Note sulla serie di Fourier e la trasformata di Fourier

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1 Note sulla serie di Fourier e la trasformata di Fourier Queste note, come tutte le figure e le tabelle, sono state tratte dai primi due primi capitoli del libro: J. Kauppinen, J. Partanen, Fourier ransforms in Spectroscopy, Wiley-VCH, Serie di Fourier Se una funzione h(t) della variabile t soddisfa alle seguenti condizioni: 1. h(t) è definita da t a t + ed è periodica con periodo ; 2. h(t) è ben definita e ha singolo valore (eccetto in un numero finito di punti) nell intervallo; [ 1 2, 1 2 ] ; 3. h(t) e la sua derivata prima sono continue (eccetto in un numero finito di discontinuità a gradino); ) 4. h(t) è integrabile nell intervallo ( 1 2, 1 2, cioè h(t) dt < allora la funzione può essere espressa come un espansione in serie di Fourier: where h(t) 1 2 a 0 + [a n cos(2πnf 0 t) + b n sin(2πnf 0 t)] c n exp(i2πnf 0 t) (1) n1 n f 0 1 a n 2 b n h(t) cos(n2πf 0 t)dt h(t) sin(n2πf 0 t)dt c n h(t) exp( in2πf 0 t)dt 1 2 (a n ib n ) c n c n 1 2 (a n + ib n ) f 0 è detta la frequenza fondamentale del sistema. La serie di Fourier è formata da una somma infinita di armoniche della frequenza fondamentale. I coefficienti a n, b n e c n rappresentano le ampiezze delle diverse componenti armoniche. Quando la serie di Fourier viene troncata il risultato della serie può differire dalla funzione h(t). 1

2 Figure 1: Funzione Onda quadra Se la funzione periodica ha una discontinuità a gradino come nel caso dell onda quadra riportata in Fig. 1 e si utilizza la serie di Fourier troncata per descriverla, si notano delle oscillazioni in vicinanza del punto di discontinuità, come mostrato in Fig. 2. Queste oscillazioni si smorzano all aumentare dei termini della serie di Fourier che si considerano. Figure 2: Funzione Onda quadra descritta da una serie di Fourier troncata rasformata di Fourier Se si lascia tendere ad infinito il periodo della serie di Fourier, la frequenza f 0 tende a zero e si ottiene in questo modo una forma integrale della serie di Fourier che si può anche utilizzare con funzioni non periodiche. Possiamo scrivere h(t) c n exp(i2πnf o t) (2) n sostituendo a c n l espressione riportata in precedenza si ha: h(t) n 1 /2 /2 h(t )exp( i2πnf 0 t )dt exp(i2πnf o t) (3) Sostituendo nf 0 con f, e facendo tendere e quindi 1/ f 0 df 0, la sommatoria può essere sostituita con un integrale: n 1 df (4) 2

3 e si ottiene: ponendo: h(t) [ h(t )exp( i2πft )dt ] exp(i2πft)df (5) H(f) l espressione precedente diventa: h(t) l operazione F si chiama rasformata di Fourier. La trasformata inversa si ottiene dalla (6) : H(f) h(t )exp( i2πft )dt (6) H(f) exp(i2πft)df F[H(f)] (7) h(t) exp( i2πft)dt F 1 [h(t)] (8) e F 1 si chiama rasformata Inversa di Fourier. C è da notare che le funzioni h(t) e H(f) formano una coppia di trasformate di Fourier. Le due variabili t e f possono essere qualunque coppia di variabili che hanno dimensioni il cui prodotto è uguale a 1, come per esempio tempo t (s) e frequenza ν (s 1 Hz) oppure distanza (cm) e inverso di una distanza (cm 1 ). In letteratura si trovano definizioni diverse per le trasformate di Fourier. Per esempio: l esponenziale complesso negativo può essere inserito nella trasformata, mentre si usa un esponenziale complesso positivo per la trasformata inversa. Oppure spesso la frequenza f viene sostituita dalla frequenza ω 2πf e le due relazioni di trasformata (6) e (7) diventano: e h(t) 1 H(ω) exp(iωt)dω F[H(ω)] (9) 2π H(ω) h(t) exp( iωt)dt F 1 [h(t)] (10) Il libro di Kauppinen - Partanen suggerisce di non usare queste formule perchè spesso il coefficiente 2π viene inserito nel modo sbagliato e questo errore porta a stime sbagliate nei calcoli che utilizzano la trasformata di Fourier. Nel seguito sono riportate le trasformate di Fourier di alcune delle funzioni più comuni: Dirac s delta function La funzione delta di Dirac: δ(t) non è una vera e propria funzione e permette di descrivere una quantità centrata ad un ben determinato valore. La definizione di questa funzione è: inoltre: δ(t t 0 )dt 1 (11) lim δ(t t 0 ) (12) t t 0 a punti t t 0 la funzione δ(t t 0 ) è uguale a zero. La forma della funzione delta di Dirac non è definita univocamente e si possono utilizzare diverse rappresentazioni per δ(t). 3

