Serie di Fourier in forma complessa

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1 M.Guida, S.Rolando, 14 1 Serie di Fourier in forma complessa Per scrivere la serie di Fourier di una funzione f R, si utilizza spesso una notazione equivalente, ma più compatta e maneggevole, che fa intervenire i numeri complessi ed in particolare l esponenziale di numeri immaginari puri: e i =cos + i sin per ogni R (questa relazione, spesso presa come definizione, va sotto il nome di formula di Eulero). Ricaviamo tale scrittura equivalente, denotando brevemente = nx. Essendo e i =cos i sin, lefunzionicos e sin possono essere espresse in termini di e i ed e i risolvendo il seguente sistema rispetto a cos e sin : e i =cos + i sin e i =cos i sin = cos = ei + e i, sin = ei e i i = i ei e i, dove si è tenuto conto del fatto che 1 i = i. Sostituendo nella serie di Fourier di f, siottiene f a + (a n cos + b n sin ) =a + = a + an ib n Introducendo le nuove notazioni e i + a n + ib n e i. an e i + e i ib n e i e i c := a, c n := a n ib n e c n := a n + ib n per ogni n 1 (1.4) e ricordando che = nx, risulta allora f c + cn e inx + c n e inx (1.5) (con il solito significato: la serie a m. è la serie di Fourier della funzione a 1 m.). Le ridotte S N della serie (1.5) sono N S N = c + cn e inx + c n e inx N N = c + c n e inx + c n e inx = k=n = c + = N n=n N c n e inx + c n e inx 1 k=n c k e ikx = c + N c n e inx + 1 n=n c n e inx

2 M.Guida, S.Rolando, 14 N e quindi, denotando con c n e inx la serie le cui ridotte sono c n e inx (sinotibenelasimmetria n= con cui sono sommati gli addendi), si ha n=n f c + cn e inx + c n e inx = c n e inx n= (dove l uguaglianza tra serie significa che le due serie hanno le stesse ridotte). Dunque risulta f a + (a n cos + b n sin ) = c n e inx, n= dove la prima serie è detta serie di Fourier di f in forma reale elasecondaserieèdettaserie di Fourier di f in forma complessa. Il legame tra i coecienti a, a n, b n e c k è dato dalle relazioni (1.4), che consentono direttamente il passaggio dalla forma reale alla forma complessa, ma che possono essere esplicitate rispetto ad a, a n, b n e quindi consentono anche il passaggio inverso, dalla forma complessa alla forma reale. Come si è detto, la comodità della forma complessa sta nella sua maneggevolezza, ossia nella semplicità con cui si possono esprimere diverse relazioni che sono importanti nello studio delle serie di Fourier. Ad esempio, si verifica molto facilmente che: icoecienti complessi c n sono dati dall unica formula seguente: c n = 1 f (x) e inx dx, dove, essendo l integrando complesso, l integrale va inteso secondo la seguente definizione: una funzione di variabile reale x a valori complessi (x) = 1 (x)+i (x) ( 1, reali) è detta integrabile su [a, b] se 1, sono integrabili su [a, b]; intalcaso,sipone b a (x) dx := b a 1 (x) dx + i b a (x) dx; tramite i coecienti complessi c n, l identità di Parseval si scrive semplicemente 1 [f (x)] dx = n= dove la serie con indice n Z va intesa nuovamente nel senso già introdotto: è la serie le cui ridotte sono N N c n e quindi la sua somma è c n = lim c n. n=n n= N n=n c n,

