Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2013/2014. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aBb œ klogkb kk È $ B % Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione.

2 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. B $B 0aBb œ logº º B * 2

3 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): BÎ logš ÈB/ lim BÄ BsinB cos$b 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ / 8 È È$ 8 È$ cos sin cos 8 8 È$ 8 8œ 3

4 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( % sin a B ba sin B cos B b.bþ 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( ab bèab % b.bþ È 4

5 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aBb œ arcsin È $ B Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione.

6 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 2 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. 0aBb œ / $ B Ë $B B 2

7 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 2 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim log ˆ È 3 B BÄ) B sina bcosˆ B ' 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 a b 8& 8 &8 8œ 3

8 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 2 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( % B $B B %B&.BÞ 6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati: _ a b ˆ cos B sinb sin B cosb ( B$Î BÎ$.B 4

9 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Tema n 3 Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). È $ BaB b Î$ 0aBb œ Š / alogkb kb Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione.

10 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 3 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. 0aBb œ È $ B/ ˆ B B 2

11 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 3 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): ShaBb ChB/ lim BÄ log abb sin B B 4. Serie numeriche. Discutere la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 a b 8 8 $8log8& 8œ 3

12 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 3 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( / kcosb k.bþ B 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( $.B $ sinb Þ 4

13 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Tema n 4 Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aBb œ ¹ ˆ B * ˆ È$ B È$ B ¹ Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione.

14 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 4 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. 0aBb œ logkbk B %B 2

15 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 4 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): ˆ arctanb % tanabb lim BÄ ˆ È$ B 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 8 a 8x/ b $ 8œ 8 8 3

16 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Prof. M. Bramanti. Tema n 4 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: ( B B %B&.BÞ 6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, studiando il comportamento della funzione integranda nell'intorno di ogni punto in cui risulta illimitata, e giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati: log abb ( ˆ È È B B.B. $ $ 4

17 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aBb œ klogkb kk È $ B % Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione. Definita per B Á. Poiché logkb k œ per kb k œ ßB œ ßB œ e B œ, e B % œ per B œ ß 0 è certamente derivabile per Calcoliamo sotto queste ipotesi B Á ßßÞ 0 w abb œ sgnalogk kb È $ klog k Þ B k k B B B % B $ ab Î$ % b Esaminiamo ora i 3 punti sopra indicati. Per B Ä ß w 0 ab b µ sgnalogk kb È $ Ä È $ B % % per B Ä, B œ punto angoloso e di massimo relativo. Per B Ä ß 0 w % log$ ab b µ Ä _ß $ ab b Î$ %Î$ B œ punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Per B Ä ß % % È$ w % Î$ 0 ab b µ k log a B bk µ k k kb k Ä Î$ Î$ a b a b B Î$ Î$ $ % B $ a% b ab b œ, $ quindi B œ è un punto di derivabilità, a tangente orizzontale. 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e

18 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. B $B 0aBb œ logº º B * $ Definita per: B Á $ßB Á ßB Á Þ Per B Ä $ß0aBb Ä _Þ B œ $ asintoti verticali. Per B Ä ßB Ä $ ß0 B Ä _. B œ ßB œ $ a b asintoti verticali. Per B Ä _ß 0aBb Ä log C œ log asintoto orizzontale per B Ä _Þ Calcoliamo w w %B$ B 0 abb œ ˆ log log B $B B * œ œ B $B B * a%b$ bab * bb ab $B b $ ab B* b œ œ per: B ab$ bab * b B ab$ bab * b B $à B '$ È $ $à B $à B '$ È$à In questi intervalli 0 è crescente. B œ '$ È $ punto di minimo relativo B œ '$ È $ punto di massimo relativo. Grafico: 2

19 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): BÎ logš ÈB/ lim BÄ BsinB cos$b logš È BÎ B/ µ BsinB cos$b perché &abb œ ÈB/ BÎ Ä Þ Ora: ÈB/ B ˆ È B B BÎ B/ œ B B 9ˆ B Œ Š 9ˆ B œ perciò œ B Œ 9ˆ B µ B ) ) % % B 0aB b µ œ B %. 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ È È / 8 $ 8 È$ cos sin cos 8 8 È$ 8 8œ BÎ Per 8 Ä _ß È$ 8 È$ È$ sin cos µ È$ mentre / 8 cos œ 9 œ È8 Œ Œ 8 8 Œ 9Œ 8 %x œ 8 Œ 9 Œ ) %x 8 µ 8 È $ 8 Quindi + 8 µ œ 8 8 &Î$. In particolare la serie è a termini definitivamente positivi, e per il criterio del confronto & asintotico e il confronto con la serie armonica generalizzata di esponente œ $ ā la serie converge. 3

