Corso di Costruzioni in Zona Sismica

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1 Corso di Costruzioni in Zona Sismica Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale Ernesto Grande e.grande@unicas.it

2 Earthquake Engineering Lecture 5 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento Forzante armonica e periodica

3 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica È un orblema classico della dinamica strutturale: È una tipologia di eccitazione caratterizzante vari sistemi dell ingegneria Lo studio è importante in quanto fa capire la risposta della struttura anche nei confronti di altri tipi di eccitazione Ha applicazioni utili nel campo dell ingegneria strutturale

4 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Forzante armonica: p(t)=p 0 sin(wt) or p(t)=p 0 cos(wt) dove: p 0 : ampiezza w: frequenza circolare della forzante T=2p/w : periodo della forzante

5 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica posto: p(t)=p 0 sin(wt) L equazione del moto diviene: Sempre introducendo le condizioni iniziali all istante di tempo in cui la forza è applicata:

6 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica La soluzione particolare e quella complementare dell equazione del moto sono: Pulsazione naturale Dipendono dalle condizioni iniziali ut ( 0) u(0) u(0) ut ( 0) n

7 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica La soluzione, somma di quella particolare e di quella generale:

8 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Plottando la risposta totale e quella stazionaria:

9 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica u(t) contiene due componenti: sin( t) dà luogo a oscillazioni con pulsazione della forzante vibrazione forzata o stazionari dovuta alla forza applicata ma non dipende dalla condizioni iniziali sin( n t) e cos( n t) dà luogo a oscillazioni nella pulsazione naturale vibrazione transiente dipende dalle condizioni iniziali

10 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica In questo caso il moto esiste anche in assenza di condizioni iniziali:

11 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Nota: La parte stazionaria è quella più importante nei sistemi reali caratterizzati dalla presenza di smorzamento.

12 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Considerando la parte stazionaria è possibile osservare che: Trascurando l effetto dinamico : (spost. statico) Che assume il massimo valore pari a:

13 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Conseguentemente la parte stazionaria è:

14 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica osservazioni: per / n <1 o < n, lo spostamento è in fase con la forza applicata: u(t) e p(t) hanno lo stesso segno; quando la forza agisce verso destra il sistema si sposta a destra.

15 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Osservazioni: per / n >1 o > n, lo spostamento è fuori fase rispetto la forza applicata: u(t) e p(t) hanno segno opposto; quando la forza agisce verso destra lo spostamento avviene verso sinistra.

16 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica In accordo a queste osservazioni può essere introdotto l angolo di fase: where: Fattore di risposta

17 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Osservazioni: Se / n è piccolo (la forza varia lentamente), Rd è prossimo a 1 e l ampiezza del moto è pari a lo spostamento statico massimo.

18 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Osservazioni: Se / n >2^0.5 Rd<1 e l ampiezza dello spostamento è minore di quello statico.

19 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Osservazioni: se / n aumenta oltre 2^0.5, R d diventa piccolo e si va via via annullandosi quando / n.

20 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Osservazioni: se / n circa pari a 1, è circa to n si ha che l ampiezza dello spostamento è molto più grande di quello statico. Frequenza di risonanza: la frequenza a cui R d è massimo

21 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Osservazioni: Per un sistema non smorzato: R d va all infinito alla frequenza di risonanza L ampiezza del moto cresce gradualmente

22 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Nel caso = n la soluzione particolare assume la forma seguente: E la soluzione completa imponendo (u(0)=v(0)=0) è: oppure:

23 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica

24 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica Il tempo per effettuare un ciclo completo è Tn In ogni ciclo l ampiezza aumenta di:

25 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica L ampiezza cresce indefinitamente ma dopo un tempo infinito

26 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica problema Solution: m= lb-sec 2 /in; k=10.55 lb/in; n =25.13 rad/sec

27 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate in assenza di smorzamento forzante armonica m= lb-sec 2 /in; k=10.55 lb/in; n =25.13 rad/sec P(t)=1 sin(1 t) (by using Maple)

28 Sistema a un GdL: Vibrazioni forzate smorzate: Forza armonica

29 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA In questo caso l equaione differenziale che governa il moto è: E considerando le condizioni iniziali: La soluzione particolare: Dove le costanti C e D sono:

30 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA La soluzione complementare (vibrazioni libere): dove:

31 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA La soluzione completa:

32 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA La parte transiente si riduce esponenzialmente col tempo di una quantità dipendente da / n e da. Dopo un certo tempo rimane solo la parte forzata che viene appunto detta stazionaria.

