ALCUNI ESEMPI DI PROVE SCRITTE

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1 ALCUNI ESEMPI DI PROVE SCRITTE Nota: questo file raccoglie alcuni esempi di prove scritte assegnate negli ultimi anni per gli esami di Matematica Finanziaria IIB e. I testi vanno presi come indicativi, perché al variare del programma del corso anche gli esercizi proposti possono essere diversi. Insomma: li diffondo solo per offrire un servizio agli studenti, ma non necessariamente i nuovi esami conterranno domande simili. E possibile, inoltre, che nei testi ci sia qualche refuso, corretto al volo con gli studenti leggendo il testo in aula: se vorrete segnalarmeli con un ad appronterò una versione corretta di questo file. Buon lavoro ed un caro saluto, Andrea Resti Prova parziale del 21 maggio 2002 Rispondete alle seguenti sei domande nel tempo di 120 minuti. Il totale dei punteggi per le prime cinque è di 32 punti.la sesta (rischio di credito) comporta una variazione fino a tre punti in più o in meno (anche in caso di risposta in bianco) rispetto al punteggio totale delle precedenti. Se avete già sostenuto il test di aprile e non avete già chiesto espressamente di annullarlo, rispondete solo alla sesta domanda nel tempo di 20 minuti. 1) Il prezzo spot dello zinco (metallo detenuto per finalità di consumo e di produzione) è di 772 dollari l oncia. Sapendo che il tasso d interesse privo di rischio è del 6%, che la custodia del metallo comporta un costo del 12% (entrambi espressi in termini composti continui su base annua) e che il prezzo del future a due mesi è di 783,67 dollari l oncia, ricavate il convenience yield (composto continuo su base annua) sullo zinco implicito nei prezzi di mercato. Precisate inoltre se il tasso di convenienza su un bene di consumo può essere, in generale, negativo. (punti: 6) 2) Gli analisti sono concordi nel ritenere che tra tre mesi l azione Giuggioloni quoterà, in media, 11 euro. L azione ha un beta del 50%, il tasso privo di rischio è del 6% e l indice azionario di borsa rende il 14%. In queste condizioni, ritenete che il prezzo del future a tre mesi sarà superiore o inferiore a 11 euro? Siete in grado di indicare quale dovrebbe essere il prezzo future d equilibrio? (punti: 6) 3) Scrivendone la formula, spiegate la differenza tra processi di Wiener, processi di Ito e moti browniani geometrici. In particolare, precisate se uno di questi tre processi stocastici può essere considerato un caso generale, di cui gli altri due sono casi particolari. (punti: 6) 4) Utilizzando la formula di Black e Scholes (e le tavole della distribuzione normale stampate sul retro di questo foglio) prezzate una put europea a cinque mesi con strike 10 euro su un titolo che non paga dividendo, quota oggi 12 euro ed ha una volatilità del 30% su base annua. Utilizzate un tasso risk-free composto continuamente su base annua del 10%. (punti: 7) 5) L azione Leftovers quota oggi 12 dollari. La call at the money a tre mesi costa 1,17 $, la put con uguale scadenza e medesimo strike costa 68 cents. Sulla stessa scadenza, una call con strike 14 dollari costa 43 cents e una put con strike 10 dollari costa 13 cents. Vi aspettate che, tra tre mesi, l azione Leftovers subisca una variazione di prezzo di 4 dollari (ma non sapete se in più o in meno): 1

2 avendo 50 dollari da investire, scegliereste una strategia di tipo straddle o strangle? Con quale profitto, se le vostre previsioni sono corrette? (punti: 7). 