La struttura a termine dei tassi d interesse. Benedetto Matarazzo

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1 La sruura a ermine dei assi d ineresse Benedeo Maarazzo

2 Corso di Maemaica Finanziaria Sruura per scadenza dei assi di ineresse Generalià sul mercao dei capiali La sruura per scadenza dei assi d ineresse Prezzi dei ioli e assi di ineresse di mercao Tassi spo Tassi forward Relazione ra assi spo e farward Meodi di misurazione

3 Indice. Sruura a ermine dei assi d ineresse SPOT. 2. Sruura per scadenza implicia FORWARD. 3. Teorie e forme della sruura per scadenza 4. La misurazione della sruura per scadenza.

4 Sruura SPOT La sruura a ermine o per scadenza dei assi di ineresse al empo rappresena la relazione ra i prezzi (o i assi di rendimeno) dei ioli preseni su un dao mercao e le loro scadenze T o durae T- Mercao dei capiali sruurao su m periodi 0,, 2,, m V( 0, k ): prezzo a proni (in 0 ) di uno zero coupon bond uniario, con k =, 2,, m. Mercao compleo rispeo alla sruura dei assi SPOT i( 0, k ), ossia dei assi ivi vigeni nel periodo [ 0, k ].

5 Sruura SPOT (segue) V(0,): prezzo di uno zero coupon bond uniario scadene al empo e valuao al empo 0 [sc()]; N.B: V(0,s)>V(0,) per s<; V(0,0)==V(,). 0 -V(0,) ) V(0, ) ) = ) V (0, Legge finanziaria ad una variabile ) Faore di aualizzazione (decrescene con ): v(0, ) = ) - V(0, ) = v(0, ). i(0, ): asso periodale vigene in [0, ], valuao in 0. (0, ): asso isananeo vigene in [0, ], valuao in 0. r (0, ) i(0, e )

6 ) i(0, ) Sruura SPOT (0, ) i(0, ) e r 0, ; 0 i 0, V 0, V, ( 0, ) log, 0, e r 0, log i0 Tasso di rendimeno effeivo del sc() spo o a proni (valuao e praicao in 0) Mercao finanziario: sc scadeni in empi diversi valori dei assi spo per possibili durae ( curva zero-coupon, che descrive le relazioni scadenza-rendimeno ). Inerpolando ed esrapolando ali valori sruura a ermine (o per scadenza, inesa come via residua del iolo) dei assi d ineresse vigeni ed osservai in quell isane (ossia assi a proni per ue le possibili scadenze), dea anche yeld curve: 0, e 0,, i 0 Sruura piaa: i(0, ) = i(0) = i>0,,, ossia: i 0, (0, ) = (0) = 0, (segue) ossia si considera un unico asso di mercao per ue le scadenze fuure V 0, (in ermini di prezzo)

7 Sruura SPOT (segue) Esempi di sruura a ermine (prima dell euro) Informazioni saiche, dinamiche, spaziali:

8 Conrai a ermine V( 0,, 2 ) : prezzo fissao in 0 per esecuzione (consegna/pagameno) a ermine di uno zero coupon bond uniario per il periodo ra due scadenze, 2, ( 0 < < 2 ) I assi SPOT per i periodi ( 0, ) e ( 0, 2 ) individuano il asso in vigore ra il empo 0 della sipula ed esecuzione del conrao e la scadenza (rimborso del iolo) dello sesso (rispeivamene e 2 ) Tassi FORWARD i( 0,, 2 ): si riferiscono ad operazioni di acquiso di sc con epoca della sipula ( 0 ) anecedene quella dell esecuzione ( ) e del rimborso ( 2 ), ossia, ad un conrao a ermine ( 0 < < 2 ), che più in generale è un accordo sipulao al empo 0 per lo scambio ad una daa fuura prefissaa (scadenza del conrao forward) di un bene (deo soosane) ad un prezzo prefissao in 0 (deo prezzo a ermine o forward) con consegna e pagameno al empo ; Tali assi sono perciò chiamai assi forward di mercao. N.B. Al momeno della sipula ( 0 ) il valore del conrao è, per definizione, nullo. Se il soosane è un sc, esso avrà una sua scadenza (daa del rimborso uniario). Il prezzo forward V( 0,, 2 ) dipende allora dalla daa di sipula ( 0 ), dalla scadenza del conrao ( ) e dalla scadenza del soosane ( 2 ).

