ 2 2 g 0 T λ 2 2 Tg e λ =

31 5. Limiti del modello EOQ Il modello EOQ non consente di 1) esprimere il costo di spedizione in funzione della quantità del rifornimento e/o della distanza dal fornitore più realistico costo ks 0 per (k 1)δ < r < kδ s 0 s 0 per ogni valore di r < quantità ipotizzato nel modello EOQ

32 Limiti del modello EOQ Il modello EOQ non consente di 2) esprimere l effetto sui costi di giacenza di variazioni del valore delle risorse nel tempo valore della risorsa ipotizzato nel modello EOQ valore della risorsa possibili fluttuazioni del valore

33 Limiti del modello EOQ Il modello EOQ non consente di 3) tenere conto di un andamento irregolare dell assorbimento di risorse dovuto, ad esempio, a variazioni della domanda da parte del mercato livello di scorta tempo ipotizzato nel modello EOQ livello di scorta tempo possibili fluttuazioni della domanda

34 Limiti del modello EOQ Il modello EOQ non consente di 4) ottimizzare la gestione contemporanea di più scorte gestione ottima della risorsa 1 gestione ottima della risorsa 2 10 spedizioni gestione sub-ottima della risorsa 1 gestione ottima della risorsa 2 6 spedizioni

35 Limiti del modello EOQ Il primo di questi quattro limiti: 1) esprimere il costo di spedizione in funzione della quantità del rifornimento e/o della distanza dal fornitore può in alcuni casi essere superato con lievi modifiche. Nel caso infatti di assorbimento costante (b(t) = b 0 t), se il costo di spedizione ha la forma s(r) = s 0 + s 1 r la sua somma durante T è costo s 0 s 0 + s 1 r T s() = [s 0 + s 1 (b 0 b s )] = T = [s 0 + s 1 ] = quantità T = s 0 + Ts 1

36 Limiti del modello EOQ Il primo di questi quattro limiti: costo s 0 1) esprimere il costo di spedizione in funzione della quantità del rifornimento e/o della distanza dal fornitore può in alcuni casi essere superato con lievi modifiche. Il termine di costo Ts 1 non dipende dal periodo e non contribuisce alla derivata prima del costo totale. Quindi non influenza il valore * del periodo di rifornimento ottimo. Si noti che ciò non èvero in caso di assorbimento non costante. s 0 + s 1 r quantità s() = s 0 + Ts 1 T