Terzo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2013/2014. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Terzo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/04. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome in stampatello) n di matricola n d'ordine v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 "Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica e dicendo esplicitamente quante sono: ÈD D " œ )Þ. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, giustificando il procedimento seguito: lim Ä. Derivata della funzione inversa. Sia cloga log log a%d Þ È log% log' 0aB œ arctanb cosš B. Sia B aß tale che 0aB œ. Dopo aver dimostrato che 0 è invertiile in un intorno di B, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare wˆ e scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di ab nel punto B œ.

2 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0aB œ B B Suggerimenti: diversi punti notevoli della funzione hanno ascissa espressa da potenze a "Î Î esponente razionale, come ß, ecc.; lasciare questi valori scritti in questa forma nei calcoli, non sostituire valori numerici approssimati; i valori approssimati servono solo a confrontare valori diversi per collocarli sulla retta. Infine, il grafico non può essere fatto in scala).. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. "Î Î. "È Î " / " log Œ " Þ œ" Calcolo integrale 6. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l'espressione ottenuta: B B B.BÞ 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: È ÈB.B. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato al variare del parametro ā, giustificando le proprie conclusioni: a> >%.>Þ È > a">

3 Es Tot. Punti Terzo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/04. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome in stampatello) n di matricola n d'ordine v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 "Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica o esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: D 'D œ Þ. Stima all'infinito e asintoto oliquo. Dare una stima asintotica di 0aB per B Ä ; stailire quindi se 0 possiede un asintoto oliquo, in caso affermativo determinandolo. 0aB œ ab" / B " Þ B". Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): cshab sinb dcchab cosbd lim BÄ Š È% "B cosb tanb

4 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. Î 0aB œ B. B"Î Suggerimenti: diversi punti notevoli della funzione hanno ascissa espressa da potenze a "Î Î esponente razionale, come ß, ecc.; lasciare questi valori scritti in questa forma nei calcoli, non sostituire valori numerici approssimati; i valori approssimati servono solo a confrontare valori diversi per collocarli sulla retta. Infine, il grafico non può essere fatto in scala).. Serie numeriche. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. "a" Œ Þ " œ" Calcolo integrale 6. Calcolare il seguente integrale definito generalizzato: / ˆ B B.BÞ B 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta:.b sinb. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: JaB œ " B "Î log a">.>þ > a%>

5 Es Tot. Punti Terzo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/04. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica e dicendo esplicitamente quante sono: ÈD D " œ )Þ A œ ÈD àa œ )à D " A œ È ˆ ) œ / ' œ š Èß Èß Þ Tre soluzioni: D œ A ß œ ß"ßà A È È È D œ œ œ Èà È È È È Š È Š È ) È D" œ œ œ œ à È È È " " " Š È È D œ œ œ œ Þ È È. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, giustificando il procedimento seguito: lim Ä cloga log log a%d Þ È log% log' Per le proprietà dei logaritmi e della relazione di asintotico, loga œ log log µ logà log a% µ log quindi Num. µ log log œ %log Þ

6 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n perciò Per la gerarchia degli infiniti e questo è il limite cercato.. Derivata della funzione inversa. Sia Den. µ È log % œ È log % log % + µ œ ß Èlog È 0aB œ arctanb cosš B. Sia B aß tale che 0aB œ. Dopo aver dimostrato che 0 è invertiile in un intorno di B, detta l'inversa di 0 in tale intervallo, calcolare wˆ e scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di ab nel punto B œ. Si osserva che 0 Š È œ, quindi B œ È à funzione continua. 0 B œ B w cosˆ a BsinŠ B arctan B, "B 0 w " Š È cos œ B sinarctanè œ Þ % % w w w Poiché 0 Š È e 0 è continua, sarà 0 ab in un intorno di B œ È; in tale intoro 0 è strettamente decrescente e quindi invertiile. Š œ È w " à Š œ œ %Þ 0wŠ È Equazione della retta tangente: C œ È % Š B Þ 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0aB œ B B Suggerimenti: diversi punti notevoli della funzione hanno ascissa espressa da potenze a "Î Î esponente razionale, come ß, ecc.; lasciare questi valori scritti in questa forma nei "Î Î.

