Modelli per la gestione delle scorte

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1 Modelli per la gestione delle scorte Claudio Arbib Universitàdi L Aquila Seconda Parte

2 Sommario Sui problemi di gestione aperiodica equazioni di stato Funzioni di costo Un modello convesso formulazione come PL esempio Un modello concavo proprietà del poliedro proprietà delle soluzioni ottime algoritmo di Wagner-Whitin esempi

3 Gestione aperiodica magazzino Impianto Un impianto deve soddisfare la domanda espressa dal mercato in periodi diversi, minimizzando costi di produzione, trasporto e giacenza mercato

4 Gestione aperiodica Consideriamo per semplicità un solo tipo di prodotto, da fabbricare in un orizzonte temporale finito, diviso in periodi di controllo {1, 2,, T}, corrispondenti a un assorbimento a 1,, a T variabile nel tempo, e a variabili decisionali x t = quantità prodotta/spedita nel periodo t b t = livello di scorta nel periodo t x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 x T b T T a 1 a 2 a 3 a T

5 Gestione aperiodica x 3 x 2 x 1 b 3 b 2 b 1 a 1 a 2 a 3 Andamento della produzione Andamento delle scorte tempo Andamento delle consegne x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 x T b T T a 1 a 2 a 3 a T

6 Equazioni di stato Tra i valori descritti intercorrono le seguenti relazioni eventuale scorta iniziale e/o finale x 1 + b 0 = a 1 + b 1 x t + b t 1 = a t + b t t = 2,, T 1 x T + b T 1 = a T + b T x t, b t > 0 t = 1, 2,, T x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 x T b T T a 1 a 2 a 3 a T

7 Funzioni di costo La forma della funzione costo influenza le tecniche di soluzione. Sia f: IR n IR, e λ 1,, λ m > 0 tali che Σ λ i = 1. Siano x 1,, x m IR n i=1. Diremo che f è m λ f(x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ) f (x) f (x 2 ) f (x 1 ) x 1 x 2 x = λx 1 + (1 λ)x 2 convessa se vale la relazione f (Σ i λ i x i ) < Σ i λ i f (x i )

8 Funzioni di costo La forma della funzione costo influenza le tecniche di soluzione. Sia f: IR n IR, e λ 1,, λ m > 0 tali che Σ λ i = 1. Siano x 1,, x m IR n i=1. Diremo che f è m f (x) λ f(x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ) f (x 2 ) f (x 1 ) x 1 x 2 x = λx 1 + (1 λ)x 2 convessa se vale la relazione f (Σ i λ i x i ) < Σ i λ i f (x i ) concava se si ha invece f (Σ i λ i x i ) > Σ i λ i f (x i )

9 Funzioni di costo Ad esempio: sono funzioni convesse sono funzioni concave f (x) f (x) x x f (x) non sono néconcave néconvesse x

10 Un modello convesso Supponiamo che le attivitàdel giorno t comportino costi di produzione P t (x t ) strutturati come segue p t costo per unità prodotta entro la quantità q t P t > p t costo aggiuntivo per ogni unità prodotta oltre la quantità q t (straordinario) di giacenza G t (b t ), proporzionali al livello di scorta g t P t (x t ) costo per unità immagazzinata nel periodo t G t (b t ) p t q t + P t (x t q t ) p t x t q t g t b t x t, b t

11 Obiettivo L obiettivo èminimizzare il costo complessivo (non lineare) min P 1 (x 1 ) + P 2 (x 2 ) + + P T 1 (x T 1 ) + P T (x T ) + + G 1 (b 1 ) + G 2 (b 2 ) + + G T 1 (b T 1 ) Per ottenere un espressione lineare del costo, distinguiamo tra la parte di x t (sia u t ) prodotta senza ricorrere allo straordinario e quella (sia w t ) prodotta ricorrendo allo straordinario: x t = u t + w t 0 < u t < q t, 0 < w t min p 1 u 1 + p 2 u p T u T + + P 1 w 1 + P 2 w P T w T + + g 1 b 1 + g 2 b g T 1 b T 1

12 Problema min Minimizzare p 1 u 1 + p 2 uil 2 + costo + complessivo p T u T + +P 1 w Σ 1 +P 2 w 2 + +P T w T + + g t=1,..,t [P t (x t )+ G t (b t )] 1 b 1 + g 2 b 2 + +g T 1 b T 1 soggetto ai vincoli con l ipotesi di non avere backlog ( b t > 0 per t = 1,, T ) u t + w t + b t 1 b t = a t e il uvincolo t di soddisfare < qla t domanda u t, w t,(equazioni b t di > stato) 0 per t = 1,, T

