Secondo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2012/2013. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale: BC C / " B w B Risolvere quindi il prolema di Cauchy con condizione iniziale C a "Þ. Si consideri il campo vettoriale: ab "ßC ß%D JaBßCßD ˆ ab " ac ad " Calcolare il lavoro del campo lungo l'arco di curva: giustificando il procedimento seguito. 3. Sia Î ÚB > À Û C > > c "ß" d Ü D > 0 BßC B C C sin sin a B ab C% Î Þ Studiare lim abßcä aß 0aBßC, cioè calcolare tale limite, giustificando il procedimento seguito, oppure dimostrare che non esiste.

2 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Nel caso si trovino più punti del tipo "caso duio", si chiede di studiarne uno solo. 5. Calcolare l'integrale doppio: con +ß, costanti fissate. 0aBßC ˆ % B C ab " ( ( ˆ B C.B.C B C +, Ÿ" 6. Si consideri il cono di altezza e raggio V rappresentato da: con Vß fissati, avente densità G abßcßd À Ÿ D Ÿ ßÈ B C Ÿ VD. abßcßd Š D È B C V % dove. è una costante avente le dimensioni di una massa. Calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse. D 7. Si consideri la superficie generata dalla rotazione attorno all'asse D della semicirconferenza di equazioni parametriche: B V V cos: D Vsin: : ß Þ a. Scrivere le equazioni parametriche della superficie, calcolare l'elemento d'area e determinare i suoi eventuali punti singolari.. Calcolare l'area della superficie. 8. Si consideri la funzione -periodica definita in c ßd da: B B 0aB cos per cosb per B a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti + 5 di Fourier di 0 (non è richiesto il calcolo dei, 5), tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

3 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. (a). Determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale: ww w B cos C C C / () Scrivere l'integrale generale della stessa equazione differenziale.. Si consideri l'arco di curva piana espresso in forma polare dall'equazione: 3 log* ß * cß dþ Calcolare il lavoro lungo del campo vettoriale 3. Sia: J a CßBÞ BÞ 0aBßC B sin ac C sinb. B C (a) Dopo aver calcolato lim 0aBßC e, se questo esiste finito, aver prolungato 0 per abßcä aß continuità nell'origine, calcolare la derivata direzionale H@ 0 aß per il generico acos* ß sin *, in ase alla definizione di derivata direzionale. () In ase al risultato ottenuto, rispondere alle domande: la formula del gradiente vale per questa funzione? La funzione è differenziaile nell'origine? 4. Dimostrare che l'equazione arctanc È 0aBßC CtanB B % definisce implicitamente almeno una (quante?) funzione C ab in un intorno del punto B Þ Calcolare poi w ˆ per questa funzione, o una di queste funzioni, se sono più d'una.

4 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 5. Calcolare l'integrale doppio: ( ( B C.B.CÞ B C ŸV 6. Calcolare il centroide del semiellissoide omogeneo di semiassi +ß,ß- : B C D I abßcßd À D ß Ÿ " Þ +, - 7. Si calcoli il flusso del campo vettoriale: Ja ˆ BßCßD C ßD ßB attraverso la superficie semisferica D descritta da: orientata verso l'alto. D ÈV ab C ß B C Ÿ V 8. Si consideri la funzione -periodica definita in c ßd da: 0aB sinkbk a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

5 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Scrivere l'integrale generale dell'equazione differenziale: BC C / " B w B Risolvere quindi il prolema di Cauchy con condizione iniziale C a "Þ Equazione lineare: B + ab àeab ˆ log " B. " B loga" B loga" B B CaB / - ( / /.B " - ( ˆ " B /.B " B B " B B B - / Þ " B Œ % Imponendo: " " C a - Ê - % %. Quindi: CaB " " B B B / Þ " B Œ % %. Si consideri il campo vettoriale: ab "ßC ß%D JaBßCßD ˆ ab " ac ad " Î Þ

6 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Calcolare il lavoro del campo lungo l'arco di curva: giustificando il procedimento seguito. ÚB > À Û C > > c "ß" d Ü D > Si osserva che il campo è conservativo, essendo: Î JaBßCßD fyabßcßd fð Ï Ñ " Ó. ab " ac ad " Ò É Pertanto, posto si può calcolare E < a " a "ß"ß " àf < a" a"ß"ß" P YaF YaE " " Éa" " a" a " Éa " " a" a " " " " " Þ È * * È% * " È" % È" ) 3. Sia 0 BßC B C C sin sin a B ab C% Î Studiare lim abßcä aß 0aBßC, cioè calcolare tale limite, giustificando il procedimento seguito, oppure dimostrare che non esiste. Si ha: mentre 0 BßB B B B B B a B sin sin sin B µ µ " ab B% Î Î ab B

