Ciclo di seminari: Metodi Computazionali per la Finanza

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1 Ciclo di seminari: Metodi Comutazionali er la Finanza C.d.L.M. Finanza e Assicurazioni a.a. 2018/2019 Lezione 2: Alberi Binomiali

2 Modelli binomiali Modello additivo e moltilicativo Modello { binomiale additivo: a R, con rob. G n = b R, con rob. 1 v.a.i.i.d. n {Y n} : Y 0 := y 0, Y n = G i = Y n 1 + G n moltilicativo: { u, con rob. H n = d, con rob. 1 v.a.i.i.d. {S n} : S 0 := s 0, S n = i=0 n H i = S n 1H n Legame modello additivo modello moltilicativo i=0 {S n} rocesso moltilicativo { Y n := ln ( S n S 0 )} rocesso additivo {Y n} rocesso additivo {S n := ex (Y n)} rocesso moltilicativo

3 Modello additivo e moltilicativo Schema modelli binomiali y 0 y 0 +2a y 0 +a 1 1 y 0 +a+b 1 1 y 0 +b 1 y 0 +2b 1 y 0 +3a y 0 +2a+b y 0 +a+2b y 0 +3b s 0 s 0 u 2 s 0 u 1 1 s 0 ud 1 1 s 0 d 1 s 0 d 2 1 s 0 u3 s 0 u 2 d s 0 ud 2 s 0 d 3 t=0 t=1 t=2 t=3 t=0 t=1 t=2 t=3 Albero ricombinante con robabilità Prob = N k (1 ) n k

4 in Finanza Modello di mercato a temo discreto: n istanti di valutazione, t = 0 temo iniziale e t = T temo finale titolo non rischioso B (rendimento r costante) titolo rischioso S (moltilicativo) derivato D (moltilicativo) con d < e r < u Problema: determinare il rezzo D del derivato al temo iniziale, in modo che risulti comatibile con il mercato soluzione: costruire un ortafoglio che relichi, a scadenza, esattamente il ayoff del derivato.

7 Schema modello binomiale er un derivato D t Formula binomiale D 0 1 D u D d 1 1 D D uuu D uuuu uu 1 1 D uud D uuud D ud 1 D uudd 1 D udd 1 D uddd D dd 1 D ddd 1 D dddd

8 due istanti di valutazione (t = 0 e t = 1) D = S + B = e r [D uq + D d (1 q)], Go Back con = Du D d S(u d), B = ud d dd u e r (u d), q = er d u d Tre istanti di valutazione (t = 0, t = 1, t = 2) Calcolare D u, D d come se fossimo in t = 1 ed avessimo due alberi uni-eriodali + calcolare D come se fossimo in un albero uni-eriodale con Payoff = [D u, D d ] N istanti di valutazione (t = 0, t = 1,..., t = N) Calcolare Duu }{{... u,..., D } dd }{{... d come se fossimo in t = N 1 ed avessimo } N N N alberi uni-eriodali + calcolare Duu }{{... u,..., D } dd }{{... d come se fossimo in } t = N 2 ed avessimo N 1 alberi uni-eriodali + etc. etc. (Backward induction) N 1 N 1

11 Esercizio 1 Sia (S k ) k un rocesso binomiale moltilicativo con arametri = 0.55, u = 1.1, d = 1/u, S 0 = 100, e sia t = 3. Si consideri un mercato in cui vi sono resenti i seguenti titoli: un azione, il cui andamento del rezzo è descritto dal rocesso S dato; un titolo non rischioso, caratterizzato dal fattore di sconto e r = un ozione call euroea scritta sull azione, con rezzo d esercizio K = 100 e scadenza t = 3; un ozione ut americana scritta sull azione, con rezzo d esercizio K = 100 e scadenza t = 3. In tale mercato: 1 calcolare il valore della call in ogni nodo dell albero, con il rocedimento a ritroso ; 2 calcolare il valore della ut americana er ogni nodo dell albero, con il rocedimento a ritroso. Costruire un aosito file di funzione ed inserire un aosito hel.

