Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 1 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: B C ab%c ab&cab œ B/ Þ ÚC ab%c ab&cab œ B/ ÛC a! œ! Ü C a! œ!þ B 1

2 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Tema " 2. Si consideri l'equazione differenziale: C œ C % Þ B * a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca! œ!, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva piana la cui equazione in forma polare è: * 3 œ V/ ß * c!ß% 1d con V ā! assegnato. a. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva.. Calcolare la coordinata B - del centroide. 2

3 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Tema " Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBßC œ cosb È logabc. È%B C Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Sia ab C sinabc BßC 0aBßC œ B C per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ Stailire se 0 nell'origine è continua, è derivaile (calcolando le derivate), è differenziaile, giustificando le proprie conclusioni. 3

4 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Tema " 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Quindi, in ciascuno degli eventuali punti di massimo o minimo relativo trovati, scrivere lo sviluppo di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano. B 0aBßC œ / ab" ˆ C C$ 4

5 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C abc abcab œ!þ ) Scrivere l'integrale generale dell'equazione: C abc abcab œ $ sinbþ 1

6 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Tema 2 2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B ā!þ ) Risolvere il prolema di Cauchy: C C œ B B $ C $ C B œ B œ C a " œ! precisando l'intervallo massimale su cui è definita la soluzione. Curve e integrali di linea 3. Calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse C di una linea materiale omogenea di massa 7 a forma di romo di vertici i punti a +ß! ß a!ß,. 2

7 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Tema 2 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Detta? abßc una funzione G a e posto œ ` `? `B `C (operatore differenziale di Laplace), calcolare, per! intero,?a?! (utilizzando opportunamente il teorema di derivazione delle funzioni composte), e semplificare il risultato ottenuto esprimendo il risultato per mezzo degli operatori? e f applicati a?. 5. Data la funzione $ $ $ & B C $B C B BßC 0aBßC œ B% C% per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Stailire se fuori dall'origine è derivaile (calcolando in tal caso le derivate e semplificando le espressioni trovate), differenziaile, G ".. Stailire se nell'origine la funzione è continua, se è derivaile (calcolando in tal caso le derivate), se è differenziaile, giustificando le affermazioni fatte. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). 3

8 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Tema 2 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B C 0aBßC œ / CB 4

9 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 3 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C ab%c ab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione B C ab%c ab œ / cosabþ 1

10 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 3 2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: C a$bc œ B/ C a$bc œ B/ œ C a! œ Þ B B Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva di equazione: ÚB œ V Ch> ÛC œ V Sh> ÜD œ V> > c!ß" dþ Dopo aver calcolato l'elemento d'arco.=, calcolare l'integrale di linea ( BC.=. 2

11 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 3 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I 0aBßC œ ÈB C loga%b C. ab " C Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Sia: BCˆ B% C% per abßc Á a!ß! 0aBßC œ ab C ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Stailire se 0 G " a.. Stailire se 0 G a. (Suggerimeto: alle domande precedenti è possiile rispondere senza calcoli, se si utilizza la teoria studiata. Si richiede di giustificare tutte le risposte). c. Calcolare 0 BCa!ß! e 0 CBa!ß!, commentando il risultato ottenuto. Suggerimento: conviene calcolare, nell'ordine: 0 Ba!ßC, dalla definizione di derivata; 0 CBa!ß! à 0 abß!, dalla definizione di derivata; 0 a!ß! Þ C BC 3

12 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 3 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Quindi, in ciascuno degli eventuali punti di massimo o minimo relativo trovati, scrivere lo sviluppo di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano. C 0aBßC œ / ac" ˆ B B 4

13 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Tema n 4 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito e del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C ab%c ab%cab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione C ab%c ab%cab œ )B Þ 1