13 Esempio (dati) Periodi gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic Costo produzione Costo straordinario Costo giacenza Capacità impianto Domanda

14 Esempio (vincoli) Periodi gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic Domanda Capacità impianto u w b Produzione ordinaria Produzione straord. Scorta attuale Scorta precedente Equazioni di stato Riferimento = MATR.SOMMA.PRODOTTO(C13:C16;C8:C11) = 80

15 Esempio (costo) Periodi gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic Costo produzione Costo straordinario Costo giacenza u w b Produzione ordinaria Produzione straord. Scorta attuale Scorta precedente Costo totale 0 = MATR.SOMMA.PRODOTTO(C4:H6;C8:H10)

16 Un modello concavo In genere il costo della produzione nel generico periodo t non dipende solo dalla quantitàprodotta: produrre una qualsiasi quantità, anche minima, comporta un costo fisso, e lo stesso si può dire della giacenza (nel cui costo possiamo comprendere ad es. la movimentazione all interno dell impianto) Per economia di scala, tuttavia, passare da una produzione (giacenza) di 10 unitàa una di 20 costameno che passare da una produzione nulla a una di 10 unità Possiamo infine immaginare che in qualche caso produzione e scorta del giorno non siano sufficienti a coprire la domanda. In questo caso (backlog = scorta negativa) gli ordini saranno soddisfatti facendo giungere, con un costo aggiuntivo, la merce da altri stabilimenti Per tener conto di tutti questi aspetti, la funzione di costo va modificata

17 Un modello concavo In questo modello assumiamo che i costi associati alle attività del giorno t siano così strutturati: P t (x t ) G t (b t ) Costi di produzione P t (x t ) π t costo fisso per attivare la produzione nel periodo t + costo per unità prodotta β t π t Costi di giacenza G t (b t ) γ t β t costo fisso di stoccaggio + costo per unità immagazzinata costo fisso di backlog + costo per unità ordinata all esterno γ t x t, b t

18 Proprietà del poliedro x 1 = a 1 + b 1 x 2 + b 1 = a 2 + b 2 x 3 + b 2 = a 3 + b 3 x T + b T 1 = a T x x 1 + x 2 + x 3 = Σ a i 3 i=1 x 1, x 2, x 3 > 0 T Σ x t = Σ a t t=1 T t=1, x t > 0 x t < b t = Σ x k Σ a k b t < k<t k<t Proprietà1 Il poliedro del problema è limitato (NB: anche se b t non è vincolata in segno)

19 Proprietà del poliedro Proprietà2 Una funzione concava definita in un poliedro limitato ammette un punto di minimo corrispondente a un vertice del poliedro f (x) * P punto di minimo

20 Dimostrazione Dato un poliedro limitato P, siano v 1,, v p i suoi vertici: P = conv(v 1,, v p ) cioèogni y P, e in particolare un punto y* di minimo per f in P, si può esprimere come combinazione convessadei vertici di P: Ma se f è concava si ha p y* = Σ λ i v i con Σ λ i = 1, λ i > 0 i=1 f(y*) = f (Σ i=1..p λ i v i ) > Σ i=1..p λ i f(v i ) Se dunque v* un punto di minimo per f in {v 1,, v p }, si ha p p i=1 f (v*) <Σλ i f (v i ) < f (y*) perciò anche v* èun punto di minimo per f in P i=1

21 Proprietà delle soluzioni ottime z* = (x*, b*) vertice z* soluzione di base di Az = a z > 0 con A matrice T (2T 1) In altre parole, al più T componenti di z* sono > 0 Se per la scorta iniziale si ha b 0 = 0, deve anche aversi x 1 > a 1 > 0 b t 1 + x t > a t > 0 cioè almeno una tra b t 1 e x t deve essere > 0 per t = 2,, T In altre parole, almeno T componenti di z* sono > 0 Esattamente una tra b t 1 e x t deve essere > 0 per t = 2,, T

22 Proprietà delle soluzioni ottime Dal ragionamento precedente si deduce che ogni soluzione ottima èstrutturata come segue: periodi di produzione x i x k 1 b k 1 b k b t 1 i k 1 k t a i a k 1 a k a t e periodi di stasi

23 Algoritmo (Wagner-Whitin, 1958) 1) Si calcola la quantità x i che ènecessario produrre per soddisfare la domanda da i a t x i = a i + a i a t i b i b i+1 b t 1 i+1 t a i a i+1 a t

24 Algoritmo 2) Si calcolano le quantità b i, b i+1,, b t 1 che ènecessario immagazzinare per soddisfare a i+1, a i+2,, a t x i b i = a i a t b i+1 = a i a t i b t 1 = a t i+1 t a i a i+1 a t

