UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Alessandro CIPOLLINI Luigi SANTAMARIA UNA GENERALIZZAZIONE DEL MODELLO BLACK-SHOLES

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1 UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE ISTITUTO DI STATISTICA Alessandro CIPOLLINI Luigi SANTAMARIA UNA GENERALIZZAZIONE DEL MODELLO BLACK-SHOLES Serie E.P. N Dicembre 25

2 Finito di stampare nel mese di Dicembre 25 Da MULTISERVER S.r.l. Via Galliate, Romentino (Novara 2

3 UNA GENERALIZZAZIONE DEL MODELLO BLACK-SHOLES. * Alessandro Cipollini, Luigi Santamaria. Laboratorio di Statistica applicata alle Decisioni Economiche-Aziendali Istituto di Statistica Università Cattolica del Sacro Cuore-Milano. ABSTRACT. Un assunzione comune nel modello di Black and Sholes è che le fluttuazioni del valore del sottostante siano descritte da un moto Browniano geometrico. E del tutto naturale pensare che tali fluttuazioni siano modellizzabili attraverso un generico processo stocastico che dipende da alcuni parametri strutturali che possono essere scelti a partire dal contesto finanziario. Da questo punto di vista è chiaro che risulta estremamente approssimativo descrivere i deversi scenari finanziari che condizionano direttamente il valore del sottostante utilizzando solo la volatilità stocastica ed il drift che compaiono nell esponente del moto Browniano geometrico. L obbiettivo che ci siamo posti è quello di estendere il meccanismo di Black and Sholes per stabilire i prezzi di un titolo derivato al caso in cui il valore del sottostante sia ben descritto da una diffusione di Ito. E possibile definire una formula più generale che sostituisce la ben nota di Black and Sholes. In particolare risulta possibile caratterizzare il processo che descrive i prezzi del derivato lungo l orizzonte finanziario come soluzione di una Equazione alle Derivate Parziali del tutto similare all equazione di Black-Sholes-Merton. Essendo il modello comunemente usato da Black and Sholes una diffusione di Ito è possibile ritrovare i risultati ben noti in letteratura. Infine come esempio di diffusione di Ito abbiamo utilizzato il processo di Ornstein and Uhlenbeck che sembra adattarsi bene a descrivere situazioni in cui il valore del sottostante è presunto a scadenza Out of Money eccetto imprevisti particolari. * Parole chiave: Formula di Black and Sholes, Diffusioni di Ito, Opzioni Europee, etc. 1

4 1. Introduzione Supponiamo di voler studiare l andamento di un titolo di borsa, lungo l orizzonte finanziario [, T]. Chiamato S = {S t } t [,T], il valore del sottostante che il titolo assume nell arco temporale [, T] e B = {B t } t [,T] tasso di cambio, comunemente si assume che: B t = e rt, S t = xe σw t+µt, t [, T], r [, 1], (1 ove µ R è una costante detta drift che rappresenta la tendenza del titolo, σ è la volatilità stocastica e W = {W t } t [,T] è un moto Browniano definito in uno spazio di probabilità (Ω, F, P rispetto alla filtrazione {F t } t [,T]. Si noti che B = {B t } t [,T] è il comune tasso di cambio in un regime di interesse esponenziale con tasso r [, 1]. In letteratura, si veda ad esempio [1] per una definizione rigorosa, la coppia di funzioni (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] viene chiamata modello di Black and Sholes. Si osservi che, essendo W = {W t } t [,T] moto Browniano tale che ciascuna traiettoria W t : (Ω [, t], F (R, B(R (t [, T]continua con probabilità P uguale ad 1, segue che similmente S = {S t } t [,T] ha ancora traiettorie S t : (Ω [, t], F (R, B(R (t [, T]continue con probabilità P uguale ad 1. Inoltre W è adattato in {F t } t [,T], cioè le sue traiettorie sono tali che W t F t (t [, T], di modo che la mappa W t : (Ω [, t], F t (R, B(R (t [, T]è misurabile. Di conseguenza anche S è adattato in {F t } t [,T]. Si può facilmente dimostrare che la funzione aleatoria S è una soluzione forte nella filtrazione {F t } t [,T] dell Equazione Differenziale Stocastica (E.D.S.: { dst = σs t dw t + (µ σ 2 /2S t dt, t (, T] S = x. Di conseguenza: ds t dt = µs t + σ dw t, t [, T] (3 dt con S = x dato iniziale. L equazione (3 chiarisce l interpretazione finanziaria del modello (1 : fissato un qualunque tempo t [, T], la variazione infinitesimale del valore del sottostante S al tempo t è funzione del valore del sottostante al tempo t medesimo e della variazione infinitesimale di un fattore casuale W. In particolare si noti che se poniamo σ = allora si ottiene l Equazione Differenziale Ordinaria (2 ds t dt = µs t, t [, T], (4 2

5 che corrisponde ad assumere che la variazione infinitesimale al tempo t del valore del sottostante sia direttatamente proporzionale al valore che esso assume all inizio del periodo d osservazione, cioè al tempo t medesimo. In quest ottica il parametro µ, detto drift, è esattamente la costante che specifica tale relazione di proporzionalità diretta. Al contrario ponendo µ = nella (3 si ottiene l Equazione Differenziale Stocastica ds t dt = σdw t, t [, T], (5 dt che corrisponde ad assumere che la variazione infinitesimale al tempo t del valore del sottostante sia direttamente proporzionale alla variazione infinitesimale del processo casuale W. Come prima il parametro σ detto anche volatilità stocastica è la costante che specifica tale relazione di proporzionalità. In particolare il fattore dw t /dt (t [, T], comunemente detto rumore bianco, interpreta la variazione infinitesimale del sottostante dovuta a fluttuazioni casuali. Ora osserviamo che, definite le due funzioni b(x = (µ σ 2 /2x ed σ(x = σx (x R, la (2 diviene: { dst = σ(s t dw t + b(s t dt, t (, T] (6 S = x. Si noti che la (6 equivale alla seguente Equazione Differenziale, del tutto analoga alla (3 : ds t dt = b(s t + σ(s t dw t, t [, T], (7 dt con S = x condizione al bordo. Di conseguenza, ragionando in modo del tutto similare a prima, possiamo identificare la funzione b con il drift e la funzione σ con la volatilità stocastica. Similmente dw t /dt (t [, T] è il rumore bianco che interpreta la fluttuazione puramente casuale del valore del sottostante. E chiaro che, al fine di rendere più vicino alla realtà il modello assunto per interpretare le fluttuazioni del valore del sottostante, è necessario presupporre che sia il drift b che la volatilità stocastica σ abbiano una forma funzionale generica. Ad esempio possiamo dover supporre che b(x = λx (λ > ed σ(x = σ (x R cui corrisponde la seguente Equazione Differenziale Stocastica: { dst = λs t dt + σdw t, t (, T] S = x. 3