20 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( % sin a B ba sin B cos B b.bþ % % ( sin abbasinb cosb b.b œ ( % sin Bcos BasinB cosb b.b œ % % œ ( % ˆ cos B cos BsinB ( % sin B ˆ sin B cosb.b œ È integrale: cosb œ >à sinb.b œ.>à> ß È 2 integrale: sinb œ >à cosb.b œ.>à> ß È œ %( ˆ % > >.>%( ˆ % > >.> œ %( ˆ % > >.> œ È $ & > > ) % œ % Œ œ Þ $ & $ & & 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( ab bèab % b.bþ È È È È ( ab bèab % b.b œ ( B ÈaB % b.b ( ÈaB % b.b œ EFÞ È ) % E œ ˆ $Î B % œ ˆ $Î $Î ) % œ È Þ ' ' $ $ F œ Š B œ È Sh>à.B œ È Ch>.>à> aß SettShb œ ( È% a Sh > bè Ch>.> œ SettSh 4

21 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n SettSh SettSh > >> È œ ( È >.> œ È Ch Sh œ È SettSh Ch œ È Þ SettSh EF œ ) È È SettSh Þ $ $ 5

22 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aBb œ arcsin È $ B Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione. Definita per È $ B Ÿ ß Ÿ È$ Ÿ È$ B Ÿ ß B Ÿ ß) Ÿ B Ÿ Þ E' certamente derivabile se Á È $ B, cioè B Á )ßB Á, B Á e se È $ B Á, quindi ancora B Á. Per ) B calcoliamo Per B Ä ) ß w sgnab b sgnab b 0 abb œ œ Þ $B Î$ $BÎ$ BÎ$ BÎ$ É ˆ È È $ B punto a tangente verticale (discendente). Per B Ä ß punto a tangente verticale (ascendente). Per B Ä ß punto angoloso. w 0 ab b µ Ä _ß ÈBÎ$ BÎ$ w 0 ab b µ Ä _ß $BÎ$ ÈBÎ$ 0 w ab b µ $ 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e

23 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 2 minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. 0aBb œ / $ B Ë $B B Definita per B Á $. Per B Ä ˆ ß $ 0aB b µ Ä _Þ È $ Î$ */ a$b b B œ $ asintoto verticale. Per B Ä _ß 0aB b µ / B B Ä œ _ con crescita sopralineare Ê $ $ C œ asintoto orizzontale per B Ä _ Per B Ä _, 0aBb Ä _ con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo). Nei punti B œ in cui si annulla il radicando, probabili punti di flesso a tangente verticale. Calcoliamo Ô B $B $ B w B $ B Î$ a$b b a b a b 0 abb œ / Ë œ Õ $B $ ab Î$ b a$b b Ø B B $ ab ba$b b a$b B$ b B/ œ / œ Þ %Î$ ˆ *B 'B( %Î$ $ ab Î$ b a$b b $ ab Î$ b a$b b 0 w abb è definita per B Á ßB Á Î$ß 0 w abb Bˆ per *B 'B( $ È( È *B 'B( œ per B œ œ * $ 0 w abb per È È Ÿ B Ÿ ßB $ $ B œ È $ punti di minimo relativo; B œ punto di massimo relativo. Per B Ä ß 0 ab b µ Ä _. B œ punto di flesso a tangente verticale, ascendente. w )/ $ ab b Î$ Î$ %Î$ % 2