14 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 4 2. Si consideri l'equazione differenziale: C œ CalogBalogCÞ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca/ œ /, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea 3. Si consideri l'arco di curva in $ : <a> œ ˆ + cos $ $ >ß+ sin >ß+ cos > per > c!ß 1d dove + ā! è un parametro positivo fissato. a. Stailire se si tratta di un arco di curva regolare o regolare a tratti, individuando gli eventuali punti singolari della curva; stailire se è una curva semplice o no, chiusa o no.. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva. 2

15 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 4 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia una funzione radiale di due variaili, 0 0aBßC œ 1Š È B C con 1 G a. Calcolare (utilizzando opportunamente il teorema di derivazione delle funzioni composte) 0BB 0CC e semplificare l'espressione ottenuta, dimostrando così che 0 soddisfa l'equazione 0BB 0CC œ! in Ï ea!ß! f se 1 soddisfa l'equazione 31 a31 a3 œ! in a!ß_. 5. Sia abcccosabc" d BßC 0aBßC œ B C per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Calcolare in ase alla definizione la derivata direzionale H@ 0 a!ß! œ acos* ß sin * versore generico. In particolare, calcolare f0 a!ß!. Dire se in questo caso vale la formula del gradiente.. Stailire se 0 è differenziaile nell'origine, giustificando la propria risposta. 3

16 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 4 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B C 0aBßC œ / BC 4

17 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: B C ab%c ab&cab œ B/ Þ ÚC ab%c ab&cab œ B/ ÛC a! œ! Ü C a! œ!þ B a)! %!& œ! Integrale generale dell'omogenea:! œ " ß! œ & B &B DaB œ -"/ - / Þ Soluzione particolare della non omogenea: cerco B CaB œ / a+b, à B B C ab œ / a+b,+ àc ab œ / a+b,+ Þ ) + œ " + œ a+b,+ % a+b,+ & a+b, œ Bà œ +), œ! ā, œ " ) " $ Integrale generale: B &B CaB œ -"/ - / / B " " Œ B Þ ) $ ) Soluzione del prolema di Cauchy: " C a! œ -" - $ œ! - œ ā " " C a! œ - & - œ!à ā- œ " $ ) " " *' " % " B " &B B " " CaB œ / / / Œ B Þ % *' ) $ 1

18 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Svolgimento Tema 1 2. Si consideri l'equazione differenziale: C œ C % Þ B * a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca! œ!, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. a. Soluzioni costanti: C œ Þ Per C Á ß.C.B " " " " " " œ à ( Œ.C œ ( Œ.B ac ac ab$ ab$ % C C ' B$ B$ " C " B$ C B$ logº º œ logº º -à œ -º º C $ B$ C B$ C B œ "- a "- B$ Î$ B$ B$ Î$ B$ ".! œ C a! œ à- œ " "- " CaB œ " B$ Î$ B$ B$ Î$ B$ Poiché la funzione CaB è derivaile solo fintanto che l'argomento del modulo è en definito e non si annulla, dovrà essere B $ß$ C B œ " ˆ $B B$ a e a œ "ˆ $B Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva piana la cui equazione in forma polare è: * 3 œ V/ ß * c!ß% 1d con V ā! assegnato. a. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva.. Calcolare la coordinata B - del centroide. a. Þ È * B$.= œ É3 3.* œ V /.* Þ Î$ Î$ Î$ 2

19 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Svolgimento Tema 1 Calcoliamo:. B œ - %1 * 1 6 œ ( V È/. œ V È ˆ % * / " Þ! % 1 % 1 " " * * * ( B.= œ ( V/ V È V cos* /.* œ ( / cos*.* Þ V È a /% "! a/ % "! %1 * 1 M œ ( / cos*.* œ aper parti due volte œ ˆ / ) " %M! M œ )1 / " &ˆ B œ - V ˆ ) 1 / " œ V ˆ % 1 / " Þ a/ % 1 " & & Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aBßC œ cosb È logabc. È%B C Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' úx NO ú I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' ú NO úx I œ abßc À! BC Ÿ / ßB C % œ abßc À! BCßB C % (l'altra condizione BC Ÿ / è implicita in quella B C %). 3