12 La volatilità imlicita Un esemio di dinamica del sottostante Figure: Dow Jones Index at 500 days (08/09/ /08/1999). Source: Numerical Methods for Otion Pricing in Finance, R.H.W. Hoe, 2013

13 La volatilità imlicita Mercato comleto (1 asset + 1 titolo non rischioso) { dbt = B t rdt ds t = S t µdt + S t σdw t B t = B 0 e rt S t = S 0 ex ) } {(µ σ2 2 t + σw t Problema: Determinare il rezzo al temo τ < T di un titolo derivato che aga H(S T ) a scadenza Soluzione: formula di Black e Scholes rd τ = D t σ2 Sτ 2 2 D S 2 + rs D τ S, D T := D(S, T ) = H(S T ).

16 La volatilità imlicita Soluzioni eslicite della formula di Black e Scholes Se H(S T ) = (S T K) + (call otion), allora D(S, τ) = S τ Φ(d 1 ) Ke r(t τ) Φ(d 2 ), con ( ) ) d 1 = ln Sτ K + (r + σ2 2 (T τ) σ T τ e d 2 = d 1 σ T τ Se H(S T ) = (K S T ) + (ut otion), allora D(S, τ) = Ke r(t τ) Φ( d 2 ) SτΦ( d 1 ).

17 La volatilità imlicita : arossimazione del rezzo di ozioni (eur/am) nel modello di Black e Scholes Problema: come scegliere i arametri del modello? CRR (1979) u = e σ t, d = e σ t, q = Jarrow & Rudd (1983) Trigeorgis (2011) q = 1 2, u = e ( r σ2 2 ( r σ2 2 2σ ) t ) t+σ ) t (r, d = e σ2 t σ t 2 ( ( ) 2 u = ex r σ2 ( t) 2 + σ 2 2 t, d = 1 u, q = r σ2 2 ln(u) ) t

18 La volatilità imlicita Esercizio Sia S il rezzo di un azione, descritto da un moto Browniano geometrico, con σ = 0.2, S 0 = 100. Si consideri un ozione call sull azione, con scadenza 1 anno e strike rice ari a K = 100. Sia r = 0.06 annuo. 1 calcolare il rezzo di non arbitraggio della call in t = 0, utilizzando la formula di Black e Scholes; 2 calcolare il valore della call mediante l arossimazione binomiale er n = 10, 100, 1000 eriodi e confrontare i valori ottenuti; 3 calcolare il valore della ut americana, avente gli stessi arametri della call, mediante l arossimazione binomiale con n = 1000 eriodi. Costruire un aosito file di funzione ed inserire un aosito hel.

19 La volatilità imlicita Attenzione! D(S, τ) = S τ Φ(d 1 ) Ke r(t τ) Φ(d 2 ) ( ) ) d 1 = ln Sτ K + (r + σ2 2 (T τ) σ T τ d 2 = d 1 σ T τ σ nota solo nel assato dobbiamo redire σ. Come? volatilità storica vs. volatilità imlicita

22 La volatilità imlicita Volatilità imlicita Volatilità storica: deviazione standard annualizzata delle variazioni logaritmiche del rezzo del sottostante Volatilità imlicita: (unica) soluzione dell equazione C (σ) = C 0, con C (σ) : rezzo BS ozione call C 0 : rezzo di mercato ozione call No soluzione in forma chiusa metodo di Newton-Rahson

25 La volatilità imlicita Il metodo di Newton-Rahson A B x 0 x 1 C = ξ

26 La volatilità imlicita Suerficie di volatilità imlicita Imlied volatility surface Moneyness Maturity

27 La volatilità imlicita Esercizio Sia S il rezzo di un azione, descritto da un moto Browniano geometrico e sia C una ozione call sul sottostante S. Calcolare il valore della volatilità del titolo S, noti lo sot rice S 0 = 21, il rezzo di esercizio K = 20, il temo di esercizio T = 0.25, il tasso d interesse risk-free r = 0.01 ed il rezzo di mercato al quale viene venduto il claim C = Costruire un aosito file di funzione ed inserire un aosito hel.

28 La volatilità imlicita Nel caso di dati reali... Per scaricare i dati: htt:// Per maggiori dettagli: R.Cont, J. Fonseca (2002) Dynamics of imlied volatility surface, Quantitative Finance 2,