7 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n calcoli, non sostituire valori numerici approssimati; i valori approssimati servono solo a confrontare valori diversi per collocarli sulla retta. Infine, il grafico non può essere fatto in scala). Î Funzione definita per B Á Þ Per B Ä ˆ Î ß È 0aB µ Ä Š ÈB "Î È B œ Î asintoto verticale. Per B Ä ˆ Î ß È 0aB µ Ä Š ÈB "Î È B œ Î asintoto verticale. Per B Ä ß "Î B " 0aB µ œ Ä Þ BÎ B"Î C œ asintoto orizzontale per B Ä. "Î Î Proaile punto di non derivailità in B œ, per la presenza di B ßB. Calcoliamo, per B Á ß " ˆ Î B ˆ "Î B ˆ Î w B B B "Î B ˆ "Î B %Î Î 0 ab œ œ œ B Î B%Î BÎ a a œ "Î %B B B ab Î %Î Î ß definita per B Á ßB Á Î. Per B Ä ß w 0 ab µ Ä ß B%Î a perciò B œ è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. w "Î Î 0 ab per %B B Þ Ponendo > œ B "Î ci si riconduce alla disequazione > %> > "ß> Ÿ ß per B "ßB Ÿ Þ Quindi B œ " punto di minimo relativo, B œ punto di massimo relativo.

8 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n Grafico qualitativo:. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. "È Î " / " log Œ " Þ œ" " + œ È Î / " logœ " œ œ È " % " " " ' " " Œ 9 " 9 œ È 9 Œ Œ Œ Œ µ ' Î La serie a termini positivi, per il criterio del confronto asintotico, per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente Î ā ", converge. 6. Calcolare il seguente integrale indefinito e semplificare l'espressione ottenuta: B B B.BÞ 4

9 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n B B.B œ Œ".B œ B B B B B " œ B Œ.B.B œ B B ab" B" œ B logˆ B B arctan - È È 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta: È È È È B.B œ B œ Sh>à.B œ Ê Ch>.> SettShÈ SettShÈ > >> œ È > Ê.> œ œ È Sh Ch Ch " œ Š È È SettShÈ œ È È œ È SettSh È œ È " Þ log È È Š È. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato al variare del parametro ā, giustificando le proprie conclusioni: a> >%.>Þ È > a"> La funzione integranda è continua in aß, illimitata in un intorno di, perciò occorre studiare l'integrailità in e. % Per > Ä ß0 a> µ È ß integraile. > " > " Per > Ä ß0 a> µ È œ >, integraile per "ß cioè ā. >>

10 Es Tot. Punti Terzo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/04. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algerica o esponenziale e dicendo esplicitamente quante sono: D œ BC 4 soluzioni. D 'D œ Þ abc ' abc œ B C BC'B'C œ B C 'B œ œ CaB œ Ê C œ o B œ C œ Ê B 'B œ Ê B œ È" œ È B œ Ê *C ") œ ßC œ %ßC œ D"ß œ ÈàD œ È ß% ' È'. Stima all'infinito e asintoto oliquo. Dare una stima asintotica di 0aB per B Ä ; stailire quindi se 0 possiede un asintoto oliquo, in caso affermativo determinandolo. con 0aB œ ab" / B " Þ B" Per B Ä ß0aB µ B, crescita lineare, possiile asintoto oliquo. B" 0aBB œ BŠ/ B " " / B " œ ; ab; ab B" " B" " ; ab Ä "ß;" ab µ B µ B œ Þ B " B Perciò 0aBB Ä, ed esiste asintoto oliquo per B Ä, di equazione C œ B. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale teorema di De L'Hospital / formula di Taylor -

