Modelli di Lévy. Indice. 1 Introduzione 2. 2 Processi di Lévy 4. 3 Modelli di Lévy puramente discontinui 6. 4 Il processo Variance-Gamma 7

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1 Modelli di Lévy R. Marfé Indice 1 Introduzione 2 2 Processi di Lévy 4 3 Modelli di Lévy puramente discontinui 6 4 Il processo Variance-Gamma 7 5 Modelli di mercato 9 6 Applicazione in VBA 11 1

2 1 Introduzione La finanza matematica è stata un area di ricerca molto attiva dopo la derivazione dell equazione di Black, Merton e Scholes (BMS) e del relativo modello di valutazione delle opzioni nel Tuttavia l assunzione di volatilità costante prevista in BMS era ovviamente violata dall osservazione sul mercato di volatilità non costante su diversi orizzonti temporali e prezzi di esercizio. Per spiegare questo fenomeno, definito volatility smile/skew, i ricercatori hanno proposto numerose alternative alla teoria BMS. Tali tentativi possono essere raggruppati in tre classi: Local volatility model: si assume che le volatilità future siano funzioni deterministiche del valore del sottostante e dell orizzonte temporale; e queste funzioni sono implicite nei prezzi attuali delle opzioni vanilla 1. Si ritiene quindi corretta la logica del modello Black-Scholes ed `possibile il pricing e l hedging di opzioni esotiche, una volta calibrato il modello su quelle vanilla più liquide sul mercato. Stochastic volatility model: l alternativa consiste nel rendere casuale, o meglio stocastica, la volatilità utilizzando un secondo processo stocastico markoviano 2. In questi modelli, una correlzione non nulla tra i processi del prezzo (log-rendimento) e della volatilità permette di riprodurre la skewness su diversi orizzonti temporali e prezzi di esercizio. Il modello di Heston è ormai uno standard nel pricing dei derivati e nel risk management. Jump model: il terzo approccio consiste nel mantenere la dinamica basata su un processo markoviano uni-dimensionale ma aggiungendo la possibilità che si verifichino salti nel prezzo del sottostante. Questa struttura a salti permette di incorporare lo skew/smile osservato sul mercato. Merton nel 1976 propose il primo modello diffusivo a salti, recentemente invece i pure jump Lévy market models sono diventati 1 M. Rubinstein, Implied Binomial Trees, Journal of Finance (1994). 2 J. Hull and A. White, An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility (1988). S. Heston, A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, Review of Financial Studies (1993). 2

3 particolamente interessanti, alcuni esempi sono il modello Variance- Gamma 3 e il CGMY 4. I modelli di Lévy sono stati in grado di spiegare lo smile/skew nei derivati azionari e negli strumenti valutari (FX). Ad evidenza del particolare successo di questi modelli sta il fatto che diverse istituzioni finanziare di Wall Street hanno iniziato ad utilizzarli con le loro estensioni nel valutare le proprie posizioni in opzioni. 3 D. Madan, P. Carr and E. Chang, The Variance Gamma Process and Option Pricing, European Finance Review (1998). 4 P. Carr, H. Geman, D. Madan and M. Yor, The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation, Journal of Business (2002). 3

