Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2012/2013. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C ab%c ab$cab œ!þ. Determinare una soluzione particolare dell'equazione ww w B C ab%c ab$cab œ / Þ

2 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2. Si consideri l'equazione differenziale: w C œ Bˆ CC Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca! œ ' Þ c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva piana la cui equazione in forma polare è: 3 œ $ cos* ß * c!ßdþ a. Calcolare l'elemento d'arco.=, verificando che è un arco di curva regolare.. Calcolare l'integrale di linea ( sin*.=þ 2

3 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. % BC B C lim abßcä a!ß! B C% 5. Sia 0 À $ Ä definita da $ $ 0aB ßB ßB œ B kbk B B Þ a. Dopo aver calcolato f0ab per B generico, scrivere l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico di 0 nel punto aßß.. Calcolare (col procedimento più semplice) le derivate direzionali di 0 in! secondo il generico Giustificare il procedimento seguito in ase alla teoria. 3

4 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBßC œ B acb acb 4

5 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione. Risolvere il prolema di Cauchy: ww w C ab ÈC abcab œ!þ Ú Ý wwa È w C B C abcab œ! Û Ý C a! œ È$ w ÜC a! œ!þ

6 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2 2. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B ā Þ. Risolvere il prolema di Cauchy: w C C B œ B w C C B œ B œ C a œ $Þ Curve e integrali di linea 3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva: Ú B œ > cosa> Û C œ > sina> Ü D œ > > c!ß dþ Calcolarne quindi il momento d'inerzia rispetto all'asse z, supponendo che si tratti di una linea materiale omogenea di massa QÞ 2

7 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBßC œ logab ab C È%B %C % %. Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Data la funzione 4Î$ B C BßC 0aBßC œ B C B% per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Stailire in quali punti del piano è derivaile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso (semplificare le espressioni trovate!);. Stailire in quali punti del piano è differenziaile; (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). 3

8 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBßC œ B C B B C % % 4

9 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n 3 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione C ww ab*cab œ!þ. Determinare una soluzione particolare dell'equazione ww C ab*cab œ / sinbþ B

10 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Tema 3 2. Si consideri l'equazione differenziale: w C $ C œ /% B Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca! œ % Þ c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva piana di equazione parametrica: <a* œ a& cos* cosa& * ß& sin* sina& * ß* c!ß dþ a. Verificare che la curva è regolare a tratti, calcolando l'elemento d'arco.= e individuando esplicitamente tutti i punti singolari della curva. Quanti sono?. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva. (Si può utilizzare il seguente integrale: ' È! cos>.> œ % È ). 2

11 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Tema 3 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. % sin Bcos Cˆ B C$C lim abßcä a!ß! ab C2 B 5. Sia 0 À % Ä definita da: 0aB ßB ßB ßB œ B B B B B B B B Þ $ % $ $ % % a. Dopo aver calcolato il gradiente di 0 nel punto B generico, scrivere l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico di 0 nel punto aßß$ß% e semplificare l'equazione ottenutaþ. Scrivere la matrice Hessiana di 0. 3

12 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Tema 3 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBßC œ ac ˆ B C 4

13 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n 4 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione. Risolvere il prolema di Cauchy: ww C ab$c ab œ &BÞ Ú ww w C ab$c ab œ &B ÛC a! œ Ü w C a! œ Þ $ w

14 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Tema 4 2. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione. Risolvere il prolema di Cauchy: w &B C ab& C œ B/ Þ w C ab& C œ B/ œ C a! œ Þ &B Curve e integrali di linea 3. Calcolare le coordinate del centroide dell'arco di curva omogenea: <a> œ ˆ V cos $ >ßV sin $ > per >!ß % dove V è un parametro positivo fissato, sapendo che la lunghezza dell'arco di curva è $ P œ VÞ % 2

15 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Tema 4 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBßC œ logš %ab ac B C $. Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Data la funzione $ $ B C B C BßC 0aBßC œ B C per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Calcolare in ase alla definizione le derivate direzionali di 0 nell'origine, secondo il generico œ acos* ß sin*. Controllare quindi se in questo caso la formula del gradiente è verificata o no.. Stailire in quali punti del piano 0 è differenziaile, giustificando la risposta. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). 3

16 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Tema 4 6. a. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).. Scrivere esplicitamente la formula di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano per questa funzione, nel punto aß!, ossia sviluppare 0 a2ß5 œ á C 0aBßC œ / Œ B $BCC 4