20 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Svolgimento Tema 1 5. Sia ab C sinabc BßC 0aBßC œ B C per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Stailire se 0 nell'origine è continua, è derivaile (calcolando le derivate), è differenziaile, giustificando le proprie conclusioni. La funzione ab C sinabc ab C abc º º Ÿ º º ß B C B C funzione positivamente omogenea di grado 1 e continua fuori dall'origine, che pertanto tende a zero per abßc Ä a!ß!. Per il teorema del confronto, anche 0aBßC Ä! per abßc Ä a!ß!, perciò 0 è continua nell'origine. Calcoliamo le derivate parziali in a!ß!. 0aBß! œ sinbß0 a!ß! œ "Þ 0 a!ßc œ sincß0 C a!ß! œ ". In particolare, 0 è derivaile nell'origine. In ase alla definizione, 0 è differenziaile nell'origine se e solo se il seguente quoziente tende a zero per abßc Ä a!ß! : ab C sinabc B C abc abc sin ˆ ÈB C B œ a B C B C BC a BC È B C 1 a BßC Þ Ma: Quindi 0 B 1aBßB œ B Ä per B Ä! B ÈB È non è differenziaile nell'origine.. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Quindi, in ciascuno degli eventuali punti di massimo o minimo relativo trovati, scrivere lo sviluppo di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano. B 0aBßC œ / ab" ˆ C C$ B B 0B œ / BaC C$ œ / BaC" ac$ œ! œ B B 0 œ / ab" ac œ / ab" ac" œ!þ C I punti stazionari sono: a!ß" à a"ß" à a"ß$ Þ 4

21 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Svolgimento Tema 1 Matrice hessiana: B B L0 a BßC / B" C C$ / B C" œ Œ a a a B B Þ / BaC" / ab" %! L0 a!ß" œ Œ a!ß! definita negativa: " punto di massimo rel. L0 a"ß" œ Œ! %/ a %/! indef. "ß" punto di sella! % / L0 a"ß$ œ Œ a"ß /! indefinita $ punto di sella % Per abßc Ä a!ß " si ha: " 0aBßC œ % Š %B ac" 9Š B ac" œ %B ac" 9Š B ac" Þ 5

22 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2 Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C abc abcab œ!þ ) Scrivere l'integrale generale dell'equazione: C abc abcab œ $ sinbþ a)!! œ! Integrale generale dell'omogenea:! œ " 3 È( È( È BÎ ( DaB œ / -" cos B - B Þ sin ) Cerchiamo una soluzione particolare della non omogenea, prima con termine noto 3B $/ Þ 3B 3B CaB œ E/ àc œ 3E/ àc œ %E/ 3B E/ 3B 3B $ $ a%3 œ $/ àe œ œ a"3 3 % $ CaB œ "3 B3 B Þ % a acos sin La soluzione particolare con termine noto $ sinb è: e l'integrale generale è: $ CaB œ ImaCaB œ B B % a cos sin $ È( È( CaB œ B B / - B - B Þ % acos sin BÎ " cos sin 1

23 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 2 2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B ā!þ ) Risolvere il prolema di Cauchy: C C œ B B $ C $ C B œ B œ C a " œ! precisando l'intervallo massimale su cui è definita la soluzione. a) " + ab œ Bà EaB œ ' ".B œ " B log B EaB " / œ ÈB " " % - % C œ - B B.B œ - B œ B Þ È œ ( B È $ *Î % È œ B * ÈB * ). %! œ C a" œ - à- œ % * * C œ % B * ā % " ÈB Ÿ definita per B ā!þ Curve e integrali di linea 3. Calcolare il momento d'inerzia rispetto all'asse C di una linea materiale omogenea di massa 7 a forma di romo di vertici i punti a +ß! ß a!ß,. La lunghezza di un lato è È +,, quindi la lunghezza totale è Per simmetria, ragioniamo sul lato 6 " 6 œ % È +,. posto nel primo quadrante, di equazione, C œ, Bß B + a!ß+ Þ,.= œ É"0 ab.b œ Ê".BÞ , 7 7 M œ % B.= œ ".B œ B.B œ 6 % +, % B $ œ " ( È ( Ê ( $ $ 7+ Þ 6!! " 2