25 Algoritmo 3) Si calcola quanto costa produrre (immagazzinare) al tempo i per soddisfare la domanda da i a t: C(i, t) = P i (x i ) + G i (b i ) + G i+1 (b i+1 ) + + G t 1 (b t 1 ) 4) Immaginiamo di conoscere i valori minimi c 0, c 1,, c k 1 del costo da sostenere per soddisfare la domanda in un orizzonte di pianificazione lungo 0, 1,, k 1 (inizialmente, c 0 = 0) 5) Allora il costo sostenuto per soddisfare tutta la domanda fino al periodo k èdato da c k = min i=1,,k {c i 1 + C(i, k)}

26 Calcolo di c k Minimo tra: c 0 = 0 + C(1, k) 1 2 k 2 k 1 k 1 c 1 + C(2, k) 2 k 2 k 1 k 1 2 c 2 + C(3, k) 3 k 2 k 1 k 1 k 2 c k 1 k k 2 + C(k 1, k) 1 k 1 c k k 1 + C(k, k)

27 Esempio 1 livello costi 1/2 2/3 2/3 2/3 1/6 1 1/3 1/3 1/6 = 10 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 b 1 2 b 2 3 b 3 4 b

28 Esempio 1 livello costi 1/2 2/3 2/3 2/3 1/6 1 1/3 1/3 1/6 = 10 Costruiamo la matrice C dei valori C(i, t) P 1 (a 1 ) P 1 (a 1 + a 2 ) + G 1 (a 2 ) P 1 (a 1 + a 2 + a 3 ) + G 1 (a 2 + a 3 ) + G 2 (a 3 ) P 2 (a 2 ) P 2 (a 2 + a 3 ) + G 2 (a 3 ) C = P 3 (a 3 ) Produzione nel periodo 1 della domanda dei periodi 1, 2 e 3 Giacenza nel periodo 1 della domanda dei periodi 2 e 3 Giacenza nel periodo 2 della domanda del periodo 3

29 Esempio 1 livello costi 1/2 2/3 2/3 2/3 1/6 1 1/3 1/3 1/6 = 10 P 1 (a (5) 1 ) P 11 (a (8) 1 + a+ 2 ) + G 11 (3) (a 2 ) P 1 (a (12) a 2 G+ 1 (7) a 3 ) + G 21 (4) (a 2 + a 3 ) + G 2 (a 3 ) P 22 (a (3) 2 ) P 2 (a (7) a 3 G) 2 + (4) G 2 (a 3 ) P 3 (4) C = P 3 (a 3 ) a 1 = 5 a 2 = 3 a 3 = 4 a 4 = 6 a 5 = 2

30 Esempio 1 livello costi 1/2 2/3 2/3 2/3 1/6 1 1/3 1/3 1/6 = 10 C = (15 C(1,1) + = 5) 17,5(15 + C(1,2) 8) + (10 = 30,0 + 3) (15 + C(1,3) 12) = + 41,0 (10 + 7) + (5 + 4) (10 + C(2,2) 3) = 11,0 (10 + C(2,3) 7) = + 20,0 (5 + 4) (15 + C(3,3) 4) = 17, a 1 = 5 a 2 = 3 a 3 = 4 a 4 = 6 a 5 = 2

31 Esempio 1 livello costi 1/2 2/3 2/3 2/3 1/6 1 1/3 1/3 1/6 = 10 Sulla base dei valori di C(i, t) èora possibile calcolare: c 1 = C(1, 1) = 17,5 c 2 = min{c(1, 2); c 1 + C(2, 2)} = min{30,0; 17,5 + 11,0} = 28,5 c 3 = min{c(1, 3); c 1 + C(2, 3); c 2 + C(3, 3)} = = min{41,0; 17,5 + 20,0; 28,5 + 17,7} = 37,5 eccetera

32 Esempio 1 Fino a T = 1 la soluzione ottima èovviamente Fino a T = 2 la soluzione ottima è Fino a T = 3 la soluzione ottima è eccetera Sulla base dei valori di C(i, t) èora possibile calcolare: c 1 = C(1, 1) = 17,5 c 2 = min{c(1, 2); c 1 + C(2, 2)} = min{30,0; 17,5 + 11,0} = 28,5 c 3 = min{c(1, 3); c 1 + C(2, 3); c 2 + C(3, 3)} = = min{41,0; 17,5 + 20,0; 28,5 + 17,7} = 37,5 eccetera

33 Esempio 2 (dati) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Q Domanda costo di produzione nel primo bimestre costo di giacenza nel primo bimestre