24 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 2 Per B Ä ß 0 ab b µ Ä _. B œ punto di flesso a tangente verticale, w $/ ab b Î$ Î$ ascendente. (Oppure si potevano trovare i flessi a tangente verticale con stime asintotiche) Grafico: 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim log ˆ È 3 B BÄ) B sina bcosˆ B Per B Ä )ß È3 B Ä ˆ È3 B µ ˆ È3 perciò log B e Applichiamo De L'Hospital: ' B 0aBb µ ˆ È a Bb ˆ Ä B sin cos Þ 3 ˆ È3 B $BÎ$ lim BÄ) cos cos B sin sin B œ abb ˆ abb ˆ ' ' ' ' ˆ È3 B ˆ È3 B $B Î$ ' Þ a Bb ˆ B a Bb ˆ B µ a Bb ˆ B a Bb ˆ B cos cos sin sin cos cos sin sin ' ' ' ' ' ' 3

25 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 2 Calcoliamo il limite dell'ultima espressione ancora con De L'Hospital: ˆ ˆ ' $B Î$ ' lim BÄ) B B œ œ Þ B sina bcosˆ cosa bsinˆ ˆ sina bcosˆ * B B B Quindi il limite cercato è *. ' ) ' ' ' ) 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 a b 8& 8 &8 8œ _ 8 a b 8& 8 8 œ a b & Þ 8 &8 8 &8 8 &8 8œ 8œ 8œ La prima serie è definitivamente a segni alterni, perché es., per 8 ā &). Inoltre, œ &8 8 &8 ā µ Ä. 8 Controlliamo che, sia monotona decrescente. Posto 0aBb œ ß si ha: quindi _ 8 B B &B definitivamente (ad w ab &B b ab& bb B 0 abb œ œ B ā B &B B per È, a b a &B b e, 8 f è definitivamente decrescente e per il criterio di Leibniz la serie 8 8 a b converge. Quanto alla seconda serie, 8œ 8 &8 µ 8 &8 8 serie a termini positivi, converge per il criterio del confronto asintotico, in base al confronto con la serie armonica generalizzata di esponente œ. Pertanto la serie di partenza converge. 4

26 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 2 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( % B $B B %B&.BÞ B $B 'B 'B œ œ B %B& B %B& ab bab& b 'B +, B a+, b a&+, b & œ œ Ê + œ ß, œ Þ ab bab& b B B& ab bab& b ' ' % % B $B ' ' (.B œ ( B %B& B B&.B œ & & & * œ B logkb k logkb& k œ log$ log Þ ' ' ' ' ( % 6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati: Per B Ä : _ a b ˆ cos B sinb sin B cosb ( B$Î BÎ$.Bà cosab bsinb sinb º º Ÿ B$Î B$Î µ B œ integrabile; B$Î ÈB ˆ sin B cosb» BÎ$» Ÿ BÎ$ integrabile. Quindi per i criteri de confronto, del confronto asintotico e dell'assoluta integrabilità la funzione è integrabile in un intorno di zero. Per B Ä _: cosab bsinb º º Ÿ integrabile; B$Î B$Î sinˆ cos sinˆ B B B B» Î$» Ÿ µ œ integrabile. B BÎ$ BÎ$ &Î$ Quindi per i criteri de confronto, del confronto asintotico e dell'assoluta integrabilità la funzione è integrabile in un intorno di infinito. Pertanto l'integrale generalizzato assegnato converge. 5

27 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 3. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). È $ BaB b Î$ 0aBb œ Š / alogkb kb Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione. Definita per B Á. Può avere punti di non derivabilità dove BaB b œ, cioè B œ ßB œ ß e per logkb k œ, cioè B = ßB œ ßB œ. Quindi 0 è certamente derivabile se e in questo caso B Á ßB Á ßB Á 0 w È$ B È$ BaB b Î$ BaB b abb œ / alogkb kb Š / Þ Î$ Î$ $ cbab bd $ alogkb kb B Per B Ä ß È B / $ BaB b Î$ Î$ alog kb kb µ B œ à Î$ $ B B $BÎ$ c a bd $ È$ BaB b Š / È $ µ BaB b µ $ a k B kb Î$ $BÎ$ log B $ quindi esiste 0 wa b œ. Per B Ä ß 0 w ab b µ B B µ Ä _ß $ ab b a b Î$ È$ Î$ a b Î$ $ a b Î$ $ ab b a b Î$ log log log quindi B œ è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Per B Ä ß 0 w È$ & È$ ' Î$ ' ab b µ / a B b Š / µ $ 'Î$ Î$ $ a B b