24 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 2 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Detta? abßc una funzione G a e posto œ ` `? `B `C (operatore differenziale di Laplace), calcolare, per! intero,?a?! (utilizzando opportunamente il teorema di derivazione delle funzioni composte), e semplificare il risultato ottenuto esprimendo il risultato per mezzo degli operatori? e f applicati a?. Analogamente, perciò ` `B 5. Data la funzione ` a? œ `B!!! " B?? à! ` " " a ˆ!?? B!!? œ! œ! a! "? a? B?? BB `B ` " "???? ` C CC y a?! œ!!! a! a!?a? œ!! "! a! "? kf? k??? Þ $ $ $ & B C $B C B BßC 0aBßC œ B% C% per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Stailire se fuori dall'origine è derivaile (calcolando in tal caso le derivate e semplificando le espressioni trovate), differenziaile, G ".. Stailire se nell'origine la funzione è continua, se è derivaile (calcolando in tal caso le derivate), se è differenziaile, giustificando le affermazioni fatte. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). " a. Per abßc Á a!ß! la funzione è derivaile; di più, nell'aperto eabßc Á a!ß! f 0 è G e quindi differenziaile, in ase ai teoremi sull'algera delle derivate, poiché il denominatore si annulla solo nell'origine. Calcoliamo: ˆ $ $ % $B C 'BC "!B ˆ % % B C $ $ $ $ & %B ab C $B C B 0BaBßC œ œ ab% C% œ ' $ & $ ) ( ( % % B C 'B C B $B C 'BC "!B C % % ab C 3

25 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 2 0 abßc œ C $ % % $ a$b C *B C ˆ B C $ $ $ & %C ab C $B C B ab% C% œ ( ' $ ' ' $B C *B C B C $B C ab% C% )B C & $. 0aBßC œ $ $ $ & $ $ $ & B C $B C B B C $B C B œ 0 0 B C B C B C % % % % % % " dove 0", 0 sono positivamente omogenee di grado ß", rispettivamente, e continue fuori dall'origine, quindi sono entrame continue (tendono a zero nell'origine), 0 " è differenziaile mentre 0, essendo positivamente omogenea di grado " ma non essendo lineare, non è differenziaile. Pertanto 0 è continua ma non differenziaile nell'origine. Studiamo la derivailità. 0aBß! œ Bà0 Ba!ß! œ à 0 a!ßc œ!à0 a!ß! œ!þ Quindi 0 è derivaile nell'origine. Volendo verificare la differenziailità o meno nell'origine senza appellarsi ai criteri sulle funzioni positivamente omogenee, dovremmo considerare: 0aBßCB B C $B C B B BC B C $B C BC œ œ ÈB C ab% C% ÈB C ab% C% ÈB C che non tende a zero perché, ad esempio, C $ $ $ & & % $ $ $ % 1aBßC 1aBßB œ ' & B &B B% ÈB Ä & B Ä! Þ È per 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B C 0aBßC œ / CB B C $ B C 0B œ / ab CBC œ / BC a" B œ! ā B C B C 0 œ / a B C B œ / B a" C œ!þ C I punti stazionari sono: La retta B œ!, cioè tutti i punti a " "!ßC! à e i punti " ß ß " Þ È ß È 4

