Risk Management: strategie di hedging. Econofisica Doc. Anna Pastorello

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2 Risk Managemen: sraegie di hedging Econofisica Doc. Anna Pasorello

3 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) Sraegia di assicurazione di porafoglio che garanisce in un empo fuuro un valore minimo (deo floor) di porafoglio

4 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) Non richiede di ipoizzare alcun modello saisico per il mercao Non richiede di fissare un orizzone emporale di validià

5 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) Il porafoglio W assicurao con CPPI viene suddiviso in due pari: W=A R Invesimeno rischioso Invesimeno non rischioso

6 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) I parameri della sraegia: Il floor f, espresso come percenuale del valore iniziale di porafoglio W0: il valore fw0 rappresena il valore di porafoglio minimo garanio in un empo fuuro. Il leverage facor L, definisce la percenuale di porafoglio che può essere dedicaa all invesimeno rischioso.

7 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) I parameri della sraegia: Il mulliplier M, deermina la riparizione del porafoglio ra invesimeni con rischio e senza rischio. Il paramero di olleranza T, espresso in valori percenuali rappresena la variazione percenuale massima olleraa del valore dell invesimeno rischioso A; se A/A>T si deve ricalibrare la sraegia.

8 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) I parameri di inpu della sraegia: Il muliplier Il paramero di olleranza

9 Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) Come la sraegia riparisce il porafoglio: 2. si calcola la quanià C = W (1-f) ; 3. si valua il prodoo MC ; se MC LW, si pone A = MC e R = W MC se MC LW, si pone A = LW e R = W LW 6. si orna al puno 1. ad ogni variazione di A superiore al paramero di olleranza.

10 Consan Proporion Porfolio Conclusioni Insurance (CPPI)

11 Consan Reurn Paricipaing (CRP) Sraegia di assicurazione di porafoglio che garanisce ad un deerminao empo fuuro un valore minimo (deo floor) di porafoglio.

12 Consan Reurn Paricipaing (CRP) Richiede di specificare il valore minimo F (floor) di porafoglio alla scadenza T Richiede di specificare l orizzone emporale T di validià della sraegia

13 Consan Reurn Paricipaing (CRP) Il porafoglio W è composo come segue: Floor W= F Numero di Call Opions deerminao dalla sraegia 1 r T nc S, X Underlyin g Tasso risk free Call Opions il cui srike X è un paramero deerminao dalla sraegia

14 Consan Reurn Paricipaing (CRP) Deerminazione del paramero n. n deriva dall imporre il valore iniziale W 0 al porafoglio W: W 0 F 1 r W T iniziale =W 0 n= C S,X

15 Consan Reurn Paricipaing (CRP) La CRP si pone l obieivo di rendere cosane il rapporo ra il rendimeno del porafoglio e il rendimeno dell underlying: W T W Associaed Reurn Paricipaing = W S T S S

16 Consan Reurn Paricipaing (CRP) Deerminazione del paramero X. X deriva dall imporre che l Associaed Reurn Paricipaing non dipenda dal valore dell underlying: S =0 Equazione implicia in X

17 Consan Reurn Paricipaing (CRP) Conclusioni

18 Discree Hedging Sraegia di hedging di un porafoglio composo da un opzione e da una cera quanià di underlying: l underlying è enuo in porafoglio per immunizzare il valore dell opzione Discreizzazione di Black&Scholes

19 Discree Hedging La composizione del porafoglio W immunizzao: W=V X,S ΔS Valore dell opzione Srike Underlying Quanià di underlying da enere in porafoglio per immunizzare l opzione

20 Discree Hedging Si suppone che l underlying sia descrio dal seguene processo socasico discreo: La leera δ (incremeno discreo) è conrapposa a d (incremeno infiniesimo) = δ x S=e x =1 x x σ2 μ 2 δ σε δ Drif di S al prim ordine Volaiià di S al prim ordine Variabile casuale normale sandard

21 Discree Hedging Deerminazione della quanià di underlying da enere in porafoglio: Δ= V S Varianza [ δ W ] =0 Δ δ μ r σ2 2 S 2 V S 2... Possibilià di inserire le aspeaive del mercao o dell operaore nella formula di hedging

22 Discree Hedging Formula di pricing dell opzione secondo il Discree Hedging: δ W δ 1 2 r2 δ... 2 W E [ ]= r Condizione di porafoglio risk free V 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 rs V S rv 1 2 δ μ r r μ σ 2 S 2 2 V S 2...=0

23 Discree Hedging Hedging error δw rw δ = Volailià implicia ricavaa dal mercao con la formula di Black&Scholes =S Δ V S rδ δs S 1 2 V [ δs 2 2 S2 S 2 σ 2 S i ] δ

24 Conclusioni Discree Hedging

25 Immunizzazione a minimo rischio (IMR) Sraegia di hedging di un porafoglio composo da srumeni il cui faore di rischio è la sruura dei assi di ineresse

26 Immunizzazione a minimo rischio (IMR) Si basa sul eorema di immunizzazione a minimo rischio di Fong e Vasicek (1982): si raa di replicare un porafoglio di aivià (di bond) con un porafoglio di passivià (di bond)

27 Immunizzazione a minimo rischio (IMR) Teorema di immunizzazione a minimo rischio (Fong,Vasicek) Il x porafoglio delle aivià al empo ha valore y W(,X), essendo un veore di x flussi di cassa posiivi, ed il porafoglio delle passivià, ha nello sesso isane, valore W(,Y), essendo un veore di flussi di cassa sulle sesse scadenze di δ., Deo K un numero reale casuale, SE k =δ, k Y k W(,X)=W(,Y) la variazione del asso isananeo di ineresse δ è del ipo per ciascuna scadenza k

28 Immunizzazione a minimo rischio (IMR) = = = = n k n k k k k j k k k j n j y v y y v x y D x D k k 1 1 1,2,..., ),, ( ),, ( ), ( ), ( [ ] ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( (2) (2) y D x D K y W y W x W Duraion Faore di scono Momeno del second ordine

29 Immunizzazione a minimo rischio Vanaggi: (IMR) È possibile inrodurre vincoli sulla ricerca delle passivià che soddisfano le ipoesi del eorema. Es. Vincoli sui cosi di immunizzazione