11 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n MacLaurin): cshab sinb dcchab cosbd lim BÄ Š È% "B cosb tanb cch ab cosbd Ä à ab c a d a ˆ B Sh B B œ B 9 B ŒB 9ˆ B œ B 9ˆ B sin µ B à x x Num. µ B Þ tanb µ Bà Š È% " * * "B cos B œ " B 9ˆ B Œ" B 9ˆ B œ B 9ˆ B µ B % % % Den. µ * % B à e questo è il limite cercato. 0 a B µ B B œ * * ß % 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivailità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; ricavare in altro modo le informazioni sulla presenza di punti di flesso. 0 B œ B Î a B "Î. Suggerimenti: diversi punti notevoli della funzione hanno ascissa espressa da potenze a "Î Î esponente razionale, come ß, ecc.; lasciare questi valori scritti in questa forma nei calcoli, non sostituire valori numerici approssimati; i valori approssimati servono solo a confrontare valori diversi per collocarli sulla retta. Infine, il grafico non può essere fatto in scala). Funzione definita per B Á Þ Per B Ä a ß B œ asintoto verticale. 0aB µ Ä B"Î

12 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n Per B Ä ß 0aB µ B "Î Ä con crescita sottolineare senza asintoto oliquo). "Î Î Proaile punto di non derivailità in B œ, per la presenza di B ßB. Calcoliamo, per B Á ß ˆ "Î B " ˆ Î B "Î B ˆ "Î B w B B ˆ Î B Î %Î 0 ab œ œ œ B"Î B%Î B"Î a a œ Î "Î B 'B ß B%Î B"Î a definita per B Á ßB Á. Per B Ä ß w 0 ab µ Ä ß B%Î a perciò B œ è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. w Î "Î 0 ab per B 'B Þ Ponendo > œ B "Î ci si riconduce alla disequazione > '> per > Èß> Ÿ Èß B Š È ßB Ÿ Š È Þ Quindi B œ Š È punto di minimo relativo, B œ Š È punto di massimo relativo. Grafico qualitativo:

13 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n. Serie numeriche. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in ase ai criteri studiati. "a" Œ Þ " œ" " " " + " a" Œ œ " a" Œ " a", " " œ" œ" œ" œ" con, œ per ", quindi si tratta di una serie a segni alterni. Poiché " " k+ k œ, µ œ, per confronto asintotico con la serie armonica divergente, la serie di partenza non converge assolutamente. Per studiare la convergenza semplice utilizziamo il criterio di Leiniz, verificando che sia monotona decrescente. Per far questo introduciamo e calcoliamo, 0aB œ B B "B % w ab" a"b B ab B B B B" 0 ab œ œ "B "B a a B % w e per B Ä ß0 ab µ B', perciò la funzione 0aB, e quindi la successione,, è definitivamente decrescente. Il criterio di Leiniz è applicaile e la serie di partenza converge semplicemente. 6. Calcolare il seguente integrale definito generalizzato: / ˆ B B.BÞ B ˆ ðóñóò B B B / B B.B œ B/ Œ ".B œ w 0 ðóóóóñóóóóò B " B B B " " œ / Œ " / ab.b œ " / œ " œ Þ 7. Calcolare il seguente integrale definito e semplificare l'espressione ottenuta:.b sinb 4

14 appello di Analisi Matematica. A.A. 0/4. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n.b B >.> œ B œ tan à sinb œ à.b œ sinb "> " " " " œ ".>.>.> " > œ œ œ > œ " > >" ˆ > arctan È È Œ " "> % " œ œ œ Þ È È È È ' arctan arctan È ". Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie conclusioni: La funzione JaB œ " B "Î log a">.>þ > a%> 0 a> œ a"> > a%> log "Î è definita per > ā " e illimitata in un intorno dei punti "ßßÞ log Per > Ä ß0 a> µ "Î non integraile, quindi dev'essere B Þ % a> "Î > " Per > Ä ß0 a> µ œ ß integraile. %> %>Î log "Î a"> Per > Ä " ß0 a> µ integraile. Conclusione: JaB è definita per Ÿ B Þ