26 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 2 Matrice hessiana: B C C/ % B C B &B " B a" B / a C " L0aBßC œ Þ B C B C B a" B / a C " C B / c C $ d C!/! L0 a!ßc œ C!! Œ semidef.; a!ßc! casi dui.!! % $Î " /! L0 " " ß ÎÈ Ñ œ " È % def. neg.; $Î Ï! / Ò ß È punti di max. rel. È % $Î " /! L0 " " ß Î œ " È Ñ È % def. pos.; $Î Ï! / Ò ß È punti di min. rel. È Studiamo i casi dui. 0 a!ßc œ!! 0aBßC ā! per C ā!þ Si deduce che i punti a!ßc! sono: di minimo relativo se C! ā!à di massimo relativo se C!!à di sella l'origine. 5

27 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 3 Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C ab%c ab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione a) Soluzione dell'omogenea Integrale generale dell'omogenea: B C ab%c ab œ / cosabþ! %! œ!ß! œ!ß! œ % %B DaB œ -" - / Þ ) Cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione complessa della forma B a"3 C ab%c ab œ / AaB œ E/ Ba"3 A œ E a"3/ A œ E a"3 / Ba"3 Ba"3 Ba"3 Ba"3 E/ Š a"3 % a"3 œ / " Ea(%3 œ "àe œ œ (%3 (%3 '& (%3 Ba AaB œ Œ / '& "3 e una soluzione particolare dell'equazione completa di partenza è: " B " B CaB œ / Reaa(%3 acosab3 sinab œ / a( cosab% sinab '& '& 1

28 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 3 2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ) Risolvere il prolema di Cauchy: a) + ab œ $Bà EaB œ ' $ a$b.b œ B B C a$bc œ B/ C a$bc œ B/ œ C a! œ Þ ˆ $ B B ˆ $ B B B ˆ $ B B $ B C œ / - / B/.B œ / - / œ ( œ ( B.B B B ˆ $ B B " $ B ˆ $ B B " B œ / - / œ -/ œ / Þ $ $ ). " & œ C a! œ - à- œ à $ $ B C œ & $ / ˆ $ B B " / B œ / $ $ &/ $ B Š " Þ Curve e integrali di linea 3. Si consideri la curva di equazione: ÚB œ V Ch> ÛC œ V Sh> ÜD œ V> > c!ß" dþ Dopo aver calcolato l'elemento d'arco.=, calcolare l'integrale di linea ( BC.=. < Sh Ch Sh Ch a> œ av >ßV >ßVß.= œ V È > >".>Þ ( BC.= œ ( V >V >V È > $ Ch Sh Sh Ch >".> œ V ( Ch> Sh> È Sh >.> œ " "!! 2

29 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 3 a È $ ( È È " Sh> œ? œ V?? $ ".? œ V ˆ $Î? " $! Sh" È $Î È $ $ $ œ V Š ash1 " " œ V ach? " Þ $ $ Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia I l'insieme di definizione della funzione Sh1! 0aBßC œ ÈB C loga%b C. ab " C Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO úx I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' úx NO ú I œ abßc À kbk Ÿ C Ÿ kbkßb C %ßaBßC Á a "ß! 5. Data la funzione BCˆ B% C% per abßc Á a!ß! 0aBßC œ ab C ā! per abßc œ a!ß! Þ Alle domande che seguono è possiile rispondere con calcoli minimi, se si utilizza opportunamente la teoria studiata. Si richiede di giustificare tutte le risposte. a. Stailire se 0 G " a.. Stailire se 0 G a. 3

