12.3. Il problema di Dirichlet nel piano. In questa lezione si vuole dare risoluzione completa e rigorosa del problema di Dirichlet nel piano:

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Emilio Mantovani
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1 12.3. Il problema di Dirichlet nel piano. In questa lezione si vuole dare risoluzione completa e rigorosa del problema di Dirichlet nel piano: u = 0 in R u = g in R Distribuzione di temperatura in una piastra e teorema di Gauss della media. Consideriamo un flusso costante di calore in una piastra metallica le cui facce sono isolate. Nell interno della piastra T (z) è una funzione armonica, T = 0, e il flusso di calore è il campo vettoriale T. Misuriamo la temperatura lungo la circonferenza C di un cerchio di raggio R = 1 (non c è restrizione, basta cambiare scala di lunghezza), l interno del quale è privo di sorgenti e pozzi, e il cui centro possiamo scegliere convenientemente come l origine. Quando Z = e iθ si muove lungo C, possiamo esprimere la temperatura come funzione dell angolo, T = T (θ) def = T (e iθ ) È fisicamente plausibile che questi valori determino la temperatura in qualunque punto interno z. Sappiamo già che le cose stanno così per il centro del cerchio: il teorema della media di Gauss afferma che T (0) def =< T >= 1 T (θ)dθ e anche se non avessimo saputo nulla del teorema della media, da fisici, questa è la formula che avremmo scritto immediatamente per la temperatura nel centro. Che altro se non questo? Scopo di questa lezione è mostrare che la chiave di volta per risolvere il problema di Dirichlet nel piano è il teorema della media di Gauss. Essendo questo un risultato profondo di matematica, vogliamo arrivarci per gradi, chiarendo tutti i passi che si devono compiere, cercando di fare apprezzare così la bellezza del risultato che si ottiene. Per il momento abbiamo impostato il problema per il disco unitario D con condizioni al contorno sul suo bordo T Risoluzione del problema per trasformazione conforme. Se esistesse una trasformazione conforme z = h(z) del disco D in sè stesso che scambiasse il punto z con l origine, allora T (z ) sarebbe armonica perché una trasformazione conforme preserva l armonicità. Inoltre, il problema sarebbe immediatamente risolto: la temperatura nel punto z = a sarebbe ottenuta con il teorema della media di Gauss per la distribuzione sul bordo trasformata. Avremmo cioè (1) T (a) = T (0 ) = 1 1 T (θ )dθ,

2 una formula che interpretiamo così: la temperatura in 0 nel piano z è la media della nuova distribuzione di temperatura su C ottenuta trasportando la temperatura in ogni punto Z di C nel nuovo punto Z di C. Ma a trasformazione cercata esiste e l abbiamo appena studiata nella lezione 12.1! È la trasformazione swap che scambia un punto qualunque nel cerchio con il centro del cerchio: h(z) = z = Z a āz 1, a < Ciò che è naturale per la matematica lo è anche per la fisica. Verifichiamo che la soluzione matematica naturale è anche la soluzione fisica naturale (che avremmo potuto trovare indipendentemente dalla matematica). È fisicamente intuitivo che la temperatura in un punto z sia una media pesata dei valori sul bordo: se il punto z è al centro, i punti sul bordo pesano tutti allo stesso modo, se z non è nel centro occorre pesare diversamente i punti più vicini da quelli più lontani. Ma in che modo? Con un po di ingegnosità, si arriva alla trasformazione swap, nella sua forma geometrica dell esercizio 1 della lezione precedente. Consideriamo l esempio considerato da Needham 1 : la metà sinistra è del bordo del cerchio è a 0 0 e quella di destra a (a) (b) Con la costruzione geometrica dell esercizio 1 il contributo della parte lontana risulta correttamente ricalibrato: per trovare la temperatura in z = a si trasporti ciascuna temperatura su T nel punto direttamente opposto come visto da z = a, quindi si prenda la media della nuova distribuzione di temperatura così ottenuta. 1 Needham fa ben di più: usa la caratterizzazione geomertica per arrivare alla trasformazione swap.

3 Formula risolutiva per il disco unitario. Calcoliamo il secondo membro di (1). Per cambiamento di variabili si ottiene 1 T (θ )dθ = 1 Ma, per l esercizio 2 (con z anziché a), Allora (2) T (z) = 1 T (θ)dθ = 1 dθ dθ = 1 z T (θ)dθ. T (θ) dθ dθ dθ Il nucleo integrale di Poisson. La soluzione dell equazione di Laplace risulta così espressa in termini del nucleo integrale 2 che è chiamato nucleo di Poisson. È utile conoscere le sue proprietà e comprendere meglio la formula (2). Incominceremo col riscrivere la formula (2) così (3) u(z) = 1 2 g(eiθ )dθ. Il cambiamento è sia cosmetico sia cautelativo: cosmetico, perché abbiamo cambiato nome alla funzione: u ci ricorda meglio che alle spalle abbiamo una funzione analitica f = u + iv, di cui, appunto, u è la parte reale; cautelativo, perché abbiamo chiamato g la la condizione al contorno che vorremmo assegnare, più o meno, arbitrariamente. Che sul cerchio u e g coincidano, non può essere assunto, ma deve essere dimostrato. E la dimostrazione ci dirà quali condizioni g deve soddisfare. Procediamo per punti. P 1. Il nucleo di Poisson è la parte reale di una funzione analitica. Più precisamente, per z = re it D (r < 1) e Z = e iθ T si ha ( ) (4) = 1 r 2 e iθ 2 1 2r cos(t θ) + r = Re + z. 2 Dim. ( ) ( ) e iθ + z (e iθ + z)(e iθ z) Re = Re = 1 z