7 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema % & C C C C C " 0ˆ sin sina C ßC µ Ä _ ac% C % Î ac% Î C È per C Ä ß quindi il limite non esiste. 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Nel caso si trovino più punti del tipo "caso duio", si chiede di studiarne uno solo. 0aBßC ˆ % B C ab " 0 B % B ab " ab C 0 % C ab " Þ C Dalla seconda si ricava: C ßB " I punti stazionari sono: Matrice hessiana: C Ê B B Ê B o B Þ % B " Ê " C Ê C " aß àœ ß à a"ß" à a"ß " Þ 'B % C L0aBßC Œ Þ % C " C ab " L0 aß Œ semidef. negativa; aß caso duio. L0Œ Œ Œ ß 0 semidef. positiva; 0 0 ß caso duio. % % L0 a"ß" Œ indefinita; a"ß" punto di sella. % 4 % L0 a"ß " Œ indefinita; a"ß " punto di sella. % 0 Studiamo il primo dei due casi dui, utilizzando il metodo del segno. Infatti 0 aß. % In un intorno di aß, il segno di 0 è il segno di ab C, che camia segno in ogni intorno dell'origine (ha segni diversi nei due semipiani C BßC B ), quindi aß è punto di sella. 3

8 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 5. Calcolare l'integrale doppio: con +ß, costanti fissate. ( ( ˆ B C.B.C B C +, Ÿ" Usiamo il camiamento di coordinate polari ellittico: B +3 cos* ßC, 3 sin* à.b.c +, 3. 3.* ( ( ˆ ( Œ( B C.B.C a+ 3 cos* a, 3 sin* +, * B C +, " Ÿ" " +, +, Œ(. ( +, 3 3 Œ a cos* a sin*.* ˆ +, +, ˆ +, Þ % % 6. Si consideri il cono di altezza e raggio V rappresentato da: con Vß fissati, avente densità G abßcßd À Ÿ D Ÿ ßÈ B C Ÿ VD. abßcßd Š D ÈB C V % dove. è una costante avente le dimensioni di una massa. Calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse D. Si ha: VD M ( ( ( ˆ B C abßcßd.b.c.d G.. ( ( ad..d ( ( D..D V V % a 3 3 % % VD % &. " VD " VD. " & % " V & D.D D D D.D V %( Œ a Œ % & %( ˆ % & ' ' &. " " "" " % ' & & '. V V % Œ ' "& 7. Si consideri la superficie generata dalla rotazione attorno all'asse D della semicirconferenza di equazioni parametriche: B V V cos: D Vsin: : ß Þ 4

9 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema a. Scrivere le equazioni parametriche della superficie, calcolare l'elemento d'area e determinare i suoi eventuali punti singolari.. Calcolare l'area della superficie. a. Si ha: ÚB av Vcos: cos* Û C av Vcos: sin* ÜD Vsin: : ß ß* cß dþ.w ÉBwa: Dwa: kb a: k. :.* ÈV k V V cos: k.:.* V a" cos:.:.* per: cos: "ß: ß<a* ß aßß Þ Quindi l'origine è l'unico punto singolare della superficie.. k D k ( ( V a" cos:. :. * V c" sin: d V a Þ 8. Si consideri la funzione -periodica definita in c ßd da: B B 0aB cos per cosb per B a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). (a) La funzione è discontinua, regolare a tratti. Perciò i coefficienti saranno solo infinitesimi (ma non 9 a"î5) e la serie di Fourier convergerà puntualmente a 0aB in c ßd ad eccezione dei punti B ßß in cui convergerà a zero (media dei limiti destro e sinistro nel punto, come si vede da un grafico). () Poiché 0 è dispari, + 5, mentre, 5 B 5B.BÞ ( cos sin 5

10 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Calcoliamo: M ( cosbsin5b.b csinbsin5bd 5( sinbcos5b.b 5c cosbcos5bd 5( 5acos5 " 5 Mß cosbsin5b.b da cui: Perciò 5acosa5 " 5acosa5 " M, 5 Á "ß, 5, e 5 " 5 per mentre " " _ 5 5 " 0aB ", 5B " a cos a 5 sin sin5bþ 5 " _ 5" 5 6

11 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. (a). Determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale: ww w B cos C C C / () Scrivere l'integrale generale della stessa equazione differenziale. B " 3 B (a) Poiché / cosb Re ˆ a /, cerchiamo prima una soluzione dell'equazione con termine noto / a " 3B, della forma AaB E/ a " 3B w a " 3 B ww a " 3 B A Ea " 3 / àa Ea " 3 / " 3 B E/ a " 3 a " 3 / a a " 3B à BÞ Ee 3 3 f "àe " & " AaB / & a " 3B una soluzione particolare dell'equazione di partenza è: () " CaB / B cosbþ & à "ß " CaB / & B B B " cosb - / - / Þ à. Si consideri l'arco di curva piana espresso in forma polare dall'equazione: 3 log* ß * cß dþ Calcolare il lavoro lungo del campo vettoriale J a CßBÞ