9 Sruura implicia FORWARD V(0, ): prezzo convenuo al empo 0 di uno zero coupon bond scambiao al empo s e scadene al empo (0 < s < ). Sipula (Impegno) Esecuzione (Tiolo/Prezzo) 0 s -V(0,) ) Fine (Rimborso) V(0, ) ) = r, 0 V 0, Legge finanziaria a due variabili i(0, ): asso periodale vigene in [ ], valuao in 0. (0, ): asso isananeo vigene in [ ], valuao in 0. s 0, i 0, s r, e 0, s, s

10 Sruura implicia FORWARD s r 0, i 0, s 0, r 0, ; s V 0, i 0, s i 0, s, log r 0, log i 0, V 0, e 0, s Tasso di ineresse (di rendimeno) forward o a ermine effeivamene praicao sul mercao al empo 0 per il periodo [ ] (0 < s < ). Vendie allo scopero (shor sales): e 0, s (segue) 0 +V(0,) - r 0, V 0, Equivalene ad un finanziameno (o all emissione di un sc) per il periodo [0, ] allo sesso asso i(0, ) 0 r 0, i, V 0,

11 Relazioni ra assi spo e forward Ipoesi: - Assenza di arbiraggio (assioma di coerenza): non è possibile realizzare un profio esene da rischio ed illimiao senza impiegare capiale proprio, ossia semplicemene effeuando sul mercao operazioni a proni e a ermine. ) 0 s s) ) NO: s) ) <[>] ) Equivalene a: - Condizione di scindibilià (capializzazione composa):, s r 0, r 0 r 0,, ossia: i 0, s s i, s 0 Considerando ui i periodi uniari [ k-, k ] ra s e : operazioni roll-over di disinvesimeno ed invesimeno immediao ai assi periodali i( 0, k-, k ). i 0,

12 Relazioni ra assi spo e forward 0, s r 0, r 0 r, i 0, s s i, s i 0, (forward) ovvero: s 0, ) ossia, in ermini di assi (periodali ed isananei): s 0 i 0, i 0, s (spo) s 0, ) s) i 0, s 0, s (segue) V (0, s) V (0, ) (0<s<) e quindi in capializzazione coninua il asso a lunga [(0,)] è una media arimeica ponderaa dei assi a breve spo [(0,s)] e forward [(0,)] I assi forward sono conenui impliciamene nella sruura (a ermine) dei assi spo (assi a proni); sono perano anche dei assi implicii

13 Relazioni ra assi spo e forward Siano 0= 0 < < < n- < n = e 0 h- s < h. k ) (segue) ) k ) 0 )..., k,..., n. 0 ) k ) r, r 0,, r 0, 0 k k k Per la condizione di coerenza, si ha: ossia: k, k ) Per leggi a ermine: k ) ) k da cui r( 0, k ) h ) h, h ) h, h 2 )... k, In ermini di assi periodali, per k = n = : r( 0, k ) ) 0, ), 2 )... k, k s n (0,, ) (0,, ) (0,, ) h s j j i s i s i. r( 0, ) h 0 k jh Perano, il asso periodale (cosane) i(0,), s=0,,, n- è una paricolare media funzionale dei assi i(0, h )=i( 0, h ), i(0, h, h+ ),,i(0, n-, n )=i(0, n-,), ossia è una media dei assi a ermine nell inervallo []; il primo di ali assi sarebbe un asso a proni se fosse s=0. j j k ). ).