6 Si noti che essendo λ >, λ è un drift negativo bilanciato dall effetto della pura fluttuazione casuale: ds t dt = λs t + σ dw t dt, t [, T]. Confrontando con la (3 è immediato vedere che dal punto di vista finanziario stiamo supponendo di essere nel caso in cui il valore del sottostante sia decrescente nel tempo con una costante di proporzionalità diretta pari a λ e nel contempo tale decrescita sia bilanciata da fluttuazioni casuali nel senso opposto. E un contesto in cui sarebbe ragionevole aspettarsi che l Opzione sia a scadenza Out of the money, eccetto imprevisti particolari. Obbiettivo del nostro lavoro è generalizzare la formula di Black and Sholes ed in particolare i meccanismi di Asset Price Forecast al caso in cui il processo S, valore del sottostante, è una soluzione forte dell Equazione Differenziale Stocastica: { dst = σ(s t dw t + b(s t dt, t (, T] S = x. per valori delle funzioni b e σ generali. Chiaramente b e σ dovranno soddisfare alcune condizioni strutturali dal punto di vista funzionale. Equivalentemente, ponendo a(x = σ 2 (x (x R, si ha che S soluzione della (8 è una diffusione di Ito di parametri funzionali a e b. Nel paragrafo 2, per facilitare la comprensione dei paragrafi successivi, riportiamo una costruzione analitica del modello di Black and Sholes. I paragrafi 3 e 4 costituiscono la parte centrale del nostro lavoro; in essi interpretiamo l andamento del valore del sottostante S con una generica diffusione di Ito i cui parametri (drift e volatilità sono funzioni di forma generica. In particolare nel paragrafo 3 analizziamo un contesto finanziario in cui il tasso d interesse è banale (r =, viceversa nel paragrafo 4 un contesto in cui il tasso d interesse è non banale (r (, 1. In entrambi i paragrafi sopra citati. La nostra idea è che la forma funzionale di tali parametri dipenda fortemente dal contesto finanziario in cui l investitore si trova; pertanto obbiettivo dei due paragrafi è determinare formule generali che possano essere esplicitate una volta scelti b e σ. A titolo esemplificativo, nel paragrafo 5, abbiamo scelto di riportare i risultati ottenuti in due casi specifici: il caso in cui b e σ sono definiti come nel modello di Black and Sholes, in modo da mostrare che (1 è solamente una delle possibile scelte, ed infine il caso in cui b e σ descrivono un contesto finanziario in cui il valore del sottostante, salvo imprevisti, decresce nel tempo. 4 (8

7 2. Preliminari. Abbiamo pensato di premettere una delle possibili costruzioni analitiche del modello di Black and Sholes, al fine di facilitare la comprensione dei passaggi effettuati nei paragrafi successivi. Sia (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] modello di Black and Sholes, come riportato in (1 e consideriamo il titolo derivato X nell orizzonte finanziario [, T]. Per quasi tutti i tipi di titoli derivati è ragionevole supporre che esista una mappa f : R R per cui X = f(s T ; in questi casi comunemente è detto che il derivato X è funzione del valore che il sottostante assume a scadenza (esempio elementare è il caso in cui f(x = (x k + oppure f(x = (k x + che corrisponde rispettivamente ad un Opzione Call o ad un Opzione Put. Chiaramente a questo punto il derivato X è una variabile aleatoria definita nello spazio di probabilità (Ω, F, P tale che X F T ed E P X <. Riassumiamo in breve il meccanismo attraverso il quale è possibile stabilire il prezzo che il titolo derivato X deve avere affinchè sia garantita la condizione di non-arbitraggio. Innanzitutto osserviamo che, eccetto nel caso in cui r =, il tasso di cambio B è tale che B t 1 (t [, T], pertanto definiamo valore del sottostante puro il processo stocastico Z = {Z t } t [,T] definito come Z t = B 1 t S t = xe σw t+(µ rt. t [, T] (9 Possiamo dedurre utilizzando la formula di integrazione per parti che Z è la soluzione forte rispetto alla filtrazione originaria {F t } t [,T] della seguente Equazione Differenziale Stocastica: { dzt = σz t dw t + (µ σ 2 /2 rz t dt, t (, T] Z = x. Chiaramente l equazione (1 è del tutto paragonabile ad (2 e conseguentemente può essere interpretata in modo analogo. Un metodo spesso usato in teoria della Probabilità è utilizzare il teorema di Girsanov ([2] per costruire una misura assolutamente continua rispetto a P secondo la quale processi stocastici generali diventano Martingale. Essendo questo passaggio fondamentale per l estensione dimostrata nell articolo, conviene richiamare brevemente i passaggi. Definiamo nello spazio di probabilità (Ω, F, P il processo stocastico ( dq { = exp dp F t ( µ r σ 2 /2 σ 5 W t 1 2 ( µ σ 2 /2 r σ 2t }, (1

8 per ogni t [, T]. Sia {Q t } t [,T] : F t [, 1] successione di misure definite sullo spazio misurabile (Ω, F in modo che: per ogni t [, T]. Q t (A = E P[( dq dp F t 1 A ], A F t, (11 Verifichiamo che {Q t } t [,T] sia realmente una successione di misure propriamente dette: Lemma 2.1 Si consideri W = {W t } t [,T] moto Browniano definito nello spazio di probabilità (Ω, F, P rispetto alla filtrazione {F t } t [,T]. Allora {Q t } t [,T] : F t [, 1] sono misure di probabilità definite sullo spazio misurabile (Ω, F consistenti, i.e. Q t Fs = Q s (t, s [, T] : s t. Proof Si consideri il processo stocastico β = {β t } t [,T] definito come: β t = ( µ r σ 2 /2 σ dw s = ( µ r σ 2 /2 σ W t. E chiaro che, essendo W t F t (t [, T], β è un processo stocastico continuo ed adattato rispetto a {F t } t [,T] e, dal teorema d Integrazione Stocastica ([2], segue che è una Martingala Locale. Si noti che: [β] t = ( µ r σ 2 /2 2ds ( µ r σ 2 /2 2t ( µ r σ 2 /2 2T = < σ σ σ per ogni t [, T]. Pertanto β è un processo a variazione quadratica finita nell intervallo limitato [, T]. Poniamo per ogni t [, T] : ( dq { = e β t [β] t /2 = exp dp F t ( µ r σ 2 /2 σ W t ( µ r σ 2 /2 σ 2t/2 }. E ben noto (si veda ad esempio ancora [2] che ( dq/dp Ft (t [, T] è una Martingala, {F t } t [,T] -adattata, uniformemente integrabile e tale che ( dq/dp F = 1 con probabilità 1. Poniamo {Q t } t [,T] come in (1 e dall additività dell integrale di Lebesgue segue che Q t : F t [, 1] è realmente una misura per ogni t [, T]. 6

9 Infine: i.e. sono consistenti. E P[( dp ] Ft = E P[( dp ] Fs, s t, dq dq Il processo stocastico β è uniformemente integrabile e questo, insieme al teorema di Convergenza delle Martingale ([2], assicura l esistenza una misura Q : F T [, 1] definita sulla σ algebra F T tale che Q = Q T, per consistenza. E importante sottolineare che sia l espressione (11 sia lo stesso lemma 1.1 possono essere estese, come d altronde fatto nei paragrafi 2 e 3, purchè le funzioni b = b(x ed σ = σ(x (x R soddisfino una particolare condizione integrale ((C.I e (C.III. Sia X un titolo derivato, rappresentato da una variabile aleatoria X : Ω R F T misurabile ed integrabile rispetto alla misura P. E possibile definire un processo Π = {Π t } t [,T] che rappresenta il prezzo che il titolo derivato deve avere affinchè sia rispettato il principio di non arbitraggio: Theorem 2.2 Si consideri il modello (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] definito nello spazio probabilistico (Ω, F, P da (1, ed X un qualunque derivato osservato lungo l orizzonte finanziario [, T]. Esiste un processo stocastico Π = {Π t } t [,T], prezzo del derivato, adattato in {F t } t [,T] e definito come: Π t = e r(t t E Q[ X F t ], t [, T], (12 dove Q : F T [, 1] è la misura Q = Q T definita in (11. Proof Il primo passo per una dimostrazione rigorosa è mostrare che la misura Q è tale che Z processo stocastico che rappresenta il valore del sottostante opportunamente attualizzato è una Martingala in {F t } t [,T]. Dal teorema di Girsanov ([2] segue che il processo X t = W t [β, W] t (t [, T] è una Martingala Locale continua rispetto alla misura Q e alla filtrazione usuale {F t } t [,T]. In particolare: X t = W t + ( µ r σ 2 /2 σ ds = W t + ( µ r σ 2 /2 σ, t [, T]. Osserviamo che dx t dx t = dw t dw t = dt (t [, T] o analogamente [X] t = [W] t = t (t [, T], dal fatto che l integrale di Lebesgue definisce una misura assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue e pertanto ha variazione finita. Il teorema di caratterizzazione di Levi ([2] implica che X = {X t } t [,T] definito sopra è un {F t } t [,T] - moto Browniano rispetto alla misura Q. 7