4 P 2. La soluzione u = u(z) pùo essere espressa come un prodotto di convoluzione tra il nucleo di Poisson e la funzione sul bordo. In altre parole, la formula (3) può essere riscritta come (5) u(z) = 1 P r (t θ)g(e iθ )dθ P r g(t), z = re it D. dove P r (φ) = Dim. Segue immediatamente dalla (4). P 3. La funzione (6) f(z) = 1 1 r 2 1 2r cos(φ) + r 2. ( ) e iθ + z g(e iθ )dθ è una funzione analitica in D per qualunque funzione integrabile reale g su T. Dim. Segue da Cauchy-Riemann. L equazione (6) è detta formula di Schwartz e permette di ricostruire la funzione analitica completa f(z) nel disco D a partire dalla sua parte reale su T. P 4. La funzione u(z) = P r g(t) è una funzione armonica di z = re it D per qualunque funzione integrabile g su T. Dim. Segue dal fatto che la parte reale di una funzione analitica è armonica e u(z) è in effetti la parte reale della funzione f(z) del punto 3: P r g(t) = 1 P r (t θ)g(e iθ )dθ = 1 = Re 1 Il prossimo punto merita un capitolo a parte. ( e iθ + z Re ( e iθ + z ) g(e iθ )dθ ) g(e iθ )dθ Il nucleo di Poisson come successione regolare approssimante la delta. In figura sono riportati i grafici del nucleo di Poisson per r =

5 5 0.7, 0.8, 0.9, 0.92 in φ < π Sembra una successione di approssimazioni della delta di Dirac e, in effetti, lo è. Ma è la delta su T e non su R. Data una successione r n tendente a 1, la corrispondente successione di nuclei integrali di Poisson P r (φ) = 1 r 2 1 2r cos(φ) + r 2. è una successione regolare di buone funzioni, nel modo in cui possono essere buone le funzioni su T: ovviamente non può esserci decrescenza all infinito, visto che T è compatto. Se prolungassimo φ a destra e a sinistra i grafici si ripeterebbero periodicamente. Le proprietà che rendono la successione 1 P r, r 1, una successione di approssimanti della delta su T sono le seguenti: (1) P r (φ) > 0 per tutti gli z = re iφ D (cioè per r < 1 e φ < π). (2) 1 π P r(φ)dφ = 1 (3) Il massimo di P r (φ) fuori da qualunque intorno ( δ, δ) di φ = 0, non importa quanto sia piccolo, tende a 0 per r che tende a 1.

6 Queste proprietà si dimostrano facilmente: (1) è ovvio; (2) è lasciato come esercizio (facile); (3) segue dall osservazione che 1 + r 2 > 2r (perché (1 r) 2 > 0), da cui P r (φ) = 1 r 2 1 2r cos(φ) + r 2 1 r 2 2r(1 cos(φ). che tende a a 0 per r 1 in tutti i punti per cui cos φ Teorema principale di convergenza uniforme. Vogliamo adesso dimostrare che se g è una funzione continua su T, la funzione u(z) = u(r, t) = 1 P r (t θ)g(θ)dθ, z = re it D converge uniformemente a g quando r tende a 1 (per semplicità di notazione abbiamo scritto g(s) invece di g(e is )). Dim. Stimiamo l errore tra il limite e la funzione u: E r (t) = g(t) u(r, t) = g(t) 1 P r (t θ)g(θ)dθ Per cambiamento di variabili t θ = s, si ha 1 P r (t θ)g(θ)dθ = 1 P r (s)g(t s)ds Allora E r (t) = g(t) 1 P r (s)g(t s)ds = 1 π P r (s) [g(t) g(t s)] ds, essendo 1 π P r(s)ds = 1. Poiché il modulo dell integrale è minore o uguale dell integrale del modulo (e P r (s) è positiva), otteniamo E r (t) 1 δ P r (s) g(t) g(t s) ds. I problemi nascono da s = 0, dove P r (s) diverge. Separiamo allora l integrazione in due parti, una su un piccolo intorno dello 0 e l altra sul resto: E r (t) 1 [ δ δ ] + + P r (s) g(t) g(t s) ds. δ La funzione g è continua in un intervallo chiuso e limitato e quindi limitata da una 1 r costante M. Per s > δ il massimo di P r (s) è maggiorato da 2 che tende 2r(1 cos(δ) a zero per r che tende a 1. Quindi E r (t) 1 δ δ P r (s) g(t) g(t s) ds + 2M 1 r2 2r(1 cos(δ). La funzione g è continua su T, ma poichè T è compatto (=chiuso e limitato) per il Teorema di Heine-Cantor è anche uniformemente continua. Si fissi allora un ɛ 6

7 arbitrario, dalla continuità uniforme segue che esiste un δ > 0 tale che per tutti i t e s con s < 1 si ha g(t) g(t s) < ɛ/2. Quindi, per ogni ɛ esiste un δ tale che E r (t) ɛ 2 + 2M 1 r2 2r(1 cos(δ). Si prenda r così vicino a 1 che il secondo termine sia minore di ɛ/2. Allora E r (t) ɛ Che è quando si voleva dimostrare: l errore tende a zero uniformemente in t, cioè la funzione u(z), armonica nel disco D converge uniformemente al suo valore assegnato g sulla frontiera T quando z tende a un punto della frontiera. In questo modo risulta stabilita l esistenza di soluzioni del problema di Dirchlet nel disco con condizioni continue al bordo. L unicità è stata stabilita nella lezione Fine (per il disco) Il problema generale. Per il teorema delle rappresentazioni di Riemann, risolto il disco, il problema è risolto (esistenza e unicità della soluzione) per qualunque regione la cui frontiera è una curva semplice chiusa. 7

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