4 2 Processi di Lévy Un processo di Lévy è un processo stocastico, X t, con incrementi indipendenti e stazionari. È quindi un processo markoviano e la distribuzione della variabile casuale X t risulta infinitamente divisibile. Il modo più comune di descrivere i processi di Lévy consiste nel considerare le loro funzioni caratteristiche. La funzione caratteristica di una variabile casuale X è definita come φ X (u) = E [ e iux] = + e iux f X (x)dx, dove f X (x) è la funzione di densità di X e u (R). La funzione caratteristica può essere pensata la media ponderata per le probabilità di un cerco di raggio unitario sul pino complesso. Si definisce quindi φ X (u) = e ψ X(u), dove ψ X (u) è chiamato l esponente caratteristico di X. Essendo un processo di Lévy X t infinitamente divisibile, la funzione caratteristica della variabile casuale X t può essere espressa come φ Xt (u) = E [ e iuxt] = e tψ X 1 (u) dove ψ X1 (u) è l esponente caratteristico del processo di Lévy per unità di tempo. La proprietà della divisibilità infinita risulta particolarmente utile nello studio di X t, in quanto basta conoscere X 1 per studiare le proprietà della distribuzione di X t per ogni t. Un processo di Lévy può essere scomposto in tre componenti: il primo è un drift deterministico di parametro b, il secondo è un processo diffusivodi volatilità σ e il terzo è un processo a salti con misura ν(dx). Un processo di Lévy viene quindi totalmente caratterizzato dalla sua cosiddetta tripletta di Lévy (b, σ, ν(dx)), dove b R, σ R + e ν(dx) è una misura definita su R \ {0}. La misura di Lévy ν(dx) descrive la frequenza, per unità di tempo, con cui si verificano i salti di varie ampiezze e può essere riscritta nella forma funzionale ν(dx) = κ(x)dx, dove κ(x) è definita densità di Lévy. Per un processo di Lévy uni-dimensionale la formula Lévy-Khintchine 5 definisce l esponente caratteristico, ψ X1 (u) come: 5 K. Sato, Lévy Processes and Infnitely Divisible Distribution, Cambridge Press (1999) 4

5 ψ X1 (u) = bui 1 2 σ2 u con + min(1, x 2 )ν(dx) <. (e iux 1 iux1 ( x <1) )ν(dx), È importante notare che molti processi stocastici ben conosciuti non sono altro che casi speciali della definizione generale di processi di Lévy 6. Per esempio, se si pone b = 0 e si definisce la densità dei salti κ(x) nulla per ogni x reale, si ottiene un moto browniano standard con varianza σ 2. Se invece si pongono pari a zero sia b che σ e si definisce κ(x) = λδ(1), dove δ(1) denota la misura di Dirac in 1 (massa uguale ad uno in uno e zero altrimenti), si ottiene un processo di Poisson con parametro λ. I cosiddetti pure jump Lévy models ignorano la componente del moto browniano e utilizzano esclusivamente i salti nel descrivere i movimenti sul continuo. Ciò può essere realizzato considerando una densità di Lévy, κ(x), sufficientemente grande quando l ampiezza dei salti, x tende a zero. Questo tipo di processi puramente discontinui possono essere raggruppati in tre categorie. Si definisce I = + ν(dx), J = + x ν(dx) dove I e J rappresentano rispettivamente l attività totale e la variazione totale. Le tre tipologie di processi di Lévy sono quindi le seguenti: processi di attività finita se I < e J <, processi di attività infinita ma di variazione finita se I = ma J <, processi di attività e variazione infinita se I = e J =. Questa classificazione permette di distinguere il comportamento dei salti di piccola ampiezza vicini a zero. I processi di attività infinita implicano che possa verificarsi un numero totale di salti infinito in un qualsiasi intervallo di tempo. I processi anche di variazione infinita, oltre alla frequenza infinita dei salti, indicano che la somma del valore assoluto dei salti, verificatisi in un qualsiasi intervallo di tempo finito, tenda a infinito. Entrambi i processi di attività e variazione infinita possono essere usati per costruire i modelli di Lévy puramente discontinui. 6 R. Cont and P. Tankov, Financial Modeling ith Jump Processes, Chapman & Hall/CRC (2004) 5