10 Dall unicità della distribuzione di una soluzione forte di una Equazione Differenziale Stocastica segue che: ( µ r σ dz t = σz t [dw 2 /2 ] t + dt = σz t dx t, t [, T] σ rispetto alla misura Q. Di conseguenza, in distribuzione, la soluzione Z non può essere diversa dalla soluzione della seguente Equazione Differenziale Stocastica: { dzt = σz t dx t, t (, T] Oppure equivalentemente: Z t = x + Z = x. (13 σz s dx s, t [, T]. (14 Dalla (12 si vede facilmente che Z rispetto alla misura Q è una Martingala Locale in {F t } t [,T] ed inoltre è continua. Infine: E Q [ ] 2 [ σz s dx s = E Q ] σ 2 Zsds 2 = σ 2 E Q [Z s ]ds, per ogni t [, T]. Dalla (11 segue che, rispetto alla misura Q : Z t = xe σx t tσ 2 /2, t [, T], ove X è un moto Browniano in {F t } t [,T]. Pertanto per ogni t [, T] si ha che e conseguentemente ] ] σ 2 E [Z Q s 2 ds = x 2 e sσ2 σ 2 E [e Q 2σX s ds = x 2 e σ2t, E Q[ ] 2 σz s dx s = x 2 e σ2t x 2 e σ2t <, t [, T]. Dunque Z è una Martingala Locale in {F t } t [,T] rispetto alla misura Q, sia continua, sia limitata in L 2 e pertanto è una Martingala ben definita. Ora tornando all obbiettivo principale, definiamo E = {E t } t [,T] come E t = E Q [ e rt X F t ], t [, T] 8

11 valore atteso del derivato X al tempo T opportunamente attualizzato su tutto il periodo d osservazione. E elementare osservare che il processo E è una Martingala rispetto alla filtrazione {F t } t [,T] ed inoltre alla misura Q; si noti anche che E è uniformemente integrabile come successione di variabili aleatorie. Nello spazio probabilistico (Ω, F, Q abbiamo costruito due {F t } t [,T] -Martingale, i.e. Z ed E così che dal teorema di Rappresentazione delle Martingale ([2] segue che esiste un processo {F t } t [,T] -adattato φ = {φ t } t [,T] tale che: de t = φ t dz t, t [, T]. (15 Equivalentemente: E t = E Q[ ] X F t = E Q[ ] X F t + φ u dz u, t [, T]. (16 Consideriamo la strategia (φ, ψ = ({φ t } t [,T], {ψ t } t [,T] dove φ è definito dalla (15 e ψ come: ψ : ψ t = E t φ t Z t, t [, T]. (17 Notiamo che φ specifica ad ogni tempo dell orizzonte finanziario la quantità di sottostante che il Long Seller deve comprare/vendere al fine di bilanciare l acquisto del derivato. Infatti, al più nel senso di Radon-Nikodymn φ t = de t /dz t (t [, T], per cui ad ogni tempo t [, T] φ t è l incremento nel valore attuale del Derivato al variare di un incremento infinitesimale del valore del sottostante attualizzato al tempo t medesimo. Il valore della strategia (φ, ψ è pari ad: V t = φ t S t + ψ t B t, t [, T]. Sostituendo la definizione di ψ vediamo che V t = B t E t (t [, T], dal quale si deduce che (φ, ψ è l unica strategia possibile di copertura. Inoltre le fluttuazioni nel valore della strategia (φ, ψ dipendono esclusivamente dalle fluttuazioni del valore del sottostante: dv t = d(b t E t = B t de t + rb t E t dt = B t φ t dz t rb t E t dt = B t φ t dz t rb t (ψ t + φ t Z t dt, per ogni t [, T]. Pertanto (φ, ψ è autofinanziata. 9

12 La condizione di non-arbitraggio impone che il processo stocastico Π = {Π t } t [,T], prezzo del titolo derivato lungo l orizzonte [, T] sia determinato dalla condizione Π t = V t (t [, T]. Di conseguenza: Π t = B t E t = e rt E Q [ e rt X F t ] = e r(t t E Q [ X F t ], t [, T], come peraltro richiesto. Se esiste una mappa f : R R tale che X = f(s T la formula (12 diviene: Π t = e r(t t E Q[ f(s T F t ], t [, T]. (18 Dividendo la σ algebra F t in insiemi {S t = s} (s R la formula precedente diviene: Π t = e r(t t E Q[ ] f(s T S t = s = e r(t t E Q,s[ ] f(s T t, t [, T], (19 poichè S è un processo di Markov. Vedremo nei paragrafi successivi che nel caso di un drift b e di una volatilità stocastica σ con forma generale è possibile trovare ancora una formula esplicita per il processo Π, del tutto similare a (19 eccetto che per la distribuzione del processo S. La formula (19 è particolarmente interessante, poichè consente di valutare il prezzo che il titolo derivato X = f(s T deve avere al tempo t [, T] fissato affinchè non vi sia possibilità di arbitraggio. In quest ottica possiamo osservare che, essendo Z = {Z t } t [,T] soluzione forte in {F t } t [,T] dell Equazione Differenziale Stocastica (13, segue che: S t = se σx t+(r σ 2 /2t, t [, T], su {S t = s} F t (t [, T]. Di conseguenza S t = se Z+rt per Z N( tσ 2 /2, σ 2 t (t [, T] per cui l espressione (19 diviene: Π t = e r(t t E Q[ ] f(s T S t = s = e r(t t f(se x e (x+(t tσ2 /2 2 /2σ 2 (T t R 2πσ2 (T t per ogni t [, T] ed ω {S t = s}. Si noti che (2 fornisce per ogni t [, T] fissato il prezzo di non arbitraggio che il titolo derivato deve avere al tempo t sapendo che il valore del sottostante è s. Di conseguenza è possibile prezzare X lungo tutto l arco di tempo 1 dx, (2

13 [, T]. La formula (2 è detta Formula di Black and Sholes. Per una discussione generale relativa alla formula di Black and Sholes ed alle sue applicazioni è utile consultare [3] oppure [4]. Ora vediamo un esempio applicativo: Example 2.3 Ad esempio poniamo che X sia un Opzione Europea di tipo Call, per cui esiste f : R R con f(x = (x k + tale che X = (S T k +. In questo caso k viene anche detto strike price. Il prezzo di non arbitraggio è dato da Π = {Π t } t [,T] dove Π t prezzo al tempo t [, T], sapendo che il valore del sottostante al tempo t medesimo è s, è dato dalla formula (2 : ( ln(s/k + (T t(r + σ 2 /2 ( ln(s/k + (T t(r σ Π t = sφ σ ke r(t t 2 /2 φ (T t σ, (T t con φ(x = x e y2 /2 dy/ 2π per x R. Come peraltro verrà esposto nel paragrafo 4, la generalizzazione al caso di un un drift b e di una volatilità stocastica σ in forma generale, consente ipotesi generali sul processo S. In quest ottica è interessante sottolineare che è possibile ricavare a seconda del drift b e della volatilità σ scelta formule esplicite del tutto analoghe a (2 attraverso le quali è possibile prezzare un Opzione Europea di tipo Call come fatto nell esempio 2.3. Ora a scopo interpretativo è importante caratterizzare l espressione (19 : Theorem 2.4 Si consideri il modello (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] definito sullo spazi di probabilità (Ω, F, P da (1 ed X titolo derivato funzione del valore del sottostante a scadenza. Per ogni f : R R tale che X = f(s T, esiste un unica funzione u C 2,1 (R [, T] tale che Π t = u(s t, t (t [, T]. In particolare u C 2,1 (R [, T] è l unica soluzione dell Equazione alle Derivate Parziali: { u(s,t t + 2 u(s,t 2 σ2 rs ru(s, t =, t < T, s R u(s, T = f(s, s R 2 + u(s,t (21 tale che Π t = u(s t, t (t [, T]. Proof Consideriamo qualunque u : R [, T] R con u C 2,1 (R [, T] e, dato il processo Π = {Π t } t [,T], poniamo Π t = u(s t, t (t [, T]. Chiaramente t [, T] : du(s t, t = u(s t, t ds t u(s t, t ds 2 t ds t + u(s t, t dt. t 11

