Lezione XXI Sistemi vibranti a 1gdl-Moto forzato non smorzato MOTI FORZATI PER SPOSTAMENTO DI VINCOLO

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1 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato MOTI FORZATI PER SPOSTAMETO DI VICOLO Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto a un osservatore assoluto con una legge \W nota. \W Scrivendo l equazione di equilibrio dinamico, otteniamo Definiamo [W lo spostamento assoluto della massa e misuriamo gli spostamento dalla posizione di equilibrio statico che sarà definita da \W () = [W () = [() W = P[ && ([ \()) W = P[ && + [ = \ () W equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa del tutto simile a quella già vista nel moto forzato. Per un osservatore relativo, l equazione di equilibrio dinamico, diventa invece ( ) P && [ + && \W () [ = P[ && + [ = P\W &&() U U U U Supponiamo ora che il moto del vincolo sia armonico di ampiezza E per cui [[[),&&&,, che ha come integrale particolare \W () = EsinW P[ && + [ = EsinW E [ () W = sinw = ; sinw S P E ove ; = P è l ampiezza di vibrazione nel moto assoluto della massa P. In termini adimensionali ; = E del tutto analogo al coefficiente di amplificazione + già definito. Quando una molla potrà essere definita rigida, quando non vi è moto relativo e quindi U ;? E A.A. /

2 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato Consideriamo ora l osservatore relativo e quindi e in termini adimensionali && P[ + [ = P\ ( W) = P EsinW U U && P E [ () W = sinw = ; sinw US U P ; U E = A.A. /

3 Moti forzati dovuti a squilibri rotanti Lezione XXI Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato Supponiamo di avere una macchina con una parte rotante, avente massa propria e uno squilibrio PH Supponiamo che la velocità angolare sia costante. L accelerazione assoluta della massa eccentrica sarà r r r = + = + && r L W D D D HH [ U W Avremo quindi, misurando gli spostamenti [, positivi verso l alto, a partire dalla posizione di equilibrio statico, ( ) [ && P( Hsin W + && [) [ = + P && [ + [ = PH e l integrale particolare, in condizioni di regime, varrà e quindi PH [ ( W) = sinw = ; ( ) sinw S + P ( ) ; ( ) P P = = H ( + P) ( + P) Si noti che la macchina al variare della velocità trasmetterà al terreno una forza variabile nel tempo pari a ) = ; sinw WU che forzerà il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzerà a sua volta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso. Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia baricentrico (e anche principale d inerzia come vedremo) la forzante si annulla e il fenomeno scompare in quanto l equazione di moto risulta essere la soluzione di ( + P ) && [ + [ = A.A. / 3

4 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato MOTI FORZATI DOVUTI A FORZATI A GRADIO Con riferimento al solito schema, vediamo quale sia la risposta dinamica del sistema a una forza )W del tipo [[[),&&&,, )W W < )W 4 W L equazione di moto diventerà allora per W P[ && + [ = 4 L integrale generale dell omogenea associata ha la forma J ( ) = cos + sin [ W $ W % W = P mentre l integrale particolare è del tipo [ () W = ' =costante S che sostituito porta a 4 [ () W = ' = = δ S VW ovvero [W () = $ cos W + % sin W+ δvw A e B devono essere valutati sulla base delle condizioni iniziali. Supponendo ( ) ( ) [ = [ & = si ricava $ = δvw % = da cui ( ) [W () = δ cos W VW ovvero un carico dinamico, applicato bruscamente, fornisce deformazioni molto maggiori, di uno applicato staticamente. Infatti [ = δ max VW A.A. / 4

5 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato SERIE DI FOURIER E TRASFORMATA DI FOURIER Richiamiamo alcuni concetti della serie e della trasformata di Fourier. Consideriamo una funzione periodica tale per cui [W () = [W ( ± ) per «Detta frequenza fondamentale I quella che soddisfa la seguente equazione I = con poche eccezioni, tale funzione può essere espansa in serie di Fourier, ovvero D [W D IW E IW () = + cos + sin = ( π π ) I = I = per «e i coefficienti D e E possono essere calcolati integrando sul periodo mentre D = [()cos W π I WGW E = [( W)sin π I WGW D = [WGW () =µ [ rappresenta il valor medio della funzione [W. D [W D IW E IW () = + cos + sin = ( π π ) A.A. / 5

6 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato Tenendo conto che le due funzioni armoniche hanno il medesimo argomento, la serie di Fourier può anche essere espressa come D ; = ; D E = + per «E θ = tan D Si può riscrivere l espressione in forma polare = ( π θ ) [W () = ; + ; cos IW () = L IW = [W $H π D $ = Lπ IW $ = ( D LE ) = [() W H GW per ±±±«Quest ultima espressione è basata sulla relazione di Eulero H Lθ = cosθ Lsinθ Anche se [Wè reale, la funzione può essere sempre espressa in forma complessa usando componenti a frequenze positive e negative (ovvero controrotanti) il cui risultante è sempre reale. In particolare $ $ H θ L = per ±±±«$ $ H θ L = per ±±±«A.A. / 6