4 Una possibilità è quella di rappresentarla sulla base della trasformata di Fourier: δ(t) exp(i2πts)ds F(1) o analogamente con la trasformata inversa: δ(t) exp( i2πts)ds F 1 (1) cos(2πts)ds (13) cos(2πts)ds (14) Altri modi per rappresentare la funzione delta di Dirac sfruttano la funzione triangolo o la funzione boxcar facendo tendere l ampiezza del rettangolo o del triangolo a zero. Oppure utilizzando la funzione Gaussiana o Lorenziana o Sinc: ( ) 1 t δ(t) lim a 0+ a 2 2π exp 2a 2 lim σ 0+ dove il simbolo ha il significato di corrisponde a. σ/π t 2 + σ 2 lim sin(aπt) a πt La trasformata di Fourier della funzione delta di Dirac è l esponenziale complesso, infatti: (15) F 1 [δ(t t 0 )] δ(t t 0 ) exp( i2πft)dt (16) exp( i2πft 0 ) ovvero una funzione periodica nella variabile f con una ben determinata frequenza t 0. Poiché la trasformata inversa di Fourier della funzione delta di Dirac è una funzione periodica complessa, le trasformate dirette di Fourier delle funzioni seno e coseno, espresse in funzione della variabile t: sin(2πf 0 t) e cos(2πf 0 t), sono delle funzioni delta di Dirac centrate alle due frequenze +f 0 e f 0, come mostrato in Fig.3. Si lascia come esercizio la dimostrazione di questa trasformata. Figure 3: Funzione coseno e sua trasformata di Fourier Da un punto di vista fisico, la trasformata di Fourier ci permette di determinare la frequenza principale di una funzione oscillante. Boxcar Function 4

5 La funzione Boxcar o funzione a gradino è definita come: Π 2 (t) { 1 se t 0 se t > la sua trasformata di Fourierè la funzione sinc(f): F 1 [Π 2 (t)] 2 sinc(2π f) 2 sin(2π f) 2π f (17) Dimostrazione: Figure 4: Funzione Boxcar e la sua trasformata di Fourier F 1 [Π 2 (t)] Π 2 (t) exp( i2πft)dt 0 exp( i2πft)dt + cos(2πft)dt i 1 exp( i2πft)dt + 0 exp( i2πft)dt sin(2πf t)dt (18) Eseguendo un cambio di variabile e ponendo: a 2πtf gli integrali diventano: F 1 [Π 2 (t)] ( 1 2π f ) 2π f cos(a)da + i sin(a)da 2πf 2π f 2π f sin(2πf ) sin( 2πf ) cos(2πf ) cos(2πf ) + i 2πf 2πf 2 sinc(2πf ) (19) effettuando la trasformata di Fourier F[2 sinc(2πf )] si ottiene la funzione Boxcar. Come si può notare dalla Figura 4, tanto più larga è la funzione Boxcar (ovvero tanto più grande è ), tanto più stretta è la funzione sinc(f), la cui ampiezza a metà altezza dal punto di massimo è descritta da σ. 5