34 Esempio 2 (calcolo di P t ) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda da 1 a t da 2 a t da 3 a t Dom. cumulativa da 4 a t da 5 a t da 6 a t Q Costo di produzione da 1 a t da 2 a t da 3 a t da 4 a t da 5 a t da 6 a t Costo_produzione(2,4) E G = SEGNO(G9)*$E$2 + SE(G9 <= $E$15; $E$3*G9; $E$3*$E$15 + $E$4*(G9 $E$15))

35 Esempio 2 (calcolo di G t ) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda da 1 a t da 2 a t da 3 a t Dom. cumulativa da 4 a t da 5 a t da 6 a t Q Costo di giacenza da 1 a t da 2 a t da 3 a t da 4 a t da 5 a t da 6 a t D E = MATR.PRODOTTO(D$5:D$5;E9:E9)

36 Esempio 2 (calcolo di G t ) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda da 1 a t da 2 a t da 3 a t Dom. cumulativa da 4 a t da 5 a t da 6 a t Q Costo di giacenza da 1 a t da 2 a t da 3 a t da 4 a t da 5 a t da 6 a t D E F = MATR.PRODOTTO(D$5:E$5;F9:F10)

37 Esempio 2 (calcolo di G t ) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda da 1 a t da 2 a t da 3 a t Dom. cumulativa da 4 a t da 5 a t da 6 a t Q Costo di giacenza da 1 a t da 2 a t da 3 a t da 4 a t da 5 a t da 6 a t D E F G H I = MATR.PRODOTTO(D$5:H$5;I9:I13)

38 Esempio 2 (calcolo di G t ) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda da 1 a t da 2 a t da 3 a t Dom. cumulativa da 4 a t da 5 a t da 6 a t Q Costo di giacenza da 1 a t da 2 a t da 3 a t da 4 a t da 5 a t da 6 a t Costo_giacenza(2,4) E F G = MATR.PRODOTTO(E$5:F$5;G10:G11)

39 Esempio 2 (calcolo di C(i, t)) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda Q C(i, t) Gen-Feb Mar-Apr Mag-Giu Lug-Ago Set-Ott Nov-Dic Gen-Feb Mar-Apr Mag-Giu Lug-Ago Set-Ott Nov-Dic C(2, 4) = Costo_produzione(2, 4) + Costo_giacenza(2, 4)

40 Esempio 2 (soluzione) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda Q C(i, t) Gen-Feb Mar-Apr Mag-Giu Lug-Ago Set-Ott Nov-Dic Gen-Feb C(1, 1) C(1, 2) C(1, 3) C(1, 4) C(1, 5) C(1, 6) Mar-Apr C(2, 2) C(2, 3) C(2, 4) C(2, 5) C(2, 6) Mag-Giu C(3, 3) C(3, 4) C(3, 5) C(3, 6) Lug-Ago C(4, 4) C(4, 5) C(4, 6) Set-Ott C(5, 5) C(5, 6) Nov-Dic C(6, 6) c1 c2 c3 c4 c5 c6 costo minimo 12 D = D$12

41 Esempio 2 (soluzione) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda Q C(i, t) Gen-Feb Mar-Apr Mag-Giu Lug-Ago Set-Ott Nov-Dic Gen-Feb C(1, 1) C(1, 2) C(1, 3) C(1, 4) C(1, 5) C(1, 6) Mar-Apr C(2, 2) C(2, 3) C(2, 4) C(2, 5) C(2, 6) Mag-Giu C(3, 3) C(3, 4) C(3, 5) C(3, 6) Lug-Ago C(4, 4) C(4, 5) C(4, 6) Set-Ott C(5, 5) C(5, 6) Nov-Dic C(6, 6) c1 c2 c3 c4 c5 c6 costo minimo D E = MIN(E$12; D19 + E$13)

42 Esempio 2 (soluzione) gen-feb mar-apr mag-giu lug-ago set-ott nov-dic fisso Costo di produzione per unità fino a Q per unità oltre Q Costo di giacenza per unità Domanda Q C(i, t) Gen-Feb Mar-Apr Mag-Giu Lug-Ago Set-Ott Nov-Dic Gen-Feb C(1, 1) C(1, 2) C(1, 3) C(1, 4) C(1, 5) C(1, 6) Mar-Apr C(2, 2) C(2, 3) C(2, 4) C(2, 5) C(2, 6) Mag-Giu C(3, 3) C(3, 4) C(3, 5) C(3, 6) Lug-Ago C(4, 4) C(4, 5) C(4, 6) Set-Ott C(5, 5) C(5, 6) Nov-Dic C(6, 6) c1 c2 c3 c4 c5 c6 costo minimo D E F = MIN(F$12; D$19 + F$13; E$19 + F$14)