14 Abbiamo mostrato che, rispetto alla misura Q, Z è la soluzione forte di (13 per cui, essendo dz t = e rt ds t re rt S t dt (t [, T], si può concludere che S l unica soluzione forte dell Equazione Differenziale Stocastica: { dst = σdx t + rs t dt, t [, T] S = x, dove X = {X t } t [,T] è un moto Browniano rispetto ad {F t } t [,T] sotto la misura Q. Sostituendo: du(s t, t = u(s t, t per t [, T]. ( 2 u(s t, t σdx t + 2 σ2 2 + u(s t, t rs t + u(s t, t dt, t Dal teorema 1.2 segue che Π t = V t (t [, T], dove V = {V t } t [,T] è il valore della strategia autofinanziata (φ, ψ, così che u(s t, t = V t (t [, T]. Pertanto, essendo (φ, ψ autofinanziata, le fluttuazioni di V dipendono esclusivamente dalle fluttuazioni di S e di B : du(s t, t = φ t ds t + ψ t db t = φ t σdx t + rφ t S t dt + re rt ψ t dt = = φ t σdx t + ( rφ t S t + re rt ψ t, t [, T]. Dalla definizione di ψ, si deduce che per ogni t [, T] : du(s t, t = φ t σdx t + rφ t S t dt + E t db t φ t Bt 1 S t db t = φ t σdx t + ru(s t, tdt, poichè dal teorema visto precedentemente u(s t, t = Π t = E t B t (t [, T]. Paragoniamo le due equazioni trovate per rappresentare du(s t, t (t [, T]. Innanzitutto segue che il processo continuo e adattato φ = {φ t } t [,T] è completamente determinato dall espressione Inoltre paragonando i coefficenti: u(s t, t t (22 φ t = u(s t, t, t [, T]. (23 s + 2 u(s t, t 2 σ 2 + u(s t, t rs t ru(s t, t =, t [, T]. E ovvio che a scadenza u(s T, T = f(s T. Di conseguenza (21 è del tutto determinata. 12

15 Per concludere la caratterizzazione di (19 : Proposition 2.5 Per ogni f : R R, sia u : R [, T] l unica soluzione in C 2,1 (R [, T] dell Equazione Differenziale a Derivate Parziali (21. Assumiamo che u abbia derivate limitate fino al prim ordine. Dato il processo S = {S t } t [,T] definito come in (1, vale la seguente formula di rappresentazione per u : u(s, t = e r(t t E Q,s[ ] f(s T t, t [, T]. Equivalentemente: Π t = e r(t t E Q,s[ ] f(s T t, t [, T] è la soluzione probabilistica dell Equazione alle Derivate Parziali (21. Proof Richiamiamo che il processo S soddisfa (13 rispetto alla misura Q. Consideriamo l operatore differenziale: f(s, t Lf(s, t = rs a(s 2 2 f(s, t, 2 L equazione (21 può essere riscritta in questa forma: { u(s,t t ( (s, t R [, T], f C 2,1 (R [, T]. + Lu(s, t ru(s, t =, t < T, s R u(s, T = f(s. s R Fissato il tempo t (, T osserviamo S nell intervallo [t, T]. Sia H = {H(S v, v} v [t,t] definito come: H(S v, v = e r(v t u(s v, v, v [t.t], dove u : R [, T] è la soluzione di (21 corrispondente al dato iniziale f. Chiaramente H è adattato in {F t } t [,T] ed in più è continuo, dalla continuità di u. Mostriamo che H è una Martingala in {F t } t [,T], rispetto alla misura Q. Infatti: dh(s v, v = e r(v t du(s v, v re r(v t u(s v, vdv, v [t, T], e di conseguenza dalla (22 du(s v, v = u(s v, v ds v u(s v, v = u(s v, v = u(s v, v σdx v + rs v u(s v, v ds 2 v ds v + u(s v, v dv = v + σ2 2 2 u(s v, v σdx v + u(s v, v dv + Lu(S v, vdv, v 13 dv + u(s v, v dv = 2 v v [t, T].

16 Allora: dh(s v, v = u(s v, v = u(s v, v poichè u soddisfa per ipotesi (21. Di conseguenza: e r(v t σdx v + e r(v t( Lu(S v, v ru(s v, v dv = e r(v t σdx v, v [t, T], H(S v, v = H(S t, t + v t u(s p, p e r(p t σdx p, v [t, T] ed H è una Martingala Locale continua ed adattata in {F t } t [,T] rispetto alla misura Q. Infine: E Q[ v u(s p, p ] 2 v e r(p t σdx p = t σ 2 K v e 2rp dp = σ 2 K(1 e 2rv /2r <, t e 2r(p t E Q[ u(s p, p v [t, T], σ] 2dp per qualche K <. Di conseguenza H è una Martingala Locale L 2 limitata e dunque è realmente una Martingala in {F t } t [,T] rispetto alla misura Q. Essendo una Martingala, per ogni t (, T si ha: E Q[ H(S v, v F t ] = H(S t, t = u(s t, t, v [t, T]. Partizioniamo F t in insiemi {S t = s} (s R, così che: E Q[ ] H(S t, t S t = s = E Q[ ] H(S T, T S t = s, (s, t R [, T]. Inoltre E Q [H(S t, t S t = s] = E Q [u(s t, t S t = s] = u(s, t ((s, t R [, T] e dunque u(s, t = E Q[ ] H(S T, T S t = s = e r(t t E Q[ ] f(s T S t = s, (s, t R [, T], dalla condizione di bordo. Infine essendo S un processo di Markov: ] [ ] u(s, t = e r(t t E [f(s Q T S t = s = e r(t t E Q,s f(s T t, (s, t R [, T] 14

17 come d altronde richiesto. Possiamo affermare che, dato il modello (B, S di Black and Sholes specificato in (1, è possibile ad ogni istante t [, T] dell orizzonte finanziario, osservato il corrispondente valore del sottostante, determinare il prezzo di non arbitraggio Π t (t [, T]. Inoltre tale prezzo è dato dal valore al tempo t ((t [, T] della soluzione probabilistica dell Equazione alle Derivate Parziali (21. E bene sottolineare che, nel caso di una generica diffusione, il corrispondente processo Π da noi trovato è ancora una soluzione probabilistica di una Equazione alle Derivate Parziali del tutto similare a (21. In particolare l Equazione alle Derivate Parziali da noi trovata generalizza la ( Un modello per una generica diffusione di Ito in un regime d interesse banale Consideriamo il modello (B, S = (1, {S t } t [,T] dove B t = 1 (t [, T] ed S = {S t } t [,T] è una diffusione di Ito avente parametri funzionali a : R R e b : R R rispetto ad una filtrazione {F t } t [,T] fissata a priori. E ben noto che se le funzioni a : R R e b : R R soddifano le condizioni usuali, cioè sono Lipschitz continue ed inoltre a(x (x R, allora definita la funzione σ(x = a(x (x R, S è la soluzione forte nello spazio di probabilità (Ω, F, P, rispetto alla filtrazione {F t } t [,T], dell Equazione Differenziale Stocastica: { dst = σ(s t dw t + b(s t dt, t [, T] S = x, a.s. dove W = {W t } t [,T] è un P moto Browniano in {F t } t [,T]. Equivalentemente S è l unica Semi-Martingala continua ed adattata in {F t } t [,T] che soddisfa (24 rispetto alla misura P. Una prima condizione che i parametri a, b : R R devono soddisfare è: (C.I Date le funzioni σ, b : R R e la diffusione di Ito S, definita dalla (24, vale che: T ( b(st 2dt <. σ(s t (24 Per vedere la necessità di quest ipotesi, definiamo in (Ω, F, P il processo stocastico: ( dq { Ft = exp dp ( b(su dw u 1 σ(s u 2 15 ( b(su 2du }, t [, T]. σ(s u