33 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Risposta per = n

34 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Risposta per = n zero initial conditions

35 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Risposta per = n Soluzione dell equazione del moto

36 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Risposta per = n Lo smorzamento riduce i picchi e dà luogo ad un valore limite a cui tende

37 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Risposta per = n per strutture con basso smorz. n z D Lo spostamento varia col tempo in modo cosinusoidale L ampiezza aumenta col tempo secondo la funzione inviluppo

38 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA MASSIMO SPOSTAMENTO Lo spostamento stazionario dovuto alla forza armonica Può essere scritta come: dove: e sostituendo:

39 Plottata per un fissato valore e per differenti rapporti / n considerando le due componenti: statica e dinamica. dove: P0 ( ust ) 0 k P u t t k 0 st ( ) sin( ) Il moto stazionario presenta periodo, ma con un ritardo = /2. Angolo di fase o di ritardo

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41 Lecture 5 Frequency response curve notes: tutte le curve sono al di sotto del caso =0: lo smorzamento riduce Rd e quindi l ampiezza del moto a tutte le frequenze. La riduzione dipende dalla frequenza della forzante

42 Lecture 5 / n Se è molto più piccolo di n, ovvero la forzante varia lentamente, R d è circa pari ad 1 e indipendente dallo smorzamento la risposta è essenzialmente la stessa di quella statica ed è controllata dalla rigidezza del sistema.

43 / n Se è molto più grande di n, ovvero la forzante varia rapidamente, R d tende a zero ed è indipendente dallo smorzamento La risposta è controllata dalla massa del sistema

44 / n La risposta è controllata dallo smorzamento del sistema Se è circa pari a n, R d è molto sensibile allo smorzamento e per valori piccoli dello smorzamento Rd può essere molto maggiore di 1. Se = n si ha:

45 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA FATTORI DI RISPOSTA DINAMICA È possibile definire i fattori di risposta in termini di spostamento, velocità e accelerazione (quantità adimensionali che danno informazioni sull ampiezza del moto). R d : fattore di risposta di spostamento il rapporto tra l ampiezza dello spostamento u o della risposta dinamica e lo spostamento statico (u st ) o.

46 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA R v : fattore di risposta della velocità R a : fattore di risposta dell accelerazione

47 Note: R d È uno se / n =0, picco / n =1 vaazerose / n Yh

48 Note: R v Èzerose / n =0, Massimo quando / n =1 Va a zero quando / n Yh

49 Note: R a È zerose / n =0, massimo / n =1 Diventa 1 / n Yh

50 Consente di rappresentare tutti e tre i fattori di risposta in un grafico

51 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA FREQUENZE DI RISONANZA La frequenza di risonanza è definita come la frequenza della forzante in corrispondenza della quale si ha il massimo valore dello spostamento, velocità, accelerazione. Possono essere dedotti settando a zero la derivata di R d,r v,r a rispetto a / n. Nel caso di sistema non smorzato le tre frequenze di risonanza sono uguali e pari a n.

52 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA FREQUENZE DI RISONANZA Se nei fattori di risposta sostituiamo a posto di proprio il valore della frequenza di risonanza:

53 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA FREQUENZE DI RISONANZA Se a e b sono le frequenze a cui corrisponde che l ampiezza u 0 è 1/S2 volte l ampiezza di risonanza, per piccoli valori di è possibile mostrare che: È possibile trovare lo smorzamento senza conoscere la forzante.

54 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Ottenuta da un test

55 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA esempio Il telaio in figura è montato su una tavola vibrante e si eseguono delle prove dinamiche imponendo un moto con legge armonica e variando la frequenza del moto. Ad ogni frequenza dell eccitazione viene misurato il picco di accelerazione della tavola vibrante e del telaio plottando il rapporto tra i due (TR). Determinare la frequenza naturale e il rapporto di smorzamento.