28 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 3 È µ Š / $ ' Ä _ß $ a B b Î$ quindi B œ è punto di cuspide verso il basso. 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. Definita per B Á. Per B Ä ß B œ asintoto verticale da destra. Per B Ä _ß 0aBb œ È $ B/ ˆ B B 0aB b µ È Ä œ _ $ $ /ˆ B 0aB b µ / È $ B Ä _ con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo). Probabile punto di flesso a tangente verticale in B œ, dove si annulla il radicando. Anzi, la stima asintotica per B Ä dà 0aB b µ È $ B/ Î quindi effettivamente B œ è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Calcoliamo: w ˆ B ab bab b ˆ B * BaB b 0 abb œ / B $ B œ / B ā È œ B $BÎ$ Ÿ ā a b $BÎ$ Ÿ ab b 0 w abb è definita per B Á ßB Á ß B œ B /ˆ B œ B $ B% $BÎ$ ab b ˆ $ È&$ $ È 0 w &$ abb per B $ B% ßB ßB Ÿ $ È&$ $ È&$ punto di minimo relativo; B œ punto di massimo relativo; B œ punto di flesso a tangente verticale, ascendente. 2

29 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 3 Grafico: 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): Applichiamo gli sviluppi di MacLaurin: ShaBb ChB/ lim BÄ log abb sin B B B Sha lim B b Ch B/ œ BÄ Þ log abb sin B B Sha b Ch ˆ ˆ B B/ œ B9 B B 9 B ŒB abb 9ˆ B œ $ $ œ B 9ˆ B µ B Þ logabb sinb œ B B 9ˆ B B9ˆ B œ B 9ˆ B µ B e il limite cercato è $. B 0aBb µ œ $ß B $ 3

30 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 3 4. Serie numeriche. Discutere la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. _ 8 a b 8 8 $8log8& 8œ Convergenza assoluta: 8 k+ 8 k œ k8 $8log8& k µ 8, serie divergente. Perciò, per il criterio del confronto asintotico, la serie non converge assolutamente. Convergenza semplice: la serie è (almeno definitivamente) a segni alterni in quanto 8, 8 œ ā definitivamente. 8 $8log8& Inoltre, 8 µ 8 Ä. Verifichiamo che, 8 sia monotona decrescente (almeno definitivamente). Posto 0aBb œ B B $B B& ß log si ha: 0 w abb œ ab $BlogB& bb ab$ logb$ b ab $B& b œ ab $BlogB& b ab $BlogB& b B w w e per B Ä _ß 0 ab b µ B%. Quindi 0 abb definitivamente, e e, 8f è definitivamente decrescente. Pertanto per il criterio di Leibniz la serie di partenza converge semplicemente. 5. Calcolare il seguente integrale definito: ( / kcosb k.bþ B B B B ( / kcosb k.b œ ( / cosb.b ( / cosb.b œ EFÞ B B B M œ ( / cosb.b œ / sinb ( / sinb.b œ B B B B B œ / sinb Œ/ cosb ( / cosb.b œ / sinb/ cosb%m B B M œ / sinb/ cosb - &ˆ 4

31 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 3 EF œ B / a B Bb / B B œ & B sin cos asin cos b & œ e/ f / / œ ˆ / / Þ & & & 6. Calcolare il seguente integrale definito: ( $.B $ B Þ sin $.B B >.> È$ ( œ $ B > œ tan à sinb œ à.b œ à> ß sin > > $ È È È $ $ $ $.> $ $ œ ( œ.> œ.> œ %> $ > ( ( $> %>$ $ % > > > $ È$ $ $ $ œ (.> œ > $ ˆ œ > & $ È arctan & È Œ & $ $ * È$ $ œ È$ Þ È arctan & È arctan & È & 5

32 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 203/204. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4. Derivabilità. Della seguente funzione 0aBb si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...). 0aBb œ ¹ ˆ B * ˆ È$ B È$ B ¹ Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no Questo esercizio non è uno studio di funzione ma uno studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione. Definita per ogni B. Può avere punti di non derivabilità dove si annullano l'argomento del modulo o i radicandi, quindi è certamente derivabile per B Á $ßB Á ßB Á ß e in tal caso 0 w a B b œ sgn ˆ B * ab bab b āb ˆ È$ È$ ˆ È$ ˆ ˆ È$ B B B * B B * B ŸÞ $B Î$ Î$ $ ab b Per B Ä ß 0 w abb µ a * b $B Î$ Ä _ß quindi B œ è punto di flesso a tangente verticale, discendente. Per B Ä $ 0 w ab b µ sgnab$ b š ' Š È$ È$ Ä š ' Š È$ È$ $ % $ % ß e B œ $ è punto angoloso. Per B Ä $ 0 w ab b µ sgnab$ b š ' Š È$ È$ Ä š ' Š È$ È$ $ $ ß e B œ $ è punto angoloso.