17 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C ab%c ab$cab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione a) Integrale generale dell'omogenea: (non ww w B C ab%c ab$cab œ / Þ! %! $ œ! a! a! $ œ!à! œ ß! œ $Þ B $B DaB œ -/ - / Þ ) Cerchiamo una soluzione particolare della forma B CaB œ +B/ +/ B perché questa è soluzione dell'omogenea) w C œ +/ B ab B ww C œ +/ B ab +/ cab% ab$bd œ / 2. Si consideri l'equazione differenziale: + œ à+ œ à B CaB œ B/ Þ w C œ Bˆ CC Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca! œ ' Þ B

18 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Svolgimento Tema c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. a. Soluzioni costanti: C œ!ßc œ Þ Per C Á!ß ß.C œ B.Bà ( Œ.C œ B - C ac C C C C logº º œ B -à œ -/ C C B Î B Î CaB œ -/ -/ B Î -. œ C a! œ à- œ Þ ' - ) CaB œ ) B / Î % B Î / œ / a B Î B / Î % B Î poiché dev'essere / % Á!ßB Á Èlog, la soluzione è definita in ˆ Èlogß Èlog Þ Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva piana la cui equazione in forma polare è: 3 œ $ cos* ß * c!ßdþ a. Calcolare l'elemento d'arco.=, verificando che è un arco di curva regolare.. Calcolare l'integrale di linea a. ( sin*.=þ.= œ É3 3 w.* œ Éa$ cos* a$ sin*.* œ È!' cos*.* Þ La curva è regolare perché 3 a* è di classe G e È!' cos* Á 0 a* c!ßd ˆ! cos* Á a* ' Þ. Calcoliamo: ( sin*.= œ ( sin* È!' cos*.* œ ccos* œ > d œ ( È!'>.> œ! $Î œ a!'> $Î $Î &' œ ' % œ c'%) d œ Þ ' $ * * * 2

19 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Svolgimento Tema Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. % BC B C lim abßcä a!ß! B C% 0 BßC œ BC B% C œ BC B% a C 0 BßC 0 BßC Þ B C% B C% B C% a a Studiamo separatamente i limiti di 0 e 0. % B kck k0 abßck Ÿ œ B kck Ä!Þ B Per il teorema del confronto, il limite di 0aBßC esiste e vale zero. Studiamo mediante restrizioni il limite di: 0 BßC œ BC a B C % 0aBß! œ!þ % C 0 ˆ C ßC œ œ Þ C% C % $ Pertanto il limite di 0 non esiste, e poiché il limite di 0 esiste finito concludiamo che il limite di 0 non esiste. 5. Sia 0 À $ Ä definita da $ $ 0aB ßB ßB œ B kbk B B Þ a. Dopo aver calcolato f0ab per B generico, scrivere l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico di 0 nel punto aßß.. Calcolare (col procedimento più semplice) le derivate direzionali di 0 in! secondo il generico Giustificare il procedimento seguito in ase alla teoria. a. 0aB ßB ßB œ B ˆ B B B B B Þ $ $ $ Iperpiano tangente: f0ab ßB ßB œ ˆ $B B B ßB B B ßB B B $ $ $ $ 0 aßß œ à f0 aßß œ a&ßß Þ B% œ a&ßß ab ßB ßB$ œ & ab ab ab$ B œ &B B B &Þ % $ 3

20 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 202/3. Svolgimento Tema. Poiché 0 f0 a!ß!ß! œ a!ß!ß! è differenziaile vale la formula del gradiente, perciò H@ 0 a!ß!ß! œ f0 œ! per 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBßC œ B acb acb 0aBßC œ B Š C ab 0B œ BŠ C ab B a ab œ BcC ab $B d œ! ā 0 œ B C œ!þ C I punti stazionari sono: a!ßc! (cioè esiste una retta di punti stazionari); aß! àœ ß! Matrice hessiana: cc a'b 'B d %BC L0aBßC œ Œ Þ %BC B L0!ßC œ a a C! Œ!!!! semidefinita: casi dui! L0aß! œ Œ a! indef. ß! punto di sella! L0Œ ß! œ Œ ß!! definita pos. Œ punto di minimo rel. Studiamo i casi dui. Poiché 0 a!ßc! œ!, studio il segno di 0 vicino all'asse C. In un intorno di a!ßc! è: 0aBßC ā! se C! ā o C!, 0aBßC! se C!, camia di segno se C! œ. Conclusione: a!ß sono punti di sella a!ßc! sono punti di minimo assoluto se C! ā o C! a!ßc! sono punti di massimo assoluto se C!. 4