56 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA È piccolo: f D =f n peak f 3.59Hz TR 12.8 n 1 half power band TR f 3.44Hz a f 3.74Hz b damping : %

57 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Energia dissipata a causa dello smorzamento viscoso

58 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Considerando la risposta stazionaria nel caso sempre di forzante armonica p(t)=p 0 sin t Energia dissipata dallo smorzamento viscoso in un ciclo:

59 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA E D 2 ku n 2 0 Note: L energia dissipata è proporzionale al quadrato dell ampiezza del moto L energia dissipata non è costante per un dato valore di smorzamento e ampiezza: aumenta linearmente con la frequenza di eccitazione

60 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Energia in ingresso per ogni ciclo: Note: L energia in ingresso è proporzionale all ampiezza dello spostamento

61 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Energia in ingresso per ogni ciclo: Utilizzando la def. di angolo di fase Note: Nella parte stazionaria l energia in ingresso è dissipata dallo smorzamento viscoso

62 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA E l energia potenziale e cinetica?? Note: Su ogni ciclo di vibrazione armonica la variazione di energia potenziale e cinetica è nulla

63 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Interpretazione grafica dell energia dissipata tramite smorzamento viscoso. (equazione dell ellisse)

64 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Curva f D -u ha la forma di un ciclo detto ciclo isteretico

65 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Area chiusa dal ciclo isteretico È proprio l energia dissipata

66 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA L energia totale (elastica più smorzamento) è la forza resistente misurata in una prova:

67 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA L energia dissipata è sempre l area dell ellisse in quanto l energia dissipata dalla forza elastica è nulla.

68 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Il ciclo isteretico associato allo smorzamento viscoso è il risultato di un isteresi dinamica poichè relativo alla natura dinamica del carico. L area del ciclo è proporzionale alla frequenza di eccitazione: la curva forza-deformazione è una curva a singolo valore non un ciclo se il carico ciclico è applicato lentamente ( =0)

69 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Misura dello smorzamento Capacità specifica di smorzamento E D /E S0 : è la porzione di energia di deformazione (E s0 =ku 02 /2) che è dissipata in ogni ciclo. Fattore di smorzamento specifico

70 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente La definizione più semplice di smorzamento viscoso equivalente è basata sulla misura della risposta di un sistema soggetto ad una forzante armonica di frequenza uguale alla frequenza naturale del sistema n. Questo è lo smorzamento viscoso equivalente in quanto tiene conto di tutti i meccanismi di dissipazione esibiti dalla struttura durante la prova.

71 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente Un altra definizione dello smorzamento viscoso equivalente è l ammontare dello smorzamento che dà luogo alla stessa ampiezza di banda della curva di risposta in frequenza ottenuta nella sperimentazione. Il rapporto di smorzamento eq è calcolato utilizzando le frequenze di eccitazione f a,f b,f n ottenute sperimentalmente dalla curva.

72 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente Il metodo più comune per definire lo smorzamento viscoso equivalente è quello di eguagliare l energia dissipata dalla struttura reale e da quella con smorzamento viscoso.

73 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente a) Viene dedotta la relazione forzaspostamento ottenuta dalla sperimentazione sotto un carico ciclico con ampiezza u 0

74 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente a) L energia dissipata dalla struttura reale è data dall area E D racchiusa dal ciclo isteretico

75 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente a) Eguagliando questa energia all energia dissipata in modo puramente viscoso E E 1 k u 2 2 k u 2 s0 0 D n 2 0 uguagliando l'energia dissipata dalla struttura reale E con quella dissipata dallo smorzatore viscoso E, si ottiene il valore dello smorzamento equivalente: 2 ED ED ED 2 eq k u0 2 eq 2Es0 eq 1 1 E 4 / E n D s0 n n D D

76 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate smorzate: FORZANTE ARMONICA Smorzamento viscoso equivalente La prova sperimentale fornendo la curva forza deformazione e quindi E D dovrebbe essere condotta a = n, dove la risposta del sistema è più sensibile allo smorzamento

77 Risposta a eccitazione periodica

78 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante periodica Una forzante periodica implica che l eccitazione ha avuto atto per un lungo periodo per il quale la risposta transiente associata alle condizioni iniziali si sia smorzata. La risposta di un sistema lineare a una forzante periodica può essere determinata combinando le risposte dei termini di eccitazione individuate della serie di Fourier.

79 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante periodica Forzante periodica arbitraria con periodo Tp. Forma trigonometrica della serie di Fourier

80 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante periodica Dove i coefficiente delle ampiezze delle armoniche possono essere valutati come:

81 Sistema a un GdL: vibrazioni forzate viscose: forzante periodica Segue dunque banalmente il calcolo della risposta stazionaria del sistema: