Equazione di Laplace

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1 Equazione di aplace Equazione di aplace in un disco Problema di Dirichlet Sia S(0, ) il disco di centro l origine e raggio In tale insieme consideriamo il problema u(x, y) 0 (x, y) S(0, ) u(x, y) g(x, y) (x, y) S(0, ) Passando in coordinate polari il problema diventa v r r (r,ϑ)+ r v r (r,ϑ)+ r v ϑϑ (r,ϑ)0 (r,ϑ) ]0, [ [0,π] v(r,0)v(r,π) r ]0, [ v r (r,0) v r (r,π) r ]0, [ v(,ϑ) h(ϑ) ϑ [0,π] dove h è tale che h(ϑ) g(cosϑ, sinϑ) Si ha la soluzione v(r,ϑ) a 0 + r n an cos(nϑ)+ b n n sin(nϑ) dove gli a n e i b n sono i coefficienti di Fourier di h, cioè a n π h(ϕ)cos(nϕ) dϕ, b n π h(ϕ)sin(nϕ) dϕ v(r,ϑ) π + r n cos(nϕ)cos(nϑ)+sin(nϕ)sin(nϑ) h(ϕ) dϕ n Si ha + r n cos(nϕ)cos(nϑ)+sin(nϕ)sin(nϑ) n + r n cos n(ϑ ϕ) n + r n e i n(ϑ ϕ) + e i n(ϑ ϕ) n r e i(ϑ ϕ) n r e i(ϑ ϕ) n + + i(ϑ ϕ) r e + r e i(ϑ ϕ) + r e i(ϑ ϕ) r e i(ϑ ϕ)

2 pertanto + r e i(ϑ ϕ) r e i(ϑ ϕ) r e i(ϑ ϕ)+ + r e i(ϑ ϕ) + r e i(ϑ ϕ) r r e i(ϑ ϕ) r e i(ϑ ϕ) r e i(ϑ ϕ) + r r r cos(ϑ ϕ)+ r, v(r,ϑ) π Tornando in coordinate cartesiane, notiamo che r h(ϕ) dϕ r cos(ϑ ϕ)+ r (r cosϑ, r sinϑ) (cosϕ, sinϕ) (r cosϑ cosϕ) +(r sinϑ sinϕ) r r (cosϑ cosϕ+ sinϑ sinϕ)+ r r cos(ϑ ϕ)+ u(x, y) (ξ,η) (x, y) g(ξ,η) d s π (ξ,η) (ξ,η) (x, y) (x, y) g(ξ,η) d s π (ξ,η) (x, y) (ξ,η) Problema di Neumann Consideriamo il disco S(0, ) e il problema u(x, y) 0 (x, y) S(0, ) u (x, y) g(x, y) (x, y) S(0, ) n con g che ha integrale nullo su S(0, ) Passando in coordinate polari il problema diventa v r r (r,ϑ)+ r v r (r,ϑ)+ r v ϑϑ (r,ϑ)0 (r,ϑ) ]0, [ [0,π] v(r,0)v(r,π) r ]0, [ v r (r,0) v r (r,π) r ]0, [ v r (,ϑ) h(ϑ) ϑ [0,π] dove h è tale che h(ϑ) g(cosϑ, sinϑ) Se la funzione h ha integrale nullo in[, π], allora si ha la soluzione v(r,ϑ) r n an cos(nϑ)+ b n n n sin(nϑ) dove gli a n e i b n sono i coefficienti di Fourier di h, cioè a n π h(ϕ)cos(nϕ) dϕ, b n π h(ϕ)sin(nϕ) dϕ

3 Si ha v(r,ϑ) π r n n n cos(nϕ)cos(nϑ)+sin(nϕ)sin(nϑ) h(ϕ) dϕ r n cos(nϕ)cos(nϑ)+sin(nϕ)sin(nϑ) n n Poiché r n e i n(ϑ ϕ) + e i n(ϑ ϕ) n n a n r n n cos n(ϑ ϕ) n r e i(ϑ ϕ) n r e i(ϑ ϕ) n + n n n ( ) n ( a) n ( a), n quanto scritto sopra è uguale a r e i(ϑ ϕ) + r e i(ϑ ϕ) ( r e i(ϑ ϕ) )( r e i(ϑ ϕ) ), r cos(ϑ ϕ)+ r pertanto v(r,ϑ) h(ϕ) dϕ π r cos(ϑ ϕ)+ r Tornando in coordinate cartesiane, poiché, come già osservato, (r cosϑ, r sinϑ) (cosϕ, sinϕ) r r cos(ϑ ϕ)+ si ha u(x, y) π (ξ,η) (ξ,η) (x, y) g(ξ,η) d s Equazione di aplace all esterno di un disco Sia v una funzione di classe C sul disco S(0, ), espressa in coordinate polari; per r> poniamo w(r,ϑ)v r,ϑ Allora w r (r,ϑ) r D v r,ϑ w r r (r,ϑ) r D 3 v r,ϑ w ϑϑ (r,ϑ)d v r,ϑ r 4 D v r,ϑ