30 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 3 c. Calcolare 0 BCa!ß! e 0 CBa!ß!, commentando il risultato ottenuto. Suggerimento: conviene calcolare, nell'ordine: 0 a!ßc, dalla definizione di derivata; 0 a!ß! à B 0 abß!, dalla definizione di derivata; 0 a!ß! Þ C CB BC a. La funzione 0 è omogenea di grado 2 ed è G a Ï ea!ß! f. Quindi le sue derivate parziali prime sono omogenee di grado 1 e continue fuori dall'origine, pertanto continue anche nell'origine. Perciò 0 G " a.. Le derivate parziali seconde di 0 sono omogenee di grado!, perciò non sono continue nell'origine. Quindi 0  G a. c. BCˆ B% C% % % 0aBßC0 a!ßc ab C 0 Ba!ßC œ lim œ lim Cˆ B C lim BÄ! B BÄ! B BÄ! ab C œ Cà ` 0 CBa!ß! œ a ÎCœ! œ `C C "Þ BCˆ B% C% % % 0aBßC0aBß! ab C 0CaBß! œ lim œ lim Bˆ B C lim CÄ! C CÄ! C CÄ! ab C œ Bà ` 0 BCa!ß! œ a ÎBœ! œ `B B "Þ Le derivate seconde miste nell'origine non sono uguali, la tesi del teorema di Scharz non vale. Infatti l'ipotesi del teorema di Scharz non vale: le derivate seconde miste essendo funzioni omogenee di grado zero non sono continue nell'origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Quindi, in ciascuno degli eventuali punti di massimo o minimo relativo trovati, scrivere lo sviluppo di Taylor al second'ordine con resto secondo Peano. C 0aBßC œ / ac" ˆ B B C 0B œ / ac" ab" œ! œ C 0 œ C/ ab B œ!þ C I punti stazionari sono: " Œ ß! à a"ß " à a ß" Þ 4

31 Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2014/15. Svolgimento Tema 3 Matrice hessiana: C L0 a BßC / C" / B" œ Œ a C a C C Þ C / ab" / ac" ab B " L0Œ œ Œ! " ß! * definita positiva: Œ ß! punto di minimo rel.! %! $/ L0 a"ß " œ Œ a"ß " $/! indef. punto di sella! $ / L0a ß" œ Œ a ß /! indefinita " punto di sella $ C Per abßc Ä ˆ " ß! si ha: * " " * " 0aBßC œ C 9 ŒB % ŒB C % œ * B " * C 9 Þ ) B " Œ Œ % C 5

32 Es Tot. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2014/2015. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 Equazioni differenziali 1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione C ab%c ab%cab œ!þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione C ab%c ab%cab œ )B Þ a)! %!% œ! Integrale generale dell'omogenea:! œ (soluz. doppia). B DaB œ / a- B- Þ " ) Cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione completa, della forma CaB œ +B,B-àC œ +B,àC œ + +% a+b, % ˆ +B,B- œ )B Ú%+ œ ) Ú+ œ Û)+%, œ! Û"'%, œ!à, œ % Ü+%,%- œ! Ü%"'%- œ!à- œ $ La soluzione particolare della completa è: e l'integrale generale della completa è: 2. Si consideri l'equazione differenziale: CaB œ B %B$ B CaB œ B %B$/ a- B- Þ C œ CalogBalogCÞ " a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca/ œ /, precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. 1

33 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 1 a. Soluzioni costanti: C œ "Þ Supponendo B ā!ßc ā!ß risolviamo:. Imponiamo la condizione iniziale.c ( ( ClogC œ log B.B logklogck œ BalogB" - log " BalogB" " Ba B" - / logcab œ - / à CaB œ / - / œ / " à - œ " / BalogB" CaB œ / ß definita per B ā!þ Curve e integrali di linea 3. Si consideri l'arco di curva in $ : <a> œ ˆ + cos $ $ >ß+ sin >ß+ cos > per > c!ß 1d dove + ā! è un parametro positivo fissato. a. Stailire se si tratta di un arco di curva regolare o regolare a tratti, individuando gli eventuali punti singolari della curva; stailire se è una curva semplice o no, chiusa o no.. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva. a. E' un arco di curva chiusa a< a! œ < a1, semplice perché la sua proiezione sul piano BC è semplice: valori diversi di > per cui cos $ > ha lo stesso valore hanno sin $ > di segno opposto. < a> œ ˆ $+ cos > sin>ß $+ sin > cos>ß % + cos> sin> œ + sin> cos> a$ cos>ß $ sin>ß % k< 1 a> k œ &+ ksin> cos > k œ! per > œ 5, 5 œ!ß"ßß$ß quindi si tratta di un arco di curva regolare a tratti, con punti singolari:. a+ß!ß+ ß a!ß+ß! ßa+ß!ß+ ß a!ß+ß! Þ 1 1 1Î 1Î " 6 œ ( k< a> k.> œ ( &+ ksin> cos> k.> œ &+ %( sin> cos>.> œ!+ sin > œ "!+Þ!!!! 2