12 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 3. Sia: À B log * cos * * C * * c ß d log sin < w cos* sin* a* Œ log* sin* ß log* cos* * * J a< a* a log* sin* ß log* cos* P ( J. < ( J a< a* < a*. * ( alog*.* * log * ( log*.* log a log c* log* * d log a log a loga log Þ w 0aBßC B sin ac C sinb B C. (a) Dopo aver calcolato lim 0aBßC e, se questo esiste finito, aver prolungato 0 per abßcä aß continuità nell'origine, calcolare la derivata direzionale H@ 0 aß per il generico acos* ß sin *, in ase alla definizione di derivata direzionale. () In ase al risultato ottenuto, rispondere alle domande: la formula del gradiente vale per questa funzione? La funzione è differenziaile nell'origine? (a) % kb kac kck kb k % 3 kcos* ksin * 3 ksin* k kcos* k k0abßck Ÿ Ÿ B C 3 Ÿ % % % 3 3, funzione radiale infinitesima; perciò esiste lim 0 a BßC e la funzione può essere resa abßcä aß continua definendola uguale a in aß Þ Calcoliamo ora H@ 0 aß a con w > cos* sin a> sin* > sin * sina> cos* a> 0 a> cos* ß> sin* µ >

13 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema quindi aper * fissato e > Ä µ %> cos* sin * > sin * cos* µ %> cos* sin * w H@ 0 aß a % cos* sin * Þ () Poiché quest'espressione non è cominazione lineare di cos* ß sin*, la formula del gradiente non vale, e la 0 non può essere differenziaile in aß Þ (Oppure: poiché le derivate parziali -che si ottengono ponendo acos* ß sin* a"ß o aß" - sono nulle mentre la derivata direzionale non è zero per tutti i *, la formula del gradiente non vale; quindi 0 non è differenziaile). 4. Dimostrare che l'equazione arctanc È 0aBßC CtanB B % definisce implicitamente almeno una (quante?) funzione C ab in un intorno del punto B Þ Calcolare poi w ˆ per questa funzione, o una di queste funzioni, se sono più d'una. arctanc 0Š ßC C per: % Calcoliamo: arctanc CßC "ßC. % " È 0C abßc tanb B a" C % 0CŠ ß " Á à 0CŠ ß Á % % Quindi l'equazione definisce implicitamente esattamente tre funzioni in un intorno di B, C " ab con " Š " C ab con Š ". Calcoliamo ora C ab con Š Þ C È 0B abßc arctan C ˆ " tan B à B % 3

14 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 5. Calcolare l'integrale doppio: Passando in polari si ha: * È * 0B Š ß" " % a È % % w 0Bˆ * ß" È % " Š 0 ˆ Þ ß" C % ( ( B C.B.CÞ B C ŸV V ( ( ( ( B C.B.C 3 cos * 3 sin * * B C ŸV V % % % % V Œ( kcos * k. * ( 3. 3 ( kcos> k. > V ( cos>. > V. ) 6. Calcolare il centroide del semiellissoide omogeneo di semiassi +ß,ß- : B C D I abßcßd À D ß Ÿ " Þ +, - Vol.aI +,-Þ Per simmetria: mentre BG CG ß " DG D.B.C.D.B.C D.D. VolaI ( ( ( +,- ( ( ( B C D I Ÿ" - +, - Ora l'integrale interno è l'area dell'ellisse di semiassi + É D " ß, É" D - - perciò si ha: - - % D D D D DG ( +, Œ" D.D D.D - ( Œ +, % Œ Œ -. - % %- % ) - 4

15 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 7. Si calcoli il flusso del campo vettoriale: Ja ˆ BßCßD C ßD ßB attraverso la superficie semisferica D descritta da: orientata verso l'alto. con perciò Si ha: D ÈV ab C ß B C Ÿ V F ( ( J 8.W ( ( JaBßCß0aBßC a 0Bß 0Cß".B.C D B C ŸV 0aBßC È V ab C, F ( ( ˆ C ßV ˆ B C ßB B ÈV B C ÈV B C a ß C a ß".B.C B C ŸV BC CaV ab C ( ( B ÈV B C ÈV B C.B.C a a per simmetria B C ŸV ( ( B.B.C ( ( B C ŸV V 3 cos *3. 3. * V % V Œ( cos *.* ( 3. 3 Þ % 8. Si consideri la funzione -periodica definita in c ßd da: 0aB sinkbk a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti + 5 di Fourier di 0 (non è richiesto il calcolo dei, 5), tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 5

16 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema (a) 0 è una funzione continua in e regolare a tratti, quindi i coefficienti sono 9 a"î5. La serie di Fourier convergerà puntualmente a 0 in ogni punto. () Poiché 0 è pari,, 5 a5ß mentre % + ( sinb.b Þ Calcoliamo: Da cui: Perciò + 5 B 5B.BÞ ( sin cos M ( sinbcos5b.b c cosbcos5bd 5( cosbsin5b.b cosa5 " 5csinBsin5Bd 5( sinbcos5b.b Þ cosa5 " cosa5 " M, e + 5 Á "ß + " 5 5 per mentre " 5 " _ + cos sinkbk " + cos5b " a 5 " 5 cos5b " 5 _ 5" 5 6