18 Definiamo la sequenza di misure {Q t } t [,T] : F t [, 1] data da: per ogni t [, T]. Q t (A = E P[( dq ] Ft 1 A, A F t (25 dp La congettura (C.I garantisce che {Q t } t [,T] sia realmente una sequenza di musure consistenti in spazio di probabilità (Ω, F : Lemma 3.1 Data la diffusione di Ito S = {S t } t [,T] definita da (24 se i parametri σ, b : R R soddisfano la condizione (C.I allora {Q t } t [,T] : F t [, ] sono misure consistenti definite in (Ω, F, i.e. Q t Fs = Q s (s [, T] : s t. Proof Sia {β t } t [,T] il processo stocastico definito come: β t = ( b(su dw u, σ(s u t [, T]. Entrambe le variabili aleatorie S t, W t F t (t [, T], pertanto β è un processo continuo ed adattato in {F t } t [,T]. Inoltre, dal teorema d Integrazione Stocastica ([2], è una Martingala locale. Osserviamo che (C.I implica: [β] t = ( b(su 2du <, t [, T] σ(s u così che β ha variazione finita nell intervallo [, T]. Definiamo: ( dq Ft = e β [β]2 t /2, t [, T]. dp E ben noto che (dq/dp Ft (t [, T] è una Martingala uniformemente integrabile con (dq/dp F = 1, adattata in {F t } t [,T], rispetto alla misura P. Definiamo {Q t } t [,T] come in (25 ed in questo modo Q t : F t [, 1] (t [, T] è realmente una misura dall additività dell integrale di Lebesgue. Infine: E P[( dq ] Ft dp i.e. esse sono realmente consistenti fra di loro. = E P[( dq ] Fs, s t, dp Essendo (dq/dp Ft (t [, T] una Martingala uniformemente integrabile, utilizzando il teorema di Convergenza delle Martingale, possiamo definire la misura Q : F T [, 1] 16

19 sulla σ algebra F T, tale che Q = Q T, per consistenza. Questa misura Q, chiamata in letteratura misura di Cameron-Girsanov, avrà un ruolo fondamentale. La seconda ipotesi è: (C.II Data la funzione non negativa a : R R e la diffusione di Ito S come in (24, vale che: T E Q[ ] a(s t dt <. Supponiamo che X sia il titolo derivato con scadenza T >, osservato lungo l orizzonte finanziario [, T]; pertanto X è una variabile aleatoria definita su Ω con X F T ed X integrabile. Risultato principale del paragrafo è la definizione del processo di prezzo Π = {Π t } t [,T], del titolo derivato: Theorem 3.2 Considerato il modello finanziario (B, S = (1, {S t } t [,T] sullo spazio di probabilità (Ω, F, P dove S è una diffusione di Ito in {F t } t [,T] con parametri a, b : R R che soddisfano le condizioni usuali e tali che S soddisfi (C.I e (C.II. Dato X derivato con scadenza T >, il suo processo di prezzo è una Q Martingala uniformemente integrabile Π = {Π t } t [,T], {F t } t [,T] adattata e definita come: Π t = E Q[ X F t ], t [, T], (26 dove Q : F T [, 1] è la misura Q = Q T e Q T è la misura di Girsanov-Cameron-Martin definita in (25. Proof Innanzitutto mostriamo che il processo S è una Martingala in {F t } t [,T] rispetto alla misura Q definita come in (25. Dal teorema di Girsanov segue che il processo stocastico X t = W t [β, W] t (t [, T] è una Martingala Locale continua rispetto alla misura Q, adattata nell usuale filtrazione {F t } t [,T]. Inoltre: X t = W t + ( 1 du, σ(s u t [, T]. Chiaramente dx t dx t = dw t dw t (t [, T] o equivalentemente [X] t = [W] t (t [, T], per cui dalla caratterizzazione del moto Browniano di Levi segue che X = {X t } t [,T] è un {F t } t [,T] moto Browniano rispetto a Q. 17

20 Il processo S, rispetto alla misura P, soddisfa (24 e dall unicità in legge della soluzione di una Equazione Differenziale Stocastica segue che S soddisfa: [ ds t = σ(s t dw t + b(s t dt = σ(s t dw t + rispetto alla nuova misura Q. ( b(st ] dt = σ(s t dx t, t [, T], σ(s t Di conseguenza S in distribuzione è del tutto uguale alla soluzione forte dell Equazione: { dst = σ(s t dx t, t [, T] (27 S = x, a.s. Possiamo identificare S con il processo stocastico: S t = x + σ(s u dx u, t [, T], (28 rispetto a Q. Osservando (28 è possibile dedurre che S è una Martingala continua e adattata in {F t } t [,T], rispetto alla misura Q. Dall assunzione (C.II segue che E Q[ ] [ 2 t σ(s u dx u = E Q ] σ(s u 2 du = E Q[ ] a(s u du <, per ogni t [, T]. Di conseguenza S rispetto a Q è una Martingala Locale limitata in L 2, bounded Local Martingale, continua ed adattata in{f t } t [,T] così che dalla condizione DL ([2] segue che è una {F t } t [,T] Martingala. Costruiamo Π. Definiamo nello spazio misurabile (Ω, F la misura Q : F T [, 1] data da (25. Data la variabile aleatoria, integrabile, X : Ω R, possiamo definire il valore atteso di X al tempo t come il processo E = {E t } t [,T] : E t = E Q[ X F t ], t [, T]. E importante sottolineare che la misura di probabilità rispetto alla quale è definito il valore atteso condizionato è Q e non P. Il processo E può chiaramente essere interpretato dal punto di vista finanziario come il valore del derivato attualizzato al tempo t. E immediato vedere che E è una {F t } t [,T] Martingala rispetto alla misura Q. Inoltre è una Martingala uniformemente integrabile dal teorema di Doob sul valore atteso condizionato ([2]. 18

21 Abbiamo costruito nello spazio di probabilità (Ω, F, Q due {F t } t [,T] Martingale, i.e. S ed E così che, dal teorema d Equivalenza delle Martingale ([2], esiste un processo stocastici {F t } t [,T] adattato chiamato φ = {φ t } t [,T], tale che: de t = φ t ds t, t [, T], (29. Equivalentemente: [ ] [ ] E t = E Q X F t = E Q X F + φ u ds u, t [, T]. Consideriamo la strategia data dal processo stocastico (φ, ψ = ({φ t } t [,T], {ψ t } t [,T] dove φ is definita da (29 e ψ da ψ : ψ t = E t φ t B 1 t S t, t [, T]. (3 Ancora φ rappresenta l ammontare di sottostante che l investitore deve necessariamente comprare/vendere al fine di coprire il derivato, poichè φ t = de t /ds t (t [, T] nel senso di Radon-Nicodymn. Chiamiamo V = {V t } t [,T] il valore della strategia così definita e chiaramente: V t = φ t S t + ψ t B t. t [, T] Dalla definizione di ψ segue che V t = E t (t [, T] poichè B è costante, ed dv t = de t = φ t ds t = φ t ds t + ψ t db t, t [, T]. Dunque il valore della strategia (φ, ψ dipende esclusivamente dalle fluttuazioni del valore del sottostante, per cui è autofinanziata. La condizione di non arbitraggio impone che il prezzo del derivato Π = {Π t } t [,T] sia esattamente pari al valore della strategia (φ, ψ, i.e. Π t = V t (t [, T] ed Π t = E Q[ X F t ], t [, T]. (26 Osserviamo che (3 assicura che Π sia una {F t } t [,T] Martingala uniformemente integrabile rispetto alla misura Q. 19