3 M.Guida, S.Rolando, 14 3 Motivazione dei coecienti di Fourier Nella Sezione seguente, presentiamo un argomento che motiva le definizioni dei coecienti di Fourier. ale argomento utilizza alcuni risultati di integrazione, noti come relazioni di ortogonalità, chericaviamo preliminarmente nella Sezione 1 e che hanno particolare rilevanza in tutto il contesto delle serie di Fourier (ad esempio intervengono anche nel dimostrare l identità di Parseval). Supporremo sempre che > siaunnumerorealequalsiasieporremo =. Inoltre, per ogni n N, n 1, denoteremo con u n e v n le funzioni definite da 1 Relazioni di ortogonalità Per ogni n, m 1, siha e u n (x) =cos(nx) e v n (x) =sin(nx) per ogni x R. u n (x) u m (x) dx = u n (x) v m (x) dx = (1.1) se n = m v n (x) v m (x) dx = se n = m. (1.11) Il caso n = m della (1.11) è di facile verifica; ad esempio, ricordando l identità cos = 1 (1 + cos ) per ogni R, risulta [u n (x)] dx = cos 1+cos(nx) (nx) dx = dx = 1 dx + 1 cos (nx) dx = + 1 sin (nx) = n + 1 sin (4n) sin = n. Le altre formule seguono dalle cosiddette formule di Werner della trigonometria, ossia: sin cos = cos cos = sin sin = Ad esempio, se n = m risulta sin ( )+sin( + ) cos ( )+cos( + ) cos ( ) cos ( + ) per ogni, R, per ogni, R, per ogni, R. u n (x) v m (x) dx = cos (nx)sin(mx) dx = 1 sin ((m n) x) dx + 1 sin ((n + m) x) dx = 1 cos ((m n) x) 1 cos ((n + m) x) =, (m n) (n + m)

4 M.Guida, S.Rolando, 14 4 mentre se n = m si ha u n (x) v n (x) dx = cos (nx)sin(nx) dx = 1 sin (nx) dx = 1 cos (nx) n =. Ciò prova le formule (1.1). Gli altri casi sono analoghi. Osserviamo anche che u n (x) dx = v n (x) dx =, (1.1) come si verifica immediatamente (ad esempio u n (x) dx = cos (nx) dx = sin(nx) n =). Motivazione dei coecienti di Fourier Consideriamo un polinomio trigonometrico f (x) =a + N (a n u n (x)+b n v n (x)) (1.13) con a,a n,b n R assegnati. Integrando ambo i membri sull intervallo [,] e ricordando le (1.1), risulta N f (x) dx = a dx + a n u n (x) dx + b n v n (x) dx = a dx = a e perciò deve essere a = 1 f (x) dx. (1.14) Fissiamo ora un qualsiasi intero m 1 e moltiplichiamo ambo i membri della (1.13) per u m (x). Otteniamo N f (x) u m (x) =a u m (x)+ (a n u n (x) u m (x)+b n v n (x) u m (x)) e quindi N f (x) u m (x) dx = a u m (x) dx + a n u n (x) u m (x) dx + b n v n (x) u m (x) dx. Per le (1.1), (1.11) e (1.1), tutti gli addendi dell ultima somma sono nulli tranne a n con n = m, percuisiconclude u n (x) u m (x) dx f (x) u m (x) dx = a m u m (x) u m (x) dx = a m ossia a m = f (x) u m (x) dx. (1.15)

5 M.Guida, S.Rolando, 14 5 In maniera del tutto analoga, moltiplicando ambo i membri della (1.13) per v m (x) ed integrando su [,], siottienecheperognim 1 deve essere b m = f (x) v m (x) dx. (1.16) Abbiamo quindi provato che icoecienti di un qualsiasi polinomio trigonometrico f (x) si esprimono in termini di f (x) tramite le formule (1.14), (1.15), (1.16). Quando si vuole arontare il problema di sviluppare in serie trigonometrica una generica f R, cioè trovare una serie trigonometrica a + (a n u n (x)+b n v n (x)) tale che per ogni x in un qualche insieme soddisfacentemente ampio si abbia f (x) =a + (a n u n (x)+b n v n (x)), è dunque naturale prendere la serie i cui coecienti sono definiti in termini di f (x) dalle stesse formule (1.14), (1.15), (1.16).