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1 Es Tot. Punti Terzo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 2009/200. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w > C a> b C a> b C a> b '/ Þ b) Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con condizioni iniziali a) Integrale generale dell'omogenea: C a b w C a b à à à > > D a> b -/ - / Þ Cerchiamo una soluzione particolare della completa. Poiché il secondo membro soluzione dell'omogenea, dobbiamo cercare una soluzione della forma: w C E/ > C a> b E>/ Þ > ww > a> bàc E/ a> bà E/ > > c> > > d '/ à $ E 'à E à Soluzione particolare della completa: Integrale generale della completa: b) Risolviamo il problema di Cauchy C a> b >/ > > > C a> b -/ - / >/ Þ > C a b - - w C a b - - '/ > è Î$ $- - Î$

2 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */ Svolgimento Tema La soluzione del problema di Cauchy è: > > > > > C a> b / / >/ / Œ> / Þ $ $ $ $ 2. Determinare tutti i punti critici della seguente funzione, e studiarne la natura, determinando gli eventuali punti di massimo relativo, minimo relativo, o sella. (Si chiede di determinare la natura anche degli eventuali punti critici che risultino casi dubbi al test dell'hessiana). $ 0aBßCb B C C $B CÞ 0B $B C 'BC $BCaB b $ $ 0 B C $B C $BCaB b Ê B o C B o B à B Ê C à $ C Ê B $B Ê B o B $ à $ B Ê C Ê C Þ I punti critici sono: aß bà a$ß bàaß bþ Hessiana: 'BC 'C $B 'B L0aBßCb Þ $B 'B C L0 aß b caso dubbio. Consideriamo la restrizione $ $ 0aBßBb B $B µ $B per B Ä Þ Per questa restrizione il punto B non è né di massimo né di minimo (flesso a tangente orizzontale), dunque per la funzione di due variabili l'origine è punto di sella. * L0 a$ß b a$ß b * f.q. indefinita; è punto di sella. L0 aß b ' ' ' f.q. definita positiva; aß b è punto di minimo relativo. 2

3 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */ Svolgimento Tema 3. Sia BC C cos 0aBßCb / / B Þ Si dimostri che l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola funzione C abbß G amb in un intorno di B Î Þ Si calcoli poi w aî bþ CÎ 0aÎßCb / Ê C Þ 0Š ß Þ `0 `C BC `0 B/ / C cosbà Š ß Á Þ `C Poiché 0ˆ ß0 è G in un intorno di ˆ `0 e ˆ ß ß `C ß Á, l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola funzione C abb in un intorno di ˆ ß, e risulta ˆ Þ Calcoliamo ora: `0 `B BC `0 C/ / C sinbà Š ß à `B `0ˆ w `B ß Š Þ `0ˆ ß `C 4. Calcolare, nel modo più conveniente, il lavoro del campo vettoriale conservativo C B D C B D J Š / BD/ ß / BC/ ß/ CD/ lungo l'arco di curva orientato: <a b ˆ $ > >ß> ß> ß> cß dþ Cerchiamo prima un potenziale YaBßCßDb del campo JÞ Y abßcßdb / BD/ B C C B B YaBßCßDb B/ D/ 0aCßDbà C D C D YCaBßCßDb BC/ 0CaCßDb / BC/ Ê 0CaCßDb / à D 0aCßDb C/ adbàyabßcßdb B/ D/ C/ adbà Y adßcßdb / CD/ adb / CD/ Ê adb àadb -Þ D B D w C ; B B D w D 3