4 w(r,ϑ)w r r (r,ϑ)+ r w r (r,ϑ)+ r w ϑϑ (r,ϑ) 4 r D 4 + v r r D 3 + v r r D v r 4 D r 4 v + r /r D v + r ( /r) D v 4 r r 4 v r se v è definita in S(0, ) e ha laplaciano nullo, allora w è definita nell esterno di S(0, ) e ha laplaciano nullo a trasformazione che a(r,θ) fa corrispondere( /r,θ), espressa in coordinate cartesiane a(r cosθ, r sinθ) fa corrispondere( /r )(r cosθ, r sinθ), quindi a(x, y) fa corrispondere /(x + y ) (x, y) Pertanto se u è soluzione del problema u(x, y) 0 (x, y) S(0, ) u(x, y) g(x, y) (x, y) S(0, ) allora la funzione(x, y) u /(x + y ) (x, y) è soluzione del problema u(x, y) 0 (x, y) \ S(0, ) u(x, y) g(x, y) (x, y) S(0, ) Questa non è l unica soluzione, se non si aggiunge la condizione che la soluzione deve essere limitata all infinito 3 Equazione di Poisson 3 Identità di Green Siano A un aperto di e u C (A,) e w C (A,) ; si ha (u w) j x j (uw x j ) ux j w x j + uw x j x j u w+ u w j Questa uguaglianza vale anche in dimensione maggiore di Se è un aprto regolare tale che A, allora, per il teorema della divergenza, u w d x d y u w d x d y+ u w d x d y+ identità è detta prima identità di Green u w n d s u w n d s u w d x d y u w d x d y+ u w n d s 4

5 Se u e w sono entrambe di classe C, riscrivendo l identità scambiando u e w e sottraendo membro a membro si ottiene che è detta seconda identità di Green (u w uw) d x d y u w n u n w d s, 3 Equazione non omogenea Si ha Sia(x 0 ) e, per(x, y) \{(x 0 )}, poniamo w(x, y) (x, y) (x 0 ) (x x 0 ) +(y y 0 ) w x (x, y) x x 0 (x x 0 ) +(y y 0 ) w x x (x, y) (x x 0 ) +(y y 0 ) (x x 0 ) (x x0 ) +(y y 0 ) (x x 0 ) +(y y 0 ) (x x0 ) +(y y 0 ) w y (x, y) y y 0 (x x 0 ) +(y y 0 ) w yy (x, y) (x x 0 ) +(y y 0 ) (y y 0 ) (x x0 ) +(y y 0 ) (x x 0 ) (y y 0 ) (x x0 ) +(y y 0 ), pertanto w è armonica in \{(x 0 )} Siaun aperto regolare di e z funzione armonica intale che z w su e u una qualunque funzione di classe C in un aperto contenente Posto S ǫ S (x 0 ),ǫ, dalla seconda identità di Green, applicata a u e w z, si ha u(w z) d x d y \S ǫ (w z) u u (w z) d s n n (w z) (w z) u u d s u d s+ (w z) d s ; n S ǫ n S ǫ n (\S ǫ ) dove abbiamo tenuto conto del fatto che w z è nulla su e la normale esterna a S ǫ è opposta alla normale esterna a (\ S ǫ ) nello stesso punto Poiché u(w z) è integrabile in senso generalizzato ine l area di S ǫ tende a 0 per ǫ che tende a 0, si ha u(w z) d x d y ǫ 0 \S ǫ 5 u(w z) d x d y

6 u (w z) d s S ǫ n ǫ z(x0 +ǫcosϕ +ǫsinϕ) +ǫcosϕ +ǫsinϕ) (cosϕ,sinϕ)ǫ dϕ 0 ǫ 0 u z S ǫ n d s +ǫcosϕ +ǫsinϕ) z(x 0 +ǫcosϕ +ǫsinϕ) (cosϕ,sinϕ)ǫ dϕ ǫ 0 0 u w S ǫ n d s +ǫcosϕ +ǫsinϕ) w(x 0 +ǫcosϕ +ǫsinϕ) (cosϕ,sinϕ)ǫ dϕ +ǫcosϕ +ǫsinϕ) ǫ ǫ dϕ ǫ 0 π ) ) u(w z) d x d y+ (w z) u d s () π π n Consideriamo ora il caso S(0, ) Per esplicitare la () dobbiamo trovare z tale che z(x, y)0 (x, y) S(0, ) z(x, y) (x, y) (x 0 ) (x, y) S(0, ) Per quanto visto nella sezione, tale funzione si può ottenere con la trasformazione (x, y) (x, y) (x, y), a partire da una funzione armonica all esterno di S(0, ), che abbia limite reale all infinito e che assuma i valori richiesti su S(0, ) a funzione (x, y) (x 0 ) ha queste proprietà, ad eccezione dell esistenza del limite reale all infinito; per ottenere la funzione cercata è sufficiente sottrarre (x, y) /, che si annulla su S(0, ) e cancella la singolarità all infinito Otteniamo la funzione (x, y) (x0, y 0 ) (x, y) (x, y) z(x, y) (x, y) (x 0 ) y) (x, y) (x, (x (x, y) 0 ), (x, y) (x, y) 6

7 o anche z(x, y) x (x + y )x 0 + y (x + y )y 0 (x + y ) 4 (x + y ) (x + y )(x x 0 + yy 0 )+(x + y ) (x 0 + y 0 ) (x + y ) 4 (x x 0 + yy 0 )+(x + y )(x 0 + y 0 ) Pertanto o anche w(x, y) z(x, y) (x, y) (x 0 ) y) (x, y) (x, (x (x, y) 0 ) (x, y) (x, y) (x 0 ) (x, y) (x, y) (x 0 ) w(x, y) z(x, y) (x + y x x 0 yy 0 + x 0 + y 0 ) 4 (x x 0 + yy 0 )+(x + y )(x 0 + y 0 ) Pertanto la soluzione del problema è, in coordinate polari, u(x, y) f(x, y) (x, y) S(0, ) u(x, y) 0 (x, y) S(0, ) v(r,ϑ) 4 rρcos(ϑ ϕ)+ r ρ f(ρcosϕ,ρsinϕ) ρ dρ dϕ ; 4π 0 r rρcos(ϑ ϕ)+ ρ in coordinate cartesiane u(x, y) (x, y) (ξ,η) f(ξ,η) + dξ dη 4π S(0,) (x, y) (ξ,η) 7