6 3 Modelli di Lévy puramente discontinui Dopo il crollo del mercato azionario del 1987, gli investitori hanno iniziato a comprare opzioni put out-of-the-money per proteggerere i loro investimenti azionari e ciò ha sensibilmente alzato la volatilità out-of-the-money e reso lo skew negativo più pronunciato. Inoltre è ben noto come i log-rendimenti giornalieri siano caratterizzati d skewness ed eccesso di curtosi. Come l evidenza di mercato non supporta i modelli browniani con volatilità costante, gli operatori di mercato hanno iniziato a ricercare modelli con una più ricca struttura, che spieghi realisticamente l andamento dei rendimenti. Dopo aver osservato il crash di mercato del 1987, è naturale pensare che i movimenti del mercato non siano solo continui, ma possano anche subire dei salti in determinati momenti. Un primo tentativo in tale proposito lo si deve a R. Merton, che nel 1976 propose il primo modello diffusivo a salti per il mercato azionario 7, in cui un moto browniano era usato per i piccoli movimenti, mentre salti per quelli occasionali di grande ampiezza. Comunque nel mondo reale, il trading non avviene continuamente ma ogni scambio si verifica dopo un altro: dunque il movimento dei prezzi azionari non può essere considerato assolutamente continuo, essendo al minimo limitato dal minor tick. Nasce quindi la possibilità che il moto browniano non debba necessariamente essere incluso nei modelli finanziari. Alcuni ricercatori per primi 8 hanno supposto che la componente continua/diffusiva non sia in realtà statisticamente significativa e che anche i piccoli movimenti possano essere descritte da processi alternativi al moto browniano. Sulla base di queste ipotesi si sviluppano i modelli di Lévy puramente discontinui, da cui è escluso il moto browniano. In tali modelli i processi di Lévy a salti descrivono i log-rendimenti dei titoli, da cui segue che i prezzi siano descritti da processi esponenziali di Lévy. 7 R. Merton, Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous, Journal of Financial Economics (1976) 8 D. Madan, P. Carr and E. Chang, The Variance Gamma Process and Option Pricing, European Finance Review (1998) 6

7 4 Il processo Variance-Gamma Il modello Variance-Gamma (VG), che fu sviluppato da Madan, Carr e Chang 9, è un elegante modello che offre ampia trattabilità analitica e semplicità nelle procedure di simulazione. Per tali ragioni è uno dei più conosciuti modelli di Lévy puramente discontinui. Una variabile casuale VG X segue una legge di probabilità definita da tre parametri (σ, θ, ν) e la sua funzione caratteristica è data da: φ V G (u; σ, θ, ν) = (1 iuθν σ2 νu 2 ) 1/ν, dove σ R +, θ R e ν R +. L eleganza del processo VG consiste nel fatto che la sua densità dei salti di Lévy possa essere espressa nella semplice forma: { Cexp(Gx) x < 0 x κ V G (x) = Cexp( Mx) x > 0 x dove C = 1/ν, ( ) 1 G = 4 θ2 ν σ2 ν θν, ( ) 1 M = 4 θ2 ν σ2 ν θν. Si può mostrare come entrambe le equazioni di κ V G (x) siano la misura di Lévy per una variabile casuale gamma. Ciò indica che una v.c. VG può essere scomposta in due v.c. gamma: una per i salti positivi, l altra per quelli negativi. Sotto questa rappresenzatione, una v.c. VG X V G (C, G, M) può essere scritta come la differenza di due v.c. gamma: X V G (C, G, M) = X g (C, 1/M) X g (C, 1/G). 9 D. Madan, P. Carr and E. Chang, The Variance Gamma Process and Option Pricing, European Finance Review (1998) 7

8 Risulta quindi molto semplice la costruzione di un algoritmo di simulazione. Il processo VG permette di tener conto della skewness e dell eccesso di curtosi, osservati nelle serie storiche dei prezzi azionari, e di calibrare accuratamente la volatilità delle opzioni vanilla per ogni singolo orizzonte temporale. Più precisamente un parametro θ negativo indica skewness negativa, mentre il parametro ν controlla la curtosi. Un processo VG può essere intuitivamente espresso come un time-changed Brownian Motion, dove il time-change process, o subordinator, è un processo gamma. Nello specifico un processo VG può essere ottenuto sostituendo il tempo deterministico t con una v.c. gamma g(t) in un moto browniano con drift X(t) = bt + σw (t). Con la parametrizzazione (σ, θ, ν), l espressione per X V G diventa: X V G = θg(t) + σw (g(t)), dove g(t) segue la distribuzione gamma (t/ν, ν). Il concetto di time-change Brownian Motion è sorretto da una forte intuizione economica. È chiaro che il mercato non evolve identicamente ogni giorno, ma in alcuni momenti l attività di trading è molto più intensa, mentre in altri il mercato è più tranquillo e gli scambi sono ridotti. Dunque la lunghezza di un giorno di mercato è meglio misurata dal concetto di business time (stocastico) che dal calendar time. Sotto il punto di vista tecnico il processo VG ha il vantaggio di poter essere simulato generando il moto browniano standard subordinato al tempo casuale di un processo gamma. 8