6) In termini composti continui su base annua, i titoli di stato Usa pagano tassi del 5%, 5,6% e 6%, rispettivamente sulle scadenze a 1, 2 e 3 anni; i titoli in dollari emessi dalla Repubblica di Bananas pagano invece tassi del 6%, 6,7% e 7% sulle medesime scadenze. Qual è il valore atteso della perdita attesa, rispettivamente nel primo, nel secondo e nel terzo anno, sui prestiti alla Repubblica di Bananas? (punti: -3 / +3) Prova scritta del 2 luglio ) Il signor Futuri vende 3 contratti futures sul succo d arancia, ognuno dei quali vale 1000 galloni, ad un prezzo di 30 centesimi al gallone. Il deposito di garanzia iniziale è di 10 euro a contratto, ed il margine di mantenimento è di 7 euro a contratto. Nei giorni successivi il prezzo futures assume i seguenti valori (in centesimi): 29,8, 30, 30,4, 31, 31,2. Calcolate per ogni giorno il saldo del deposito di garanzia del signor Futuri, evidenziando eventuali margin call. 2) Nei giorni scorsi il signor Cirillo ha acquistato a 20 euro un future lungo su un chilo di datteri, con scadenza a tre mesi da oggi. Attualmente i datteri quotano 20,1 euro al chilo sul mercato spot. Sapendo che il tasso d interesse trimestrale è pari al 10% composto continuamente su base annua, indicare quanto vale il contratto in mano a Cirillo. Indicare inoltre quale dovrebbe essere la quotazione spot dei datteri affinché il contratto future valga esattamente un euro. 3) Considerate un obbligazione che, oltre a garantire al sottoscrittore il rimborso del capitale nominale (1000 euro) gli pagherà una cedola indicizzata all indice Mib30, e precisamente il massimo tra zero e la metà dell apprezzamento dell indice (che oggi quota 800) nel prossimo anno, con un limite massimo alla cedola pari a 100 euro. Scomponete questa obbligazione strutturata in tre strumenti finanziari elementari, spiegando il vostro ragionamento ed aiutandovi con un grafico. 4) Enunciate la put-call parity con dividendi, e usatela per calcolare il valore di equilibrio di una put europea a tre mesi, con strike price 90 euro, su un azione che quota 100 euro e staccherà tra un mese un divendendo di 10 euro, quando la corrispondente call quota 0,5 euro ed la curva dei tassi d interesse è piatta ad un livello del 5% composto continuamente su base annua. 5) Dopo aver descritto cosa si intende per derivati creditizi, spiegate la differenza tra un credit default swap ed una credit spread option. Terzo modulo valido per matematica finanziaria IIA 6) Il 31 dicembre 2000 il signor Paturnio investe euro nel fondo Cometa ; il 30 giugno 2001, vedendo che il suo patrimonio vale euro, il signor Paturnio investe altri 5000 euro; a fine anno, dato che il suo patrimonio vale solo euro, il signor Paturnio prende paura e disinveste 4000 euro; al 30 giugno 2002, visto che il capitale investito è risalito a euro, reinveste la somma riscattata sei mesi prima. A fine 2002 il suo capitale è pari a euro. Calcolate il rendimento time-weighted e money-weighted (secondo la formula di Dietz) del suo investimento. Commentate il comportamento del sig. Paturnio. 2

3 7) Nel corso del 2001 l indice Mib30 ha reso il 30% con una volatilità del 20%, il fondo Buone Azioni ha resto il 32% con una volatilità del 22% ed il tasso risk-free è stato del 10%. Calcolate gli indici di Sharpe del fondo e del suo benchmark (il Mib30). Calcolate l M-quadro del fondo. In base a questi due indicatori, specificate se il fondo ha battuto il benchmark oppure no. Fornite anche una rappresentazione grafica delle due misure. 8) Illustrate brevemente il modello di Henriksson e Merton, spiegando in particolare in cosa differisce dal classico alfa di Jensen. Prova scritta del 2 luglio ) Oggi l indice Standard & Poor s del mercato americano quota punti ed il contratto future su un unità di indice, con scadenza tra tre mesi, quota 12181,4. Sapendo che il tasso repo a tre mesi è pari al 10% composto continuamente su base annua, dite quale valore del dividend yield a tre mesi (espresso come tasso composto continuamente su base annua) è implicito nelle attuali quotazioni di mercato. Dite inoltre quale sarà il nuovo prezzo future di equilibrio se gli analisti rivedono le stime sui dividendi e stabiliscono che il dividend yield composto continuamente su base annua sarà il 6% per il prossimo mese e l 8% per i due mesi successivi. 