21 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2 Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: a) ww w C ab ÈC abcab œ!þ Ú Ý wwa È w C B C abcab œ! Û Ý C a! œ È$ w ÜC a! œ!þ! È! œ! Integrale generale dell'omogenea: )! œ È (radice doppia) ÈB DaB œ / a- - BÞ D ā a! œ - È œ $ w D a! œ - È- œ! - œ È$à- œ È' ÈB CaB œ / Š È$ È'B Þ 2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B ā Þ w C C B œ B

22 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 ) Risolvere il prolema di Cauchy: w C C B œ B œ C a œ $Þ a) + ab œ B à EaB œ '.B œ 'ˆ.B œ ˆ B log B B B B B B B C œ œ- ( B.B œ œ- ( ŒB.B œ B B B B B B œ œ- B logab Þ B ). $ œ C a œ $ e- log$ fà- œ $ log$þ B B C œ œ$ log$ B logab Þ B Curve e integrali di linea 3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva: Ú B œ > cosa> Û C œ > sina> Ü D œ > > c!ß dþ Calcolarne quindi il momento d'inerzia rispetto all'asse z, supponendo che si tratti di una linea materiale omogenea di massa QÞ a> œ ˆ cosˆ > > sinˆ > ß sinˆ > > cosˆ > ß> < w < w a> k œ %> % %> œ ˆ > k.= œ ˆ >.> ' P œ ( ˆ > $.> œ > > œ $ $!! $ Þ Q Q M œ ( ˆ B C.= œ ( > ˆ >.> œ P P & $ Q & $ & $ & $ œ > > œ Q œ Q Þ P & $ ' ) $!! '% ) $ % $ $ 2

23 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBßC œ logab ab C È%B %C % %. Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I œ œabßc À B C àb ā % ÐLe condizioni C Á B risultano implicite nelle altre, come si capisce facendo la figurañ I è aperto SI' úx NO ú I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' úx NO ú 5. Data la funzione 4Î$ B C BßC 0aBßC œ B C B% per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Stailire in quali punti del piano è derivaile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso (semplificare le espressioni trovate!);. Stailire in quali punti del piano è differenziaile; (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). a. Per abßc Á a!ß! la funzione è derivaile (anzi, nell'aperto eabßc Á a!ß! f 0 è G e quindi differenziaile). Calcoliamo: 3

24 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 Bˆ % B C B $ 4Î$ % 4Î$ ab%b B BC ˆ C B 0BaBßC œ C œ B C B% B C B% a a % $ C Î$ ˆ B C B % 4 C C Î$ Î$ B C ˆ % %B C %B 0CaBßC œ B œ B C B % $ B C B% a a Calcoliamo in ase alla definizione le derivate in a!ß!. 0aBß! œ!à0 Ba!ß! œ!à 0 a!ßc œ!à0 a!ß! œ!þ. 0 G a E con E œ e abßc Á a!ß! f, ed è ivi differenziaile. Studiamo la differenziailità nell'origine. Occorre verificare se 0aBßC œ 9Š È B C Þ 4Î$ B C $ %Î$ 0aBßC» È» B C œ B C B% È» a» â B C œ 3 $ cos * sin * Ÿ 3$ 3 cos% * â C $ 3 $ Î$ Ÿ œ 3 ß 3$ maggiorante radiale infinitesima. Perciò il limite studiato è zero, e la funzione è differenziaile nell'origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). I punti stazionari sono: Matrice hessiana: 0aBßC œ B C B B C % % $ 0B œ BC B B œ BaC B œ! œ 0 œ B CC œ CaB œ!þ C a!ß! àa ß! à Š Èß à Š Èß Þ C $B BC L0aBßC œ Œ Þ BC B 4

25 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2! L0 a!ß! œ Œ a!ß!! indef.; punto di sella. L0a ß! œ Œ! a! def. neg.; ß! punti di max. rel. L0 Š È % È ß œ Š È indef. ß punti di sella. È! L0 Š È % È ß œ Š È indef. ß punti di sella. È! 5

26 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 3 Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C ww ab*cab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione ww C ab*cab œ / sinbþ a)! * œ! Integrale generale dell'omogenea:! œ $3Þ DaB œ - cos$b- sin$bþ ) Cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione complessa della forma ww C ab*cab œ / w CaB œ +/ B B a3 C œ + a3 / ww C œ + a3 / B a3 B a3 B a3 B a3 B a3 +/ a3 * œ / $3 + c'%3d œ à + œ œ œ '%3 $3 $ $3 B a3 CaB œ / Þ $