9 5 Modelli di mercato I modelli di Lévy assumono che nella dinamica dei log-rendimenti dei titoli, la componente di martingala sia costituita da un processo di Lévy. Nell ottica dell option pricing, la dinamica dei un prezzi azionari segue un processo esponenziale di Lévy sotto la misura neutrale al rischio: S t = S 0 exp ((r + ω)t + X t ), dove r è l intensità istantanea di interesse e ω è la correzione per la convessità del logaritmo. Il coefficiente ω appare nella forma esponenziale poiché è necessario che il processo sia una martingala, come richiesto dalla teoria dell asset pricing per eliminare le opportunità di arbitraggio. I modelli di Lévy sono stati applicati nell option pricing e recentemente utilizzati in modo crescente. Rispetto a quelli con volatilità stocastica, i modelli di Lévy hanno il vantaggio di rimanere nella famiglia dei processi markoviani uni-dimensionali. Inoltre i modelli a volatilità stocastica, avendo una componente di martingala esclusivamente continua/diffusiva, non sono i grado di descrivere il volatility smile/skew delle opzioni a breve scadenza. Ciò è dovuto al fatto che, in un breve intervallo di tempo, il moto browniano non genera abbastanza variazioni da ledere la continuità della traiettoria del processo. Tale problema invece non si verifica nei modelli di Lévy ad attività infinita, poiché in ogni intervallo di tempo di ogni lunghezza possono verificarsi un numero infinito di salti. Tuttavia i modelli di Lévy contraddicono il mercato sotto altri aspetti. Sotto i modelli di Lévy, la volatilità delle opzioni a lunga scadenza tende ad appiattirsi, sebbene il mercato mostri un livello di asimmetria significativo. Ciò ` dovuto all assunzione nei processi di Lévy di incrementi i.i.d.. Il teorema del limite centrale (CLT) indica che la somma di un gran numero di v.c. i.i.d. tende a distribuirsi normalmente, dunque sul lungo periodo la skewness e la curtosi descritte dai processi di Lévy tendono a scomparire per il CLT. Un ulteriore difetto dei modelli di Lévy sta nel fatto che siano processi a varianza costante e quindi non in grado di spiegare fenomeni come il volatility clustering, osservato nella volatilità delle serie storiche. Per risolvere tale 9

10 inconveniente dei modelli di Lévy base, alcuni ricercatori 10 hanno proposto modelli di Lévy a volatilità stocastica, costruiti con l aggiunta di un secondo processo markoviano per time-change la dinamica del processo di Lévy. Questi modelli combinano i vantaggi dei modelli di Lévy base e di quelli a volatilità stocastica, producendo una descrizione quasi perfetta del mondo reale e spiegando in modo accurato tutti gli aspetti del mercato delle opzioni. 10 P. Carr, H. Geman, D. Madan and M. Yor, Stochastic Volatility for Levy Processes, Mathematical Finance (2003) 10

11 6 Applicazione in VBA Public sigma As Double Public theta As Double Public nu As Double Public S_0 As Double Public dt As Double Public r As Double Public output Sub VG_path() sigma = Range("D4").Value theta = Range("D5").Value nu = Range("D6").Value N = Range("D8").Value dt = Range("D9").Value r = Range("D10").Value S_0 = Range("D11").Value output = Range("D13").Address Dim w As Double, drift As Double, S As Double, _ gdt As Double, X As Double w = Log(1 - theta * nu * sigma * sigma * nu) / nu drift = (r + w) * dt Randomize S = S_0 Range(output).Activate With WorksheetFunction For i = 1 To N gdt =.GammaInv(Rnd, nu, dt / nu) X = theta * gdt + sigma * Sqr(gdt) *.NormSInv(Rnd) S = S * Exp(drift + X) ActiveCell(i, 1).Value = S Next i End With End Sub 11

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