34 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 1 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variaili 4. Sia 0 una funzione radiale di due variaili, 0aBßC œ 1Š È B C con 1 G a. Calcolare (utilizzando opportunamente il teorema di derivazione delle funzioni composte) 0BB 0CC e semplificare l'espressione ottenuta, dimostrando così che 0 soddisfa l'equazione 0BB 0CC œ! in Ï ea!ß! f se 1 soddisfa l'equazione 31 a31 a3 œ! in a!ß_. ` B 0 œ 1 B C B œ 1 à `B Š Š È a3 3 B ` B B Î3 3 Ñ B 3 B 0BB œ Œ1 a3 œ 1 a3 1 a3 œ 1 a3 1 a3œ `B 3 3 Ï 3 Ò 3 3$ Analogamente, C 3 C 0CC œ 1 a3 1 a3œ 3 3$ B C 3 B 3 C e 0BB 0CC œ 1 a3 1 a3œ œ 3 3$ 3$ 3

35 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 1 B C œ c31 a31 a3d 3$ pertanto 31 a31 a3 œ! Ê 0 0 œ!þ 5. Sia BB CC abcccosabc" d BßC 0aBßC œ B C per a Á a!ß! ā! per abßc œ a!ß! Þ a. Calcolare in ase alla definizione la derivata direzionale H@ 0 a!ß! œ acos* ß sin* versore generico. In particolare, calcolare f0 a!ß!. Dire se in questo caso vale la formula del gradiente.. Stailire se 0 è differenziaile nell'origine, giustificando la propria risposta. a. Per * fissato e > Ä! è perciò acos* sin* ccosa> acos* sin* " d 1 a> œ 0 a> cos* ß> sin* œ Þ > " acos* sin* > acos* sin* " 1 a> µ œ > acos* sin* acos* sin* > In particolare, Osserviamo che perché " H@ 0 a!ß! œ 1 a! œ acos* sin* acos* sin *. " " f0 a!ß! œ Œ ß Þ H@ 0 a!ß! Á f0 a!ß! acos* ß sin* " acos* sin* acos* sin* Á " cos* " sin* quindi in questo caso la formula del gradiente non è valida.. Ne concludiamo che non è differenziaile nell'origine. 0 4

36 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. 2014/15. Tema 1 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B C 0aBßC œ / BC B C B C 0B œ / a B C C œ / C a" B œ! ā B C $ B C 0 œ / abc BC œ / BC a" C œ! C I punti stazionari sono: La retta C œ!, cioè tutti i punti a " " B! ß! à e i punti ß " ß ß " Þ È È Matrice hessiana: B C B C L0 a BßC C / B $ C " / B " œ B c d a C a Þ B C B C C a" C / a B " B/ % C &C "!! L0aB! ß! œ Œ semidef.; ab! ß! casi dui.! B / % $Î! B! " /! L0 " ß " œ ß " È Î È Ñ % def. neg.; $Î Ï! / Ò È punti di max. rel. È % $Î " /! L0 " ß " œ ß " È Î È Ñ % def. pos.; $Î Ï! / Ò È punti di min. rel. Studiamo i casi dui. È 0aB! ß! œ!à0abßc ā! per B ā!þ Si deduce che i punti ab! ß! sono: di minimo relativo se B ā!à di massimo relativo se B!à di sella l'origine.!! 5