22 E del tutto ragionevole pensare che il Derivato sia funzione del valore del sottostante a scadenza, per cui esiste una mappa f : R R tale che X = f(s T. Data f : R R tale che X = f(s T, la (26 diviene: Π t = E Q [ f(s T F t ], t [, T]. Invece che considerare la filtrazione generica al tempo t, partizioniamo F t lungo gli insiemi {S t = s} (s R: Π t = E Q[ ] f(s T S t = s = E Q,s[ ] f(s T t, t [, T], (31 poichè S è un processo di Markov. E possibile mostrare che la (31 è una soluzione probabilistica di una particolare Equazione alle Derivate Parziali: Theorem 3.3 Sia (B, S = (1, {S t } t [,T] modello finanziario definito nello spazio di probabilità (Ω, F, P, oves è una diffusione di Ito in {F t } t [,T] avente parametri a, b : R R che soddisfano le condizioni usuali, (C.I e (C.II. Per ogni f : R R, esiste una mappa u C 2,1 (R [, T] soluzione della Equazione alle Derivate Parziali: { 2 u(s,t 2 tale che Π t = u(s t, t (t [, T]. a(s 2 + u(s,t t u(s, T = f(s, =, t < T, s R s R Proof Sia u : R [, T] R una qualunque funzione con u C 2,1 (R [, T] e, dato il processo di prezzo Π = {Π t } t [,T], poniamo Π t = u(s t, t (t [, T]. Per ogni t [, T] : du(s t, t = u(s t, t ds t u(s t, t ds 2 t ds t + u(s t, t dt. t Rispetto alla misura Q, ds t = σ(s t dx t (t [, T], così che da una parte: (32 du(s t, t = u(s t, t σ(s t dx t + ( 2 u(s t, t 2 σ(s t u(s t, t dt, t ancora t [, T]. 2

23 Dall altra, ragionando come nel teorema 2.2, segue che Π t = V t (t [, T], per V = {V t } t [,T] valore della strategia (φ, ψ, per cui u(s t, t = V t (t [, T]. Essendo dv t = φ t ds t (t [, T], segue che: per ogni t [, T] rispetto alla misura Q. du(s t, t = φ t ds t = φ t σ(s t dx t, Paragonando le Equazioni Differenziali Stocastiche trovate: φ t = u(s t, t, t [, T], (33 ed 2 u(s t, t σ(s 2 t 2 + u(s t, t =, t [, T]. t E del tutto ragionevole porre u(s T, T = f(s T, perchè Π T = f(s T. E possibile dimostrare che la soluzione probabilistica della (32 è esattamente data dalla (31 : Proposition 3.4 Per ogni f : R R, sia u : R [, T] l unica soluzione in C 2,1 (R [, T] dell Equazione Differenziale a Derivate Parziali (32. Assumiamo che u abbia derivate limitate fino al prim ordine. Data la diffusione di Ito S = {S t } t [,T] con parametri a e b che soddisfano le usuali condizioni, (C.I ed (C.II, vale la seguente formula di rappresentazione per u : ] u(s, t = E [f(s Q,s T t, t [, T]. Equivalentemente: u(s, t = E Q,s[ ] f(s T t, t [, T], è la soluzione probabilistica dell Equazione alle Derivate Parziali (32. Proof Richiamiamo che il processo S soddisfa l Equazione Differenziale Stocastica (27. Sia L l operatore differenziale: Lf(s, t = a(s 2 2 f(s, t 2, L Equazione alle Derivate Parziali diviene: { u(s,t t ( (s, t R [, T], f C 2,1 (R [, T]. + Lu(s, t =, t < T, s R u(s, T = f(s. s R 21

24 Sia t (, T ed osserviamo S nell intervallo [t, T]. Possiamo introdurre il processo stocastico H = {H(S v, v} v [,T] : H(S v, v = u(s v, v, v [t.t], dove u : R [, T] è la soluzione della (32 che corrisponde alla funzione f. Chiaramente H è un processo stocastico adattato {F t } t [,T] ed inoltre continuo, dalla continuità della mappa u. Mostriamo che H è una {F t } t [,T] Martingala rispetto alla misura Q : dh(s v, v = du(s v, v = u(s v, v ds v u(s v, v = u(s v, v σ(s v dx v + σ(s v 2 2 u(s v, v 2 = u(s v, v = u(s v, v σ(s v dx v + u(s v, v dv + Lu(S v, v = v σ(s v dx v, v [t, T]. ds 2 v ds v + u(s v, v dv = v dv + u(s v, v dv = 2 v Abbiamo usato il fatto che u è una soluzione di (32 e le caratteristiche del processo S. Di conseguenza: H(S v, v = H(S t, t + v t u(s p, p σ(s p dx p, v [t, T] ed H risulta una Martingala Locale {F t } t [,T] adattata e continua, rispetto alla misura Q. Infine: E Q[ v u(s p, p ] 2 v σ(s p dx p = t K v t E Q [a(s p ] 2 dp K t T t E Q[ u(s p, p E Q [a(s p ] 2 dp, σ(s p ] 2dp v [t, T], per qualche K <, dall assunzione (C.II. Pertanto H è una Martingala Locale, limitata in L 2 per cui è una Martingala in {F t } t [,T] rispetto a Q. Di conseguenza per ogni t (, T : E Q [ H(S v, v F t ] = H(S t, t = u(s t, t, v [t, T]. 22

25 Partizioniamo F t in insiemi {S t = s} (s R, ed: E Q[ ] H(S t, t S t = s = E Q[ ] H(S T, T S t = s, (s, t R [, T]. E vero anche che E Q [H(S t, t S t = s] = E Q [u(s t, t S t = s] = u(s, t ((s, t R [, T] per cui u(s, t = E Q[ ] H(S T, T S t = s dalla condizione al bordo. Essendo S un processo di Markov: u(s, t = E Q[ ] f(s T S t = s = E Q[ ] f(s T S t = s, (s, t R [, T], = E Q,s[ ] f(s T t, (s, t R [, T]. Possiamo affermare che, dato il modello (B, S = (1, {S t } t [,T] con S diffusione di Ito avente parametri a e b che soddisfano le condizioni usuali e le congetture (C.I e (C.II, è possibile ad ogni istante t [, T] dell orizzonte finanziario, osservato il corrispondente valore del sottostante, determinare il prezzo di non arbitraggio Π t (t [, T]. Inoltre tale prezzo è dato dal valore al tempo t ((t [, T] della soluzione probabilistica dell Equazione alle Derivate Parziali ( Un modello per una diffusione di Ito in un regime d interesse non banale. Consideriamo il modello (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] dove B t = e rt (t [, T] e S = {S t } t [,T] è una diffusione di Ito avente come parametri a : R R e b : R R. Come nel paragrafo precedente assumiamo che a e b siano entrambe funzioni Lipschitz continue e tali che a(x (x R. Queste due condizioni garantiscono che il processo S sia l unica soluzione forte nella filtrazioni usuale {F t } t [,T] dell Equazione Differenziale Stocastica (24. Come per il caso di Black and Sholes trattato nell introduzione, anzichè lavorare su S valore del sottostante nell arco temporale [, T], consideriamo direttamente Z = {Z t } t [,T] definito come Z t = e rt S t (t [, T], i.e. valore del sottostante attualizzato nel regime d interesse usuale. Di conseguenza: dz t = d(e rt S t = re rt S t dt + e rt ds t = e rt ds t rz t dt, t [, T] 23