33 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 4 Per B Ä ß e B œ è punto angoloso. Per B Ä ß 0 w ab b µ sgnab b œa b È $ ) ) Ä È $ ß $ $ 0 w ab b µ sgnab b ā a) ba b Ÿ Ä _ß $ a B b Î$ e B œ è punto di cuspide, verso il basso. 2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda. Definito per B Á ßB Á Î%Þ Per B Ä 0aBb œ logkbk B %B 0aB b µ logkbk Ä _ß B œ asintoto verticale. Per B Ä aî% b ß B œ Î% asintoto verticale. Per B Ä _ß 0aB b µ $Î% Ä _ %B 0aB b µ logkbk Ä _ con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo). Calcoliamo w a%b b% ab b $ a%b b $B 0 abb œ œ œ œ B %B B a b a%b b B a%b b 'B B È&( È&( œ per: B ß Ÿ B Ÿ B a%b b $ $ B œ B œ È&( $ È&( $ punto di minimo relativo, punto di massimo relativo. 2

34 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 4 Grafico: 3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor - MacLaurin): ˆ arctanb % tanabb lim BÄ ˆ È$ B ˆ arctanb % tanabb lim BÄ ˆ È$ B œ Þ Applichiamo il teorema di De L'Hospital: lim BÄ B % tana b ˆ B arctanb a tan abbb ˆ È$ B $B Î$ œ Þ B ˆ a B b B ˆ a a Bbb Þ B tana b arctanb % tan a b B tana b arctanb % tan µ ˆ È$ ˆ È$ B $B Î$ $ B Calcoliamo il limite dell'ultimo quoziente ancora con De L'Hospital: B tana B b arctan B B B ˆ a tan a bb B % tanab ba tan abbb a b lim œ BÄ $ $B Î$ 3

35 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 4 e questo è il limite cercato. œ œ * ß * 4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. Serie a termini positivi. Studiamo la convergenza di e, 8 f _ 8 8 a 8x/ b $ 8œ µ, 8x$ 8 8. col criterio del rapporto , 8 8x$ 8 8 œ œ œ œ 8 a b a b a b ˆ 8 / Ä Þ, a8 bx$ 8 88 a8 b$ 88 $8 8 $ $ 8 8 Quindi per il criterio del rapporto la serie di asintotico la serie di partenza converge., 8 converge, e per il criterio del confronto 5. Calcolare il seguente integrale indefinito: ( B B %B&.BÞ B %B% ( ( ( B %B&.B œ % B %B&.B.B œ ˆ B & B %B% œ % ( B %B&.B.B œ ( a B b $ œ logˆ B %B& Ê arctan Ê B -Þ % $ a b $ 6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, studiando il comportamento della funzione integranda nell'intorno di ogni punto in cui risulta illimitata, e giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati: log abb ( ˆ È È B B.B. $ $ La funzione integranda è illimitata per B Ä ßB Ä ßB Ä Þ 4

36 2 prova in itinere di Analisi Matematica. Ing. Elettronica. A.A. 203/4. Svolgimento Tema n 4 Per B Ä 0aB b µ log% Š È$ È$ B integrabile; per B Ä ß 0aB b µ logb È $ integrabile logb (ad esempio, è ¹ È ¹ Ÿ definitivamente per B Ä ). $ ÈB Per B Ä log log 0aB b µ µ ˆ È $ non integrabile. B ab b (Per scrivere l'ultima stima si è linearizzata la funzione abb œ È $ B per B Ä ). Pertanto l'integrale generalizzato diverge. (Per concludere questo fatto era sufficiente analizzare il comportamento in B œ, ma il testo dell'esercizio chiedeva esplicitamente di esaminare anche gli altri). $ 5