27 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 La soluzione dell'equazione reale è: B CaB œ ImCaB œ ImŒ / a$3 acosb3 sinb œ / a cosb$ sinbþ $ $ 2. Si consideri l'equazione differenziale: w C $ C œ /% B Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca! œ % Þ c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. a. Non ci sono soluzioni costanti. Risolviamo: CÎ% $ ( /.C œ ( B.B B. Imponiamo la condizione iniziale % CÎ% B %/ œ - % CaB œ % logœ- B ' % œ % log -à - œ / % B CaB œ % logœ/ ß ' c) La soluzione del prolema di Cauchy è definita per B ˆ È% /ß È% /. (Più ampio intervallo contenente! in cui la funzione è definita). Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva piana di equazione parametrica: <a* œ a& cos* cosa& * ß& sin* sina& * ß* c!ß dþ a. Verificare che la curva è regolare a tratti, calcolando l'elemento d'arco.= e individuando esplicitamente tutti i punti singolari della curva. Quanti sono?. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva. (Si può utilizzare il seguente integrale: ' È! cos>.> œ % È ). a. < w a* œ a& sin* & sina& * ß& cos* & cosa& * % 2

28 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 k a* k œ & a acosa& * cos* sina& * sin* œ &! a cos %* œ! per: < w %* œ 5 à* œ I punti singolari della curva sono quattro:. 5 5 œ!ßßß$þ per a%ß! ß a!ß% ßa%ß! ß a!ß% Þ P œ ( È&! a cos %*. * œ c% * œ > d! ) œ & È È. > ( cos> œ & È ( È cos>.> œ & È % È œ %!Þ %!! Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati. % sin Bcos Cˆ B C$C lim abßcä a!ß! ab C2 B sin Bcos Cˆ B C$C % sin Bcos C B C$C % B B C$C % B ˆ B kck$c %»» œ Ÿ Ÿ œ a a a a B C2 B B C2 B B C2 B B C2 % % B kc k $B C œ 0 BßC 0 BßC Þ B C B a a a 2 a C2 Ora 0 è positivamente omogenea di grado, mentre 0 è positivamente omogenea di grado 2 (quindi entrame di grado positivo), ed entrame sono continue fuori dall'origine, perciò entrame tendono a zero per abßc Ä a!ß!. Per il teorema del confronto, anche 0 tende a zero. Oppure, senza usare l'omogeneità, si poteva procedere così: k0abßck Ÿ B% C $B C % & % œ $ ' k k 3 cos * ksin* k 3 cos * sin % * Ÿ B C B a 2 a C2 3% 3% perciò 0aBßC Ä! per abßc Ä a!ß! Þ 5. Sia 0 À % Ä definita da: Ÿ 3$ 3, maggiorante radiale e infinitesima, 0aB ßB ßB ßB œ B B B B B B B B Þ $ % $ $ % % 3

29 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 a. Dopo aver calcolato il gradiente di 0 nel punto B generico, scrivere l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico di 0 nel punto aßß$ß% e semplificare l'equazione ottenutaþ. Scrivere la matrice Hessiana di 0. a. f0ab ßB ßB$ ßB% œ ab B% ßB B$ ßB% B ßB$ B Þ Iperpiano tangente: 0 aßß$ß% œ '% œ % f0 aßß$ß% œ a ß ßß B& œ % ab ab ab$ $ ab% %. B& œ B B B$ B% %. Î!! Ñ!! L0aB œ Ð Ó!! Ï!! Ò 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). 0aBßC œ ac ˆ B C I punti stazionari sono: Matrice hessiana: 0B œ BaC œ! ā 0 œ ac ab C CaC œ!þ C ab ß a à Œ!ß! (cioè esiste una retta di punti stazionari);!ß! L0 a BßC C %B C œ Œ a a Þ %BaC ab 'C'C L0 a B ß œ!!! Œ! ab semidefinita: casi dui! 4

30 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 L0a!ß! œ Œ! a! indef.!ß! punto di sella L0!ß œ! Œ Œ definita pos. Œ!ß punto di minimo rel.! Studiamo i casi dui. Poiché 0aB! ß œ!, studio il segno di 0 vicino alla retta C œ. 0aBßC ā! se C B, cioè kbk C kbkþ Quindi in un intorno di ab! ß è: 0aBßC ā! se B! ā o B! ß 0aBßC! se B! ß 0aBßC camia di segno se B! œ. Conclusione: a ß sono punti di sella ab! ß sono punti di massimo assoluto se B! ab! ß sono punti di minimo assoluto se B! ā o B!. 5