4 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */ Svolgimento Tema C YaBßCßDb B/ D/ B D C/ Þ P Y a< a bb Y a< a bb Y aßß b Y aßß b / / / Þ /. Calcolare il volume e il centroide del solido omogeneo rappresentato da: È B C Î H š abßcßdb À Ÿ D Ÿ 2/ ßB C Ÿ con ß2 ß2Þ costanti positive fissate. Esprimere i risultati finali in funzione dei soli parametri ÉB C Î Î 2/ Ñ khk ( ( (.B.C.D ( ( (.D.B.C H B C Ÿ Ï Ò ÈB C Î ( ( 2/.B.C 2 ( 3/. 3 B C Ÿ 3Î 2 3Î 3/ 3Î ( /. 3Ÿ 2 3Î / / 2 Œ Þ / Per simmetria, BG CG à D G khk ( ( ( H D.B.C.D ÉB C Î Î 2/ Ñ D.D.B.C 2 ˆ ( ( ( Ï Ò / B C Ÿ 2 / 2 ˆ ( ( / B C Ÿ ÈB C Î.B.C 2 3Î 3/. 3 ˆ ( / 2 3Î 3Î 3/ /. 3 ˆ ( Ÿ / 4

5 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */ Svolgimento Tema 2 2 Î / $ ˆ 3 / ˆ Œ / / / 2 ) $ / / Þ)2Þ 6. Calcolare il flusso del campo vettoriale J abßcß$db attraverso la superficie cartesiana, orientata verso l'alto, con costante positiva. Sia 0aBßCb B C Þ D B C ß per B C Ja a bb ˆ ˆ BßCß0 BßC BßCß$ B C 8.W a 0 ß 0 ß b.b.c a BßCß b.b.c B C F ( ( J abßcß0abßc bb a 0Bß 0Cß b.b.c B C ( ( B C $ ˆ B C.B.C B C ( ( $ B C.B.C ( 3. 3 Þ B C 7. Si consideri la funzione 2-periodica definita da: 0aBb B $ per B c ß d Þ a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto delle simmetrie e del periodo di 0Þ (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata e integrabile ma la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier tendono semplicemente a zero. (Ci attendiamo velocità non più di Î). La serie di Fourier converge puntualmente a 0 in a ß b mentre negli estremi converge a (media dei valori in ) Þ

6 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */ Svolgimento Tema b) Poiché 0 è dispari, + per ogni. Calcoliamo:, ( 0aBbsin a= B b.b con X ß=, quindi: X X X X $ $, ( B sina Bb.B ( B sina Bb.B $ cosabb cosabb B ( $B.B Ÿ a b $ B ( cosa Bb.B Ÿ a b ' sinabb sinabb B ( B.B Ÿ a b ( B a Bb.B sin ab a b a Bb a Bb B (.B ab cos cos Ÿ a b a b a b a b $ $ a b a b Þ $ $ 6

7 Es Tot. Punti Terzo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni ord. L.270 Politecnico di Milano A.A. 2009/200. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2 ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni. Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w > C a> b C a> b $C a> b / cos>þ $ à à $à > $ > D a> b -/ - / Þ Cerchiamo una soluzione particolare della completa. Poiché il secondo membro è cerchiamo prima una soluzione complessaß dell'equazione con termine noto > > / cos> Re a 3b /, >a 3b? a> b E/ ß / >a 3b, e poi ne prenderemo la parte reale. w > a 3b ww > a 3b? E/ a 3bà? E/ a 3b à > a 3b E/ > a 3b a 3b a 3b $ / à 3 Ea 3 b àe 3Þ 3 ' & Soluzione reale dell'equazione di partenza: C a> b Rec? a> b d Re Œ 3 / > acos> 3 sin> b & Integrale generale della completa: > / Œ cos> sin> & > > > C a> b / Œ > $ cos sin> - / - / Þ &

8 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */. Svolgimento Tema 2. Determinare tutti i punti critici della seguente funzione, e studiarne la natura, determinando gli eventuali punti di massimo relativo, minimo relativo, o sella. I punti critici sono: Hessiana: $ 0aBßCb B C C BCÞ 0B BC C CaB b 0 B $C B C CaB b Ê C o B à C Ê BaB b Ê B o B à B Ê $C Ê C aß bà aß bà ß Þ È$ Þ È $ L0 a BßC b C B Þ B 'C L0 aß b f.q. indefinita, aß b punto di sella. L0 aß b f.q. indefinita; aß b è punto di sella. L0 ß È $ È $ È$ ß punto di minimo rel.; ß È punto di massimo rel. $ È$ 3. Sia CaB b 0aBßCb arctanabcb / Þ Si dimostri che l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola funzione C abbß G amb in un intorno di B Þ Si calcoli poi w a bþ 2