14 Relazioni ra assi spo e forward (segue) Siano 0= 0 < < < n- < n scadenze periodiche uniarie, ossia k =k, k=0,,,n. Si considerino i assi farward monoperiodali i(0,k,k+), dei anche assi shor, valuai in 0 =0, relaivi al singolo periodo k,k+, in funzione dei corrispondeni assi spo i(0,k), i(0,k+). Si ha: i(0, k, k ) i(0, k i(0, k) k ) i(0, k ) i(0, k) k k i(0, k ). Allora, se i assi spo monoperiodali sono cresceni, ossia i(0,k)<i(0,k+), il corrispondene asso farward (shor) i(0,k,k+) sarà maggiore di ali assi, essendo i(0,k,k+)>i(0,k+)>i(0,k). Perano, la curva rappresenaiva dei assi farward monoperiodali (assi shor) giacerà al di sopra di quella dei assi spo. Se, invece, i assi spo decrescono, i corrispondeni assi shor saranno minori di essi e la curva rappresenaiva dei assi farward monoperiodali (assi shor) giacerà al di soo di quella dei assi spo. Di conseguenza, la curva dei assi farward monoperiodali inersecherà quella dei assi spo rispeivamene in corrispondenza dei puni di massimo o di minimo relaivo. Perano, ra i assi shor ed i assi spo valgono le sesse relazioni inercorreni ra grandezze marginali (assi shor) e medie (assi spo).

15 Relazioni ra prezzi spo e forward Deerminazione del prezzo forward V(0, ) compaibile con l assenza di opporunià di arbiraggio (0<s<) Flussi di cassa di una sraegia di rading che prevede: * al empo 0 emissione di un sc con scadenza in al prezzo V(0,), acquiso di Q=V(0,)/V(0,s) sc scadeni in s al prezzo V(0,s) * al empo s incasso dei Q sc ivi scadeni * al empo rimborso del sc ivi scadene Operazione Tempo 0 s emissione di un sc() +V(0,) - acquiso di Q sc(s) - [V(0,)/V(0,s)]V(0,s) +V(0,)/V(0,s) conrao forward -V(0,) + Toale 0 V(0,)/V(0,s)-V(0,) 0 e quindi: V(0,)= V(0,)/V(0,s)= s)/) (unico prezzo compaibile con l ipoesi).

16 saiche (osservazioni allo sesso empo): forma della curva dei assi per diverse scadenze dinamiche (osservazioni in empi diversi): l evoluzione della sruura a ermine spaziali (osservazioni in mercai diversi): confroni ra diversi Paesi Le principali eorie e le possibili forme della sruura a ermine Teoria delle aspeaive: le diverse forme rifleono le aese del mercao circa l andameno fuuro dei assi di ineresse: assi forward auali i(0,,k) spo a anno. Dinamica dei assi spo fondaa sulle aspeaive. - Cresceni (incremeno) - Decresceni (ribasso) - Piae (invarianza) - Con la gobba (rialzo seguio da un ribasso) - Con un minimo inermedio (ribasso seguio da un rialzo) Teoria del premio per la liquidià: aspeaive di maggior rendimeno per ioli con scadenza più lunga, con minore liquidià e più sensibili a variazioni di asso di mercao. La differenza ra assi a breve e assi a lungo: risk premium e liquidiy premium; giusificherebbe una curva dei assi crescene Teoria della segmenazione dei mercai: chiare preferenze degli invesiori per alcuni inervalli di scadenze (domanda ed offera). Informazioni oenibili:

17 La misurazione della sruura a ermine Osservazione dei prezzi degli zero coupon bonds e di alri ioli obbligazionari con opporune scadenze - problemi di sima (boosrapping: sc + ioli con cedola) - approssimazioni con T.I.R. e scadenze medie per i ioli complessi. Misurazione come problema di algebra lineare (sisema lineare mn, m ioli con cedola ed n scadenze dei flussi) 2. Modelli paramerici (adaameno di opporune funzioni: inerpolazione lineare, logarimica (Bradley e Crane), meodi di McCulloch, Hougle, ); sima dei parameri, spesso col meodo dei minimi quadrai 3. Sima come problema di programmazione lineare (oimizzazione di porafoglio)