26 i.e. dz t = e rt σ(e rt Z t dw t + ( e rt b(e rt Z t rz t dt, t [, T]. Il processo Z è la soluzione forte rispetto alla filtrazione {F t } t [,T] della Equazione Differenziale Stocastica: { dzt = e rt σ(e rt Z t dw t + ( e rt b(e rt Z t rz t dt, t [, T] Z = x, a.s. nello spazio probabilistico (Ω, F, P. Essendo r (, 1 è necessario cambiare opportunamente la congettura (C.I : (C.III Date le funzioni σ, b : R R e la diffusione di ItoS come in (24 : T [ b(st rs ] t 2dt <. σ(s t (34 Definiamo per ogni t [, T] : ( dq { Ft = exp dp 1 2 Poniamo {Q t } t [,T] : F t [, 1] definite da ( e ru b(e ru Z u rz u e ru σ(e ru Z u 2du }. ( e ru b(e ru Z u rz u e ru σ(e ru Z u dw u Q t (A = E P[( dq ] Ft 1 A, A F t, t [, T]. (35 dp La condizione (C.III garantisce che {Q t } t [,T] sia realmente una successione di misure consistenti definite nello spazio misurabile (Ω, F : Lemma 4.1 Data la diffusione di Ito S = {S t } t [,T] definita come in (24, se i parametri σ, b : R R soddisfano la condizione (C.III allora {Q t } t [,T] : F t [, ] sono misure consistenti in (Ω, F, i.e. Q t Fs = Q s (s [, T] : s t. Proof Sia {β t } t [,T] : β t = ( e ru b(e ru Z u rz u dw e ru σ(e ru u, S u t [, T]. 24

27 Essendo Z t, W t F t (t [, T], è evidente che β è un processo continuo ed adattato in {F t } t [,T] e, dal teorema d Integrazione stocastica ([2] è una Martingala Locale. Osserviamo che la condizione (C.III implica: [β] t = = ( e ru b(e ru Z u rz u 2du = e ru σ(e ru Z u ( b(su rs u 2du <, t [, T], σ(s u così che β ha nell intervallo [, T] variazione finita. Definiamo: ( dq Ft = e β t [β] 2 t /2, t [, T]. dp ( b(e ru Z u re ru Z u 2du = σ(e ru Z u E noto che (dq/dp Ft (t [, T] è una Martingala uniformemente integrabile tale che (dq/dp F = 1, adattata in {F t } t [,T] rispetto alla misura P. Dunque, se {Q t } t [,T] sono definite come in (35, allora Q t : F t [, 1] (t [, T] sono tutte misure ed in particolare: E P[( dq ] Ft dp = E P[( dq ] Fs, s t. dp Ancora l uniforme integrabilità della Martingala (dq/dp Ft (t [, T] implica che esiste una misura Q : F T [, 1] definita sulla σ algebra F T tale che Q = Q T, per consistenza. E necessario rimpiazzare (C.II con la seguente congettura: (C.IV Data la funzione a : R R e la diffusione di Ito S definita come in (24, si ha: T ] E [e Q 2rt a(s t dt <, Sia X derivato osservato lungo l orizzonte finanziario [, T] ed assumiamo che X sia una variabile aleatoria definita sullo spazio di probabilità Ω con X F T ed X integrabile. Chiaramente è necessario studiare il valore del derivato a scadenza attualizzato, cioè e rt X. 25

28 Theorem 4.2 Sia (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] modello finanziario definito sullo spazio di probabilità (Ω, F, P ed S una diffusione di Ito avente parametri a ed b che soddisfano (C.III e (C.IV. Dato qualsiasi derivato X con scadenza T >, il suo processo di prezzo è un processo stocastico Π = {Π t } t [,T], adattato in {F t } t [,T] e definito da: Π t = e r(t t E Q[ X F t ], t [, T], (36 dove Q : F T [, 1] è la misura definita come Q = Q T e Q T è la misura di Girsanov- Cameron-Martin definita in (35. Proof Nella prima parte mostriamo che, rispetto alla misura Q introdotta, il processo Z valore del sottostante attualizzato è una {F t } t [,T] Martingala. Dal teorema di Girsanov, il processo X t = W t [β, W] t (t [, T] è una Martingala Locale continua, rispetto chiaramente alla misura Q e alla filtrazione {F t } t [,T]. Inoltre: X t = W t + ( e ru b(e ru Z u rz u e ru σ(e ru du, Z u t [, T]. Essendo dx t dx t = dw t dw t (t [, T] o equivalentemente [X] t = [W] t (t [, T], la caratterizzazione di Levi del moto Browniano ([2] implica che X = {X t } t [,T] è un {F t } t [,T] moto Browniano rispetto a Q. Dall unicità in distribuzione della soluzione forte di una Equazione Differenziale Stocastica, segue che: dz t = e rt σ(e rt Z t dw t + ( e rt b(e rt Z t rz t dt = [ ( e = e rt σ(e rt rt b(e rt Z t rz ] t Z t dw t + = e rt σ(e rt Z e rt σ(e rt t dx t, t [, T], Z t rispetto alla nuova misura Q. Di conseguenza Z in distribuzione può essere identificato con la soluzione forte di: { dzt = e rt σ(e rt Z t dx t, t [, T] Z = x, a.s. (37 In modo del tutto analogo possiamo dire che: Z t = x + e ru σ(e ru Z u dx u, t [, T], (38 26

29 rispetto alla Q. Dalla (38 segue che Z è una Martingala Locale continua rispetto alla misura Q, adattata in {F t } t [,T]. Da (C.IV segue che: E Q [ = ] 2 [ e ru σ(e ru Z u dx u = E Q e 2ru E Q[ ] a(e ru Z u du = ] e 2ru σ(e ru Z u 2 du = E Q e 2ru[ ] a(s u du <, per ogni t [, T]. Di conseguenza Z rispetto a Q è una Martingala Locale limitata in L 2, continua e adattata in {F t } t [,T], per cui è una {F t } t [,T] Martingala. Ora costruiamo il processo di prezzo Π. Data la variabile aleatoria X : Ω R, definiamo E = {E t } t [,T] come il processo stocastico: E t = E Q [ e rt X F t ], t [, T], valore al tempo t [, T] fissato del derivato attualizzato rispetto all usuale regime d interesse. E pressochè immediato vedere che E è una {F t } t [,T] Martingala rispetto alla misura Q. Inoltre E è anche uniformemente integrabile. Abbiamo costruito sullo spazio di probabilità (Ω, F, Q due {F t } t [,T] Martingale, i.e. Z and E. Dal teorema d Equivalenza delle Martingale ([2] segue che esiste un processo stocastico adattato in {F t } t [,T], diciamo φ = {φ t } t [,T], tale che: de t = φ t dz t, t [, T], (39. La condizione di non arbitraggio impone che il prezzo del derivato sia del tutto uguale al valore della strategia (φ, ψ = ({φ t } t [,T], {ψ t } t [,T] dove φ è definita come in (39 e ψ da ψ : ψ t = E t φ t Z t, t [, T]. (4 Dal punto di vista finanziario sottolineamo ancora una volta che φ è l ammontare di sottostante che l investitore deve vendere/comprare per bilanciare l acquisto del derivato, poichè φ t = de t /dz t (t [, T] almeno nel senso di Radon-Nikodymn. Chiamiamo V = {V t } t [,T] il valore della strategia così costruita, cioè V t = φ t S t + ψ t B t, t [, T]. 27