9 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */. Svolgimento Tema 0aßCb arctanc Ê C Þ 0 Š ß Þ `0 `0 B CaB b B / à ß `C a b Š abc b `C Î' Á Þ Poiché 0 ˆ ß ß0 è G in un intorno di ˆ ß `0 e ˆ ß `C Á, l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola funzione C abb in un intorno di ˆ ß, e risulta a b Þ Calcoliamo ora: `0 C CaB b `0 C/ à Š ß à `B abc b `B Î' `0ˆ ß w $ `B a b ˆ Î' Þ `0ˆ ß ' `C 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale J acß BßDb lungo l'arco di curva orientato: ÚB a$ cosa$> bbcos> Û C a$ cosa$> bbsin> ÜD sina$> b > cß d < w a> b a $ sina$> bcos> a$ cosa$> bbsin>ß $ sina$> bsin> a$ cosa$> bbcos>ß$ cosa$> bb J a< a> bb aa$ cosa$> bbsin>ß a$ cosa$> bbcos>ß sina$> bb P ( J a< a> bb < a> b.> w per simmetria ( a$ cosa$> bb $ cosa$> bsina$> b.> ( $ $>.> ( a cosa bb * cos a$> b ' cosa$> b.> e* f Þ 3

10 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */. Svolgimento Tema. Calcolare l'area e il momento d'inerzia, rispetto all'asse D, di una lamina piana omogenea di massa 7 che vive nel piano BßC ed è rappresentata, in coordinate polari, da: * H a3 ß* b À * cß dß3 Ÿ dove è una costante positiva. ( H è l'interno di un arco di spirale di Archimede). Esprimere i risultati finali in funzione dei soli parametri ß7Þ k H k ( (.B.C ( ( * H * * * ) ( Œ.* Œ Þ ) $ ) $ $ $ $ 7 $7 M B C.B.C.. k k ( ( ˆ ( ( $ 3 3 H * H * $7 * $7 a b $.* 7 Þ ( Œ & & 6. Calcolare il seguente integrale di superficie: BCD ( ( a D ba B C.W b dove D è la seguente porzione di superficie sferica di raggio : D ÚB sin: cos* Û C sin: sin* ÜD cos: : ß ß* ß Þ.W sin:.:.* à BCD sin : cos: cos* sin* ( (.W ( ( a ba b Œ sin:.: D B C a b. * cos : sin : D Î Î $ Î Î $ sin: cos: ( cos* sin*.* (.: cos : 4

11 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */. Svolgimento Tema Î Î sin $ * logˆ cos : $ Œ Œ logˆ logˆ Þ ) 7. Si consideri la funzione 2-periodica definita da: 0aBb B B per B c ß d Þ per B cß d a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier, di 0, tenendo conto del periodo di 0, e verificare che rispettano la previsione fatta al punto precedente, riguardo alla rapidità di convergenza a zero. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata e integrabile e la sua periodizzata è continua e regolare a tratti, perciò i coefficienti di Fourier sono 9 aîb. La serie di Fourier converge puntualmente a 0 in tutto c ß d. b) Sono richiesti solo i coefficienti,., ( 0aBbsin a= B b.b con X ß=, quindi: X X X X, ( 0aBbsinaBb.B ( Bsina Bb.B ( B sina Bb.B E FÞ cosabb cosa Bb a b sinabb a b E B (.B Þ cosabb cosabb F B ( B.B a b sin B a Bb sin a Bb.B ( Ÿ a b cosa Bb a b Š a b Þ ab $ ab

12 Terzo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200 */. Svolgimento Tema a b a b, Š a b Š a b Þ $ $ ab ab Effettivamente, 9ˆ Þ 6