31 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 Equazioni differenziali. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: ww C ab$c ab œ &BÞ Ú ww w C ab$c ab œ &B ÛC a! œ Ü w C a! œ Þ a)! $! œ! Integrale generale dell'omogenea: $! œ!ß! œ $ DaB œ - - / $B Þ Soluzione particolare della non omogenea: cerco w CaB œ +B,Bà C ab œ +B,àC ab œ +Þ w ww +$ a+b, œ &Bà +$, œ! + œ œ '+ œ & ā, œ & ' & * Integrale generale: CaB œ - - / $B & B & BÞ ' * ) Soluzione del prolema di Cauchy: C œ a! œ - - œ w & C a! œ $ - œ à * $ - œ ā- œ ) ( * ( * ) $B & & CaB œ / B BÞ ( ( ' *

32 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: a) + ab œ ab& à EaB œ ' B + ab.b œ &B w &B C ab& C œ B/ Þ w C ab& C œ B/ œ C a! œ Þ B B CaB œ / - / œ ( B/.B œ &B &B &B &B œ / B B &B œ- ( B/.B œ B B B &B &B &B œ / š - / œ -/ / Þ ) œ C a! œ - à- œ $à &B B C œ / Š $/ Þ Curve e integrali di linea 3. Calcolare le coordinate del centroide dell'arco di curva omogenea: <a> œ ˆ V cos $ >ßV sin $ > per >!ß % dove V è un parametro positivo fissato, sapendo che la lunghezza dell'arco di curva è $ P œ VÞ % < w a> œ ˆ $V cos > sin>ß $V sin > cos> k< w a> k œ $V sin>cos>þ % % % $ % BG œ ( B.= œ ( V cos > $V sin> cos>.> œ %V( sin> cos >.> œ P $V!! > % œ %V cos& % œ V Þ & & % È! 2

33 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 % % % $ CG œ ( C.= œ ( V sin > $V sin> cos>.> œ %V( sin % > cos>.> œ P $V!! sin & % > % œ %V œ V œ VÞ & & % È & È! % & % È & È Il centroide ha coordinate Š V Š ß V Þ Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aBßC œ logš %ab ac B C $. Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I œ š abßc À ab ac % (la condizione C Á B Î$ risulta implicita nell'altra). I è aperto SI' úx NO ú I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' úx NO ú 3

34 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 5. Data la funzione $ $ B C B C BßC 0aBßC œ B C per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Calcolare in ase alla definizione le derivate direzionali di 0 nell'origine, secondo il generico œ acos* ß sin*. Controllare quindi se in questo caso la formula del gradiente è verificata o no.. Stailire in quali punti del piano 0 è differenziaile, giustificando la risposta. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). a. a> œ 0 a> cos œ > cos sin > ˆ $ $ * ß>sin* * * cos * sin * In particolare w $ $ H@ 0 a!ß! œ a! œ cos f0 a!ß! œ aß * sin *. $ $ f0 œ cos* sin* Á cos * sin * perciò in questo caso H@ 0 a!ß! Á f0 ossia non vale la formula del gradiente.. Poiché 0 G a Ï ea!ß! f, 0 è differenziaile fuori dall'origine. Nell'origine certamente non è differenziaile, altrimenti la formula del gradiente dovree valere. 6. a. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).. Scrivere esplicitamente la formula di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano per questa funzione, nel punto aß!, ossia sviluppare 0 a2ß5 œ á C 0aBßC œ / Œ B $BCC C 0B œ / ab$c œ! œ C 0 œ / ˆ B $BCC $BC œ!þ C I punti stazionari sono: a!ß! àa'ß Þ Matrice hessiana: C C / / ab$c$ L0aBßC œ Œ C C Þ / a B$C$ / ˆ B $BCC 'B%C 4

35 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 $ L0 a!ß! œ Œ a!ß! $ indef.; punto di sella. L0 œ / $/ a'ß Œ def. pos.; a'ß punto di min. rel. $/!/. 0 a2ß5 œ 0 aß! 0 aß! 20 aß! 5 ˆ 0 aß! 2 0 aß! 250 aß! 5 9ˆ B C BB BC CC 2 5 & & 0 a2ß5 œ 2 5 Œ2 %25 5 9ˆ 2 5 5