Soluzioni f(y)e iyx dy. f(y)e iy( x) dy = 1. = F 1 f( x)

Transcript

1 Soluzioni 8. Allora Quindi Usiamo la convenzione 3 F f(k) = f(k) = F f(x) = f(x) = F f(x) = = = F f( x) f(x)e ikx dx f(k)e ikx dk f(y)e iyx dy f(y)e iy( x) dy F f = F F f( x) = f( x) (a) f pari significa f( x) = f(x). Se f è pari allora F f = f( x) = f(x). Se F f(x) = f(x) allora f(x) = f( x). (b) f dispari significa f( x) = f(x). Come prima, F f(x) = f(x). (c) f = f P +f D (qualunque funzione è decomponibile nella somma di una funzione pari e una dispari). Allora F 4 f = F 4 (f P + f D ) = F (F f P + F f D ) = F (f P f D ) = f P + f D = f 3 f(x)e ikx dx = = = f(x)e ikx dx f( x)e ikx dx f(x)e ikx dx

2 4 f(x)e ikx dx = = = f(x)e ikx dx f( x)e ikx dx f(x)e ikx dx 5 f(k) = = = = f( k) f(x)e ikx dx f( x)e ikx dx f(x)e ikx dx 6 da cui 3 { se x < f(x) = altrimenti e ix dx = e ix ik f(k) = sin k k = eik e ik ik = sin k π k = sin k k 7 Se { se x < a f(x) = altrimenti F sin ak = f(k) = π k

3 3 allora, per la relazione di reciprocità, { sin ax F se k < a f(x) = = f(k) = π x altrimenti 8 k = è una discontinuità: regola dell / della somma di limite destro e sinistro. sin x (cos kx + i sin kx)dx = + π x k= π sin x cos x dx = x sin x cos x dx = π x 4 9 Si usi integrazione per parti e esercizio precedente. Già calcolato sopra. Si usi integrazione per parti e esercizi precedenti. Correzione del testo: Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = e a x dove a >. Risposta: e a x e ikx = a a + k 3 ovvero Dall esercizio precedente segue che e ax = a π a a + k eikx dk = e a x cos kx a + k dk, x >

4 4 che è quanto si chiedeva di dimostrare. 4 In primo luogo si osservi che sin k k dk = π. Questo integrale può essere calcolato con i metodi dell analisi complessa oppure essere ottenuto come conseguenza del fatto che { sin k se x < π k eikx dk = altrimenti (esercizio 6). Ponendo x = si ottiene π sin k k da cui segue il risultato desiderato. Adesso si effettui nell integrale il cambiamento di variabili xt = u e si osservi che, per x >, π sin xt dt = t π e per x <, sin xt dt = π t π che è quanto si voleva dimostrare. = sin u u du = sin u du = u 5 Valgono le risposte e/o aiuti dati nel testo. 6 Valgono le risposte e/o aiuti dati nel testo. 7 Valgono le risposte e/o aiuti dati nel testo. 8 Valgono le risposte e/o aiuti dati nel testo. 9

5 5 Esercizio 6 del foglio 7. (da ricordare a memoria): Dunque, con la convenzione 3 ( ) f(k) = F + x e ikx + x = πe k = e ikx π + x dx = e k g(x) = a ix a + x = a ix (a + ix)(a ix) = a + ix = i x ia ( ) F = ie ikx a + ix x ia dx Metodo dei residui: polo semplice in x = ia. Per k >, chiusura nel semipiano inferiore, ( ) i F = = x ia Per k <, chiusura nel semipiano superiore, ( ) i ĝ(k) = F = (i)( i)e ak = e ak x ia Quindi a ix a + x Per k =, regola dell /: F = ĝ() = { e ak se k < se k > = π Integrale di Fourier della gaussiana (da ricordare a memoria): π e ax e ikx k dx = 4a e ax e ikx dx = per a = si ha la risposta al quesito, e k 4. a e k a e 4a

6 6 3 a = della formula dell esercizio precedente, k e 8. 4 Completare i quadrati e x +x = e (x +x+ 4)+ = e (x+ ) + e usare la proprietà di traslazione della trasformata di Fourier. 5 Banale. 6 Allora da cui Si derivi membro a membro rispetto a k: e x e ikx dx = ( ix)e x e ikx dx = k e 4 ( k ) e k 4, 4 xe x e ikx dx = i k ke 4 7 Come nell esercizio precedente, usando adesso quanto ottenuto nell esercizio : e a x e ikx = a a + k 8 Risposta: ( ik)e k ik

7 9 N. B. Con la convenzione 3, risulta comodo definire il prodotto di convoluzione nel come f g(x) = f(u)g(x u)du L esercizio è inteso con questa convenzione (lo stesso vale per gli esercizi seguenti). 7 f g(x) = = = i = i = sin ax f(u) sin(ax au)du f(u) ei(ax au) e i(ax au) du i ] [e iax f(u)e iau du e iax f(u)e iau du [e iax f(u)e iau du e iax f(u)e iau du f(u)e iau du ] (f è pari) 3 f(k) = ike k ĝ(k) = e k 4 f g(x) = x 3 x 3 e 3 3 Semplice generalizzazione di quanto visto in classe. 3 Usare Cauchy Schwarz.

8 8 33 f(k) = f(x)e ikx dx f(x)e ikx dx = = f L f(x) dx 34 Vedere lezione..