30 E immediato verificare che V t = B t E t (t [, T] ed dv t = d(b t E t = B t de t +rb t E t dt = B t φ t dz t +rb t E t dt = B t φ t dz t +rb t (ψ t +φ t Z t dt, per ogni t [, T]. Ma dz t = rb 1 t S t dt + Bt 1 ds t (t [, T]per cui dv t = φ t ds t + rb t ψ t dt = φ t ds t + ψ t db t. t [, T] La strategia (φ, ψ dipende esclusivamente dalle fluttuazioni del valore del sottostante e del processo B per cui è auto-finanziata. Come già detto, la condizione di arbitraggio impone che il prezzo del derivato sia un processo stocastico Π = {Π t } t [,T] definito come Π t = V t (t [, T], cioè: Π t = e rt E Q[ ] e rt X F t = e r(t t E Q[ X F t ], t [, T]. Data una mappa f : R R tale che X = f(s T la formula (36 diviene: Π t = e r(t t E Q [ f(s T F t ], t [, T]. Partizioniamo la σ algebra F t negli insiemi {S t = s} (s R. La formula precedente diviene Π t = e r(t t E Q[ ] f(s T S t = s = e r(t t E Q,s[ ] f(s T t, t [, T], (41 poichè S è un processo di Markov. Come fatto nei paragrafi precedenti è interessante mostrare che la formula (41 è intrinsecamente connessa con una particolare Equazione alle Derivate Parziali: Theorem 4.3 Sia (B, S = ({B t } t [,T], {S t } t [,T] modello finanziario definito nello spazio di probabilità (Ω, F, P, ove S è una diffusione di Ito in {F t } t [,T] avente parametri a, b : R R che soddisfano le condizioni usuali, (C.III e (C.IV. Per ogni f : R R, esiste una mappa u C 2,1 (R [, T] soluzione della Equazione alle Derivate Parziali: { u(s,t t + 2 u(s,t 2 a(s + u(s,t 2 rs ru(s, t =, t < T, s R u(s, T = f(s, s R (42 28

31 tale che Π t = u(s t, t (t [, T]. Proof Sia u : R [, T] R una qualunque funzione in C 2,1 (R [, T] e, dato il processo di prezzo Π = {Π t } t [,T], poniamo Π t = u(s t, t (t [, T]. Chiaramente per ogni t [, T] : du(s t, t = u(s t, t ds t u(s t, t 2 ds t ds t + u(s t, t dt. t Rispetto alla misura Q il processo Z soddisfa (37 così che, ricordando che dz t = e rt ds t re rt S t dt (t [, T], possiamo dedurre che S è l unica soluzione forte dell Equazione Differenziale Stocastica: ds t = σ(s t dx t + rs t dt, t [, T] S = x, (43 dove X = {X t } t [,T] è un moto Browniano in {F t } t [,T], rispetto alla misura Q. Di conseguenza sostituendo: du(s t, t = u(s t, t ancora per ogni t [, T]. σ(s t dx t + ( 2 u(s t, t σ(s t u(s t, t rs t + u(s t, t dt, t Allo stesso tempo, dal teorema 3.2, segue che Π t = V t (t [, T], per V = {V t } t [,T] valore della strategia autofinanziata (φ, ψ, e dunque u(s t, t = V t (t [, T]. Di conseguenza, essendo (φ, ψ auto-finanziata: du(s t, t = φ t ds t + ψ t db t = φ t σ(s t dx t + rφ t S t dt + re rt ψ t dt = = φ t σ(s t dx t + ( rφ t S t + re rt ψ t, t [, T]. Dalla definizione di ψ, consegue che per ogni t [, T] : du(s t, t = φ t σ(s t dx t + rφ t S t dt + E t db t φ t Bt 1 S t db t = φ t σ(s t dx t + ru(s t, tdt, poichè u(s t, t = Π t = E t B t (t [, T]. Paragonando le due equazioni trovate per du(s t, t (t [, T], segue che il processo continuo e adattato φ = {φ t } t [,T] è completamente determinato dalla formula: φ t = u(s t, t, t [, T]. (44 s 29

32 Inoltre: u(s t, t t + 2 u(s t, t 2 σ(s t 2 + u(s t, t rs t ru(s t, t =, t [, T]. E chiaramente ovvio che u(s T, T = f(s T. Dimostriamo direttamente che (41 è la soluzione di (42 : Proposition 4.4 Per ogni f : R R, sia u : R [, T] l unica soluzione in C 2,1 (R [, T] dell Equazione Differenziale a Derivate Parziali (42. Assumiamo che u abbia derivate limitate fino al prim ordine. Data la diffusione di Ito S = {S t } t [,T] con parametri a e b che soddisfano le usuali condizioni, (C.III ed (C.IV, vale la seguente formula di rappresentazione per u : u(s, t = e r(t t E Q,s[ ] f(s T t, t [, T]. Equivalentemente: ] u(s, t = e r(t t E [f(s Q,s T t, t [, T], è la soluzione probabilistica dell Equazione alle Derivate Parziali (42. Proof Richiamiamo che sotto Q il processo stocastico S soddisfa l Equazione Differenziale Stocastica (24. Definiamo l operatore differenziale: f(s, t Lf(s, t = rs a(s 2 2 f(s, t 2, ( (s, t R [, T], f C 2,1 (R [, T]. L equazione alle Derivate Parziali (42 diventa in questa notazione: { u(s,t t + Lu(s, t ru(s, t =, t < T, s R u(s, T = f(s. s R Fissiamo t (, T ed osserviamo S nell intervallo [t, T]. Sia H = {H(S v, v} v [t,t] definito come: H(S v, v = e r(v t u(s v, v, v [t.t], dove u : R [, T] è l unica soluzione di (42 che corrisponde alla scelta di f come dato. Chiaramente H è un processo adattato in {F t } t [,T] ed è continuo, dalla continuità della mappa u. 3

33 Mostriamo che H è una {F t } t [,T] Martingala rispetto alla misura Q : dh(s v, v = e r(v t du(s v, v re r(v t u(s v, vdv, v [t, T], ed du(s v, v = u(s v, v ds v u(s v, v = u(s v, v = u(s v, v Per cui: dh(s v, v = u(s v, v = u(s v, v poichè u soddisfa (42. Di conseguenza: σ(s v dx v + rs v u(s v, v 2 ds v ds v + u(s v, v dv = v + σ(s v 2 2 u(s v, v dv + u(s v, v dv = 2 2 v σ(s v dx v + u(s v, v dv + Lu(S v, vdv, v v [t, T]. e r(v t σ(s v dx v + e (Lu(S r(v t v, v ru(s v, v dv = e r(v t σ(s v dx v, v [t, T], H(S v, v = H(S t, t + v t u(s p, p e r(p t σ(s p dx p, v [t, T] ed H è una Martingala Locale in {F t } t [,T], continua, rispetto alla misura usuale Q. Infine: E Q[ v u(s p, p ] 2 v e r(p t σ(s p dx p = t K v e 2rp E Q [σ(s p ] 2 dp K t T e 2r(p t E Q[ u(s p, p e 2rp E Q [a(s p ]dp <, σ(s p ] 2dp v [t, T], per qualche K <, dall assunzione (C.IV. Dunque H è una Martingala L 2 limitata e, dalla caratterizzazione DL ([2], di conseguenza è una Martingala in {F t } t [,T] rispetto a Q. Dunque dato qualsiasi t (, T : E Q [ H(S v, v F t ] = H(S t, t = u(s t, t, v [t, T]. 31