2) Oggi il petrolio quota 23 dollari a barile ed il future a sei mesi quota 25 dollari al barile. I costi di custodia su un barile di petrolio sono di 30 centesimi (da pagarsi anticipati) al semestre e il tasso privo di rischio a sei mesi è pari al 8% composto continuamente su base annua. Ricordando che il petrolio è un bene di consumo, dite se è possibile lucrare profitti di arbitraggio, e come. 3) Il mercato quota due opzioni put sul dollaro, con strike rispettivamente a 1 euro e a 95 centesimi. Una delle due put (non vi dico quale, dovete capirlo voi) costa 3 centesimi di euro, l altra 5 centesimi di euro. Usatele per costruire un bull spread sul dollaro e tracciatene il grafico. Indicate il payoff finale dello spread in funzione dei possibili valori futuri del dollaro. 4) Partendo da un valore odierno dell azione Zuppamatic di 20 euro, costruite un albero binomiale a uno stadio con coefficiente up pari a 1,2, coefficiente down pari a 0,9, ampiezza dello step pari a 4 mesi e tasso risk-free del 6%. Determinate le probabilità risk-neutral e spiegate che cosa significano esattamente. Usatele infine per prezzare una call europea che oggi risulta esattamente at the money. 5) Le equazioni: rt a) E0 = V0N ( d1) De N( d2 ) V0 E b) σ E = σ V E0 V consentono la stima empirica del modello di Merton per la misura del rischio di credito. Spiegate brevemente i fondamenti di questo modello, e l uso che tale modello fa della teoria delle opzioni. Terzo modulo valido per matematica finanziaria II A 3

4 6) Spiegate bene la differenza tra l indice di performance di Sharpe e quello di Treynor. Spiegate inoltre il legame che intercorre tra questi due indici quando i rendimenti delle attività finanziarie sono coerenti con il capital asset pricing model. Spiegate inoltre il legame tra indice di Treynor e alpha di Jensen. 7) Presentate brevemente la formula generale di lordizzazione dei rendimenti dei fondi comuni proposta da Assogestioni. 8) Il fondo Aquilone al 31 dicembre 2001 aveva un patrimonio in gestione di 2,5 milioni di euro. Un anno prima, il suo patrimonio in gestione era pari a 2,7 milioni di euro. L utile netto realizzato dalla gestione titoli del fondo nel 2001 è stato pari a mezzo milione di euro. Indicate il rendimento contabile del fondo. Spiegate il nesso tra la formula del rendimento contabile e la formula di Dietz per il calcolo dei rendimenti money-weighted. Prova scritta del 13 settembre 2002 (1) Spiegate cos è la base di un contratto future e cosa si intende per rischio di base. Mostrate, con un esempio numerico, come cambia il rischio di base quando è necessario riaprire un operazione di copertura. (punti: 6) (2) La società Ravanello Pallido ha in portafoglio 10 contratti futures negoziati due mesi fa per vendere un oncia d oro a 3 dollari tra sei mesi. Il prezzo future dell oro sulla stessa scadenza è, oggi, di 2,2 dollari al barile. Se la curva dei tassi annui composti continuamente è piatta in corrispondenza del 12%, quanto valgono i futures in portafoglio alla Ravanello Pallido? E qual è, oggi, il prezzo spot dell oro, se i relativi costi di custodia ammontano a cinque centesimi per oncia al semestre, da pagarsi anticipati? (punti: 6) (3) Costruite un bear spread utilizzando due put europee, con strike X 1 e X 2 (e X 1 <X 2 ). Spiegate quali contratti è necessario acquistare e vendere e disegnate un grafico della strategia. Spiegate infine come varia il profitto a seconda che il prezzo del sottostante, a scadenza, sia inferiore a X 1, superiore a X 2 o compreso tra questi due valori. (punti: 7) (4) Spiegate qual è l effetto sul prezzo di una put europea quando il titolo su cui è scritta la put distribuisce dividendi prima che la put scada - inferiori alle attese del mercato (punti: 6) (5) Utilizzate il lemma di Ito per derivare il processo stocastico