7 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato ; $ = D + E = E θ = tan D Essendo la funzione [W reale $ $ θ = θ = $ è il complesso coniugato di $ θ θ $ = $ H = $ H = $ L L * A.A. /

8 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato ESEMPI OTEVOLI DI SERIE DI FOURIER A.A. / 8

9 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato A.A. / 9

10 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato TRASFORMATA DI FOURIER Supponiamo ora che la funzione [W sia non periodica. La serie di Fourier può essere estesa considerando che il periodo. Questo porta all integrale di Fourier ;I esiste se π IW ; I [ W H GW L ( ) () = - I [W () GW ;I è chiamato la trasformata diretta (o spettro) di [W. oto ;I, la trasformata inversa di Fourier di ;I fornisce [W tramite < () ( ) L π IW Si noti che pur essendo [W reale ;I è complesso [W = ; I H GI - W ;( I ) = ; ( I) + L; ( I) U L ovvero ; ( I ) = ;( I)cos θ( I ) = [( W)cosπ IWGW U ; ( I ) = ;( I)sin θ( I ) = [( W)sinπ IWGW L L ;( I ) = ;( I) H θ ( I ) ;I è l ampiezza dello spettro e θiè la fase dello spettro. A.A. /

11 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato TRASFORMATA FIITA DI FOURIER Da un punto di vista pratico non è possibile campionare una storia temporale di lunghezza infinita, ma invece campionerà record temporali di pari lunghezza. ( τ [[ ) L L 5 W, = lim [ ( W )[ ( W + τ) L= Le proprietà statistiche dell insieme dei dati possono essere facilmente calcolate a qualsiasi specifico istante W, mediando sull insieme. Per esempio il valor medio e il valore quadratico medio all istante W sono dati da ( ) = lim ( ) µ W [ [ W L L= ψ = ( W ) lim [ ( W ) [ L L= Inoltre si può anche calcolare il prodotto medio dei dati agli istanti W e W τ, quantità chiamata autocorrelazione al ritardo τ, el caso speciale che tutte le proprietà statistiche e l autocorrelazione siano costanti al variare di W, il fenomeno è detto stazionario. Se in sovrappiù tali valori coincidono con quelli calcolati su un generico record µ = lim [ ( W) GW [ L ψ = lim ( ) [ W GW L [ 5 [[( τ) = lim [ L( W )[ L( W τ) GW + il fenomeno è detto ergodico ed è quindi possibile estrarre tutte le informazioni di nostro interesse da una generica storia limitata (finita) nel tempo da W Supponendo il fenomeno stazionario, potremo stimare ;I dalla trasformata finita di Fourier A.A. /

12 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato ( ) (, ) ( ) = = Lπ IW ; I ; I [ W H GW Per quanto detto, si può dimostrare che alle frequenze finite I = risulta ;( I, ) = $ ±±±«Ovvero se la storia temporale [W è limitata tra Wpotremo calcolare lo spettro solo a un numero finito di frequenze ottenendo così una serie di Fourier con periodo fondamentale T. Inoltre se [W è campionato per un numero discreto di punti intervallati di W, la lunghezza del record diventa W e questo automaticamente introduce il fatto che potremo calcolare tutte le frequenze discrete fino a I F W, frequenza detta di yquist, e che i conti considerano i dati come priodici con periodo pari a W ovvero si introduce una frequenza fondamentale, che può essere arbitraria, I e gli spettri sono calcolati frequenze discrete equispaziate di I I Per cui, in pratica, il record continuo [W è sostituito da una sequenza discreta di dati { } {[ } [( Q W) Q = per Q «e la trasformata continua di Fourier ;I è rimpiazzata dalla sequenza discreta di Fourier { } {; } ; ( I ) = per «Q= Q Lπ ; = ;( I) = W [ H per «Q L [ [( Q W) I ; H π Q = Q = = perq «i valori ; per! sono calcolabili da quelli per per la circolarità delle trigonometriche. funzioni A.A. /

13 Sistemi vibranti a gdl-moto forzato non smorzato Per quanto detto se il nostro solito sistema a un grado di libertà è forzato da una forzante generica )W avremo che / ( π θ ) )W () ) + ) cos OIW O= e l equazione di moto sarà rappresentata dalla soluzione dell equazione differenziale lineare a cofficienti costanti ovvero, l integrale particolare / ( π θ ) P[ && + [ = ) + ) cos OI W / ) ) O O= O= O O ( π θ ) [ () W = + cos OIW S P( πoi ) O A.A. / 3