6 La funzione Boxcar descrive la troncatura che si effettua quando si registra un segnale continuo per un tempo finito. Siccome tutte le misure vengono eseguite per un tempo finito è importante conoscere l effetto che tale troncauira ha sul calcolo della rasformata di Fourier di un segnale misurato. Gaussian Function La funzione Gaussiana è una funzione che si incontra spesso in chimica, in quanto è una funzione che ben descrive la distribuzione di eventi casuali ripetuti, o la proprietà di un insieme di sistemi che varia a seconda dell intorno in cui si trovano i singoli sistemi (ad esempio l energia di uno stato molecolare per un insieme di molecole che si trovano in intorni energeticamente diversi). Una delle varie forme in cui si può descrivere la funzione Gaussiana nel dominio di t è: g(t) π exp( t2 ) (20) dove i coefficienti di normalizzazione iniziale e i coefficienti moltiplicati alla variabile t 2 possono essere anche scritti con modalità diverse. Inoltre questa funzione è centrata in t 0; per avere una funzione centrata in un punto t t 0 la variabile t 2 nell esponenziale viene sostituita con (t t 0 ) 2. La trasformata di Fourier della funzione Gaussiana è: F 1 [g(t)] exp ( π2 f 2 ovvero un altra funzione Gaussiana definita nel dominio della variabile inversa f. ) (21) Dimostrazione: Figure 5: Funzione gaussiana e la sua trasformata di Fourier F 1 [g(t)] g(t) exp( i2πf t)dt π exp( t2 ) exp( i2πft)dt 6

7 ( Sostituendo nell integrale: t 2 + i2πft t + iπf si ottiene: [ ( F 1 [g(t)] exp t + iπf π π exp( t2 i2πft)dt (22) ) 2 ( ) + π 2 f 2 ) 2 ] exp Facendo un cambio di variabile e ponendo z (t + iπf/) si ottiene: ( π2 f 2 ) dt (23) ( F 1 [g(t)] π exp π2 f 2 ) dz exp( z) 2 ( π π exp π2 f 2 ) ( exp π2 f 2 ) (24) Quod erat demonstrandum. Exponential Function La funzione esponenziale viene spesso usata in spettroscopia perchè descrive bene il decadimento nel tempo della popolazione di uno stato energicamente eccitato. Questo tipo di funzione è definita come: dove u(t) { 1 se t 0 0 se t < 0 E(t) u(t)a exp( at) (25) la trasfromata di Fourier di questa funzione è una funzione complessa: F 1 [E(t)] 0 E(t) exp( i2πf t)dt u(t)a exp( at) exp( i2πf t)dt a exp [ (a + i2πf) t] dt a a + i2πf (26) se consideriamo la parte reale e immaginaria di questa funzione otteniamo: [ ] R F 1 [E(t)] 7 a 2 a 2 + (2πf) 2 (27)

8 [ ] I F 1 [E(t)] 2πaf a 2 + (2πf) 2 (28) La parte reale è la funzione Lorentziana mentre la parte immaginaria è una funzione di dispersione. Figure 6: Funzione esponenziale e la sua trasformata di Fourier Lorentziana Per altre note sulla trasformata di Fourier di funzioni esponenziali si consiglia: Proprietà della rasformata di Fourier Le funzioni h(t) e H(f) vengono spesso chiamate segnale e spettro, rispettivamente, quando t è il tempo e f la frequenza o t x è lo spazio e f f il numero d onda. In genere h(t) è una funzione reale, mentre come abbiamo visto anche negli esempi precedenti, H(f) può essere una funzione complessa. Infatti la si può esprimere come: H(f) h(t) exp( i2πf t)dt F cos [h(t)] if sin [h(t)] h(t)cos(2πf t)dt i h(t)sin(2πf t)dt H(f) exp(iθ(f)) (29) dove F cos [h(t)] e F sin [h(t)] sono le trasformate della funzione coseno e seno rispettivamente. Inoltre: H(f) è definita come l ampiezza dello spettro e: [F cos [h(t)]] 2 + [F sin [h(t)]] 2 (30) θ(f) arctan F cos[h(t)] F sin [h(t)] la fase dello spettro. Usando le definizioni di trasformata del seno e coseno si ottiene per la trasformata inversa: (31) F 1 [h(t)] F cos [h(t)] if sin [h(t)] (32) eorema dello Spostamento 8