seguito da dg quando G(S,t), = S t 2, dove t è il tempo e S è una variabile stocastica che segue un moto browniano geometrico. Dite se il processo stocastico di dg può essere definito un processo di Wiener generalizzato o un moto browniano geometrico. (punti: 7) Terzo modulo valido per matematica finanziaria IIA (6) Nel corso del 2001, il fondo Airone ha reso il 12%, con una volatilità annua del 22%; il fondo Cobra ha reso il 15%, con una volatilità annua del 26%; l indice Mib30 total return ha reso il 14% con una volatilità annua del 25%. Sapendo che il tasso privo di rischio è pari al 7%, calcolate 4

5 l indice di Sharpe e l M-quadro dei due fondi, e spiegate se esiste una relazione algebrica tra queste due misure di performance. (punti: 12) (7) Illustrate le principali tipologie di commissioni che possono gravare su un fondo comune d investimento in Italia. (punti: 10) (8) Presentate brevemente il modello di regressione multifattoriale utilizzato da Sharpe per la sua Style Analysis, specificando in particolare a quali vincoli devono essere assoggettati i coefficienti della regressione. (punti: 10) Prova scritta del 7 febbraio 2003 Valida per Matematica Finanziaria IIB nel Vecchio Ordinamento Rispondete alle seguenti domande nel tempo di 120 minuti.accanto ad ogni domanda è riportato il punteggio attribuito in caso di risposta completamente esatta. Il totale dei punteggi è di 32 punti. (1) Costruite un albero binomiale a due stadi (ognuno pari a tre mesi) con coefficiente up pari a 1,2, down pari a 0,7, e tasso d interesse risk-free pari al 6% composto continuamente su base annua. Considerate quindi un azione che quota, oggi, 4 euro ed ha appena pagato il dividendo annuale. Determinate il valore di una put americana a sei mesi su questa azione con prezzo d esercizio 3,5 euro (punti: 7) (2) Un future sull oro con scadenza tra tre mesi quota 12 dollari all oncia (mentre il prezzo spot dell oro è 9 dollari). La custodia di un oncia d oro per tre mesi comporta un costo fisso di C dollari, da pagarsi posticipatamente. Se il tasso d interesse repo è pari al 10% composto continuamente su base annua, quanto deve valere C perché non insorgano possibilità di arbitraggio? Se il costo C aumentasse del 10% rispetto a tale livello, qual è il tasso repo composto continuamente su base annua che impedirebbe arbitraggi? (punti: 6) (3) Spiegate con parole vostre che cos è un processo stocastico e cosa si intende per traiettoria di un processo stocastico. Descrivete inoltre, nel modo più esauriente possibile, le caratteristiche dei seguenti processi stocastici, spiegando se alcuni possono essere visti come casi particolari di altri: a) moto browniano, b) processo di Wiener generalizzato, c) processo di Ito, d) moto browniano geometrico. (punti: 7) (4) Considerate due portafogli (a e b) costituiti, rispettivamente, da: a) una call americana C su un titolo che non paga dividendi ed un deposito di ammontare Xe -r(t t) (dove X è lo strike della call); b) un unità S del titolo sottostante. Calcolate il valore di entrambi i portafogli sia in caso di esercizio anticipato della call che in caso di esercizio alla scadenza, e dite se (e a quali condizioni) l esercizio anticipato può risultare conveniente. (punti: 6) (5) Il primo novembre, il future sull indice S&P500 con consegna fine dicembre 2002 quota 400 dollari e quello con consegna fine marzo 2003 quota 415 dollari. Se la curva dei tassi risk-free è piatta al 15% per qualsiasi scadenza, quanto vale all incirca il dividend yield atteso sull indice S&P500 per i prossimi mesi? E quanto vale, all incirca, l indice sul mercato a pronti? Se le aspettative sul dividend yield migliorano (e vengono addirittura raddoppiate), su quale valore si riallinea il prezzo di equilibrio del primo future? Sale o scende? Perché? (punti: 6) 5

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