9 Consideriamo come uno spostamento della frequenza f di un fattore costante ±f 0 della funzione H(f) influenza la sua trasformata h(t). F[H(f ± f 0 )] dfh(f ± f 0 ) exp(i2πft) (33) effettuando il cambio di variabili: g f ± f 0 risulta dg df e l integrale diventa: F[H(f ± f 0 ] exp(±i2πf 0 t) dgh(g) exp[i2π(g ± f 0 )t] df H(g) exp(i2πgt) h(t) exp(±i2πf 0 t) (34) In maniera analoga si dimostra che uno spostamento della funzione h(t) di un fattore costante ±t 0 ha come effetto che: F 1 [h(t ± t 0 )] H(f) exp(±i2πft 0 ) (35) eorema di Similitudine Se si moltiplica la frequenza f della funzione H(f) per un fattore a costante, reale e positivo, allora la trasformata della funzione H(f) risulta essere: F[H(af)] df H(af) exp(i2πf t) (36) effettuando il cambio di variabili: g af che implica dg adf, l integrale diventa: F[H(af)] 1 a ( ) i2πgt dgh(g) exp a 1 h(t/a) (37) a Questo teorema mostra come un espansione della coordinata in una dimensione porta a una contrazione della coordinata coniugata nell altra dimensione. Analogamente per la trasformata inversa: F 1 [H(at)] 1 H(f/a) (38) a eorema di Convoluzione Si definisce convoluzione della funzioni g(t) e h(t) l operazione: g(t) h(t) g(u)h(t u)du (39) L integrale di convoluzione è una funzione che varia con t. Esso può essere considerato come l are del prodotto della funzione g(u) con h(t u). In questa operazione la funzione h(u) viene riflessa: h( u) e spostata di una quantità t. 9

10 Figure 7: Esempio di convoluzione di due funzioni ipicamente nell analisi di segnali g(t) è la funzione oggetto (che si vuole misurare) e h(t) è una funzione a forma di picco (funzione responso dello strumento). Il risultato della convoluzione porta ad un allargamento della funzione oggetto nel tempo. Infatti la convoluzione delle due funzioni è sempre più larga ( nel senso della sua ampiezza rispetto all asse delle ascisse) delle ampiezze delle due singole funzioni di partenza. L operazione di convoluzione gode delle proprietà commutativa, associativa e distributiva: h g g h commutativa h (g k) (h g) k associativa h (g + k) (h g) + (h k) distributiva Importante: Il eorema di Convoluzione dice che: Se si applica la trasformata di Fourier al prodotto di due funzioni, il risultato è uguale alla convoluzione delle trasformate di Fourier delle due singole funzioni. Lo stesso vale per la trasformata inversa: la trasformata di Fourier inversa del prodotto di due funzione è uguale alla convoluzione delle trasformate di Fourier inverse delle singole funzioni. Questa proprietà è descritta dalle seguenti equazioni: F[H(f) G(f)] F[H(f)] F[G(f)] h(t) g(t) (40) F 1 [h(t) g(t)] H(f) G(f) (41) D altra parte, come si può notare, la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è uguale al prodotto delle trasformate di Fourier delle due funzioni. Questa 10

11 proprietà delle trasformate di Fourier risulta molto ultile nell analisi di segnali che presentano proprietà composite, come pure segnali che dipendono dalla convoluzione della funzione segnale con la funzione responso strumentale. F 1 [h(t) g(t)] F 1 [h(t)] F 1 [g(t)] H(f) G(f) (42) F[H(f) G(f)] h(t) g(t) (43) 11