Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2012/2013. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente %. Sia 0aBßCb œ arctanb B C loga CbÞ a. Si dimostri che l'equazione 0aBßCb œ definisce implicitamente una e una sola " funzione C œ abbß G amb in un intorno M di B œ "Þ b. Si calcoli poi w a" b. 2. Calcolare il momento d'inerzia di una lamina piana omogenea di massa 7 a forma di triangolo equilatero X di lato 6, rispetto a un asse perpendicolare al suo piano e passante per un vertice. Esprimere il risultato in funzione dei soli parametri 6ß7. Si raccomanda di curare l'impostazione analitica del problema: fare una figura, scegliere un riferimento opportuno, scrivere la rappresentazione analitica di X,... NON scrivere direttamente l'integrale senza giustificarne analiticamente l'impostazione.

2 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 3. Si consideri il solido Z œ š abßcßdb À D c <ß < dß È B C Ÿ < Š sin D < con < fissato. a. Calcolare il volume di Z. b. Calcolare il centroide di Z, sfruttando le opportune simmetrie. 2

3 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 4. Si consideri la trasformazione regolare di coordinate del piano œ B œ? > C œ? > Esprimere mediante le variabili?ß> l'operatore differenziale `BB `CC `BC. 5 Si consideri l'arco di curva, nel piano BD, di equazioni parametriche: V œ B œ V sin: D œ Vcos: ( : ß ( V fissato). ' ' a. Scrivere le equazioni parametriche della superficie D che si ottiene facendo ruotare la curva attorno all'asse D, determinare l'elemento d'area di D e gli eventuali punti singolari sulla superficie. ( Si consiglia di disegnare e capire la forma di D). b. Calcolare l'area di D. 3

4 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 6. Si consideri la funzione 4-periodica definita in c ß d da: kbk 0aBb œ / a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. 4

5 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n 2 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione 0aBßCb œ B C % % soggetta al vincolo abßcb œ B C ˆ B C " œ Þ (Significato geometrico: determinare i punti sulla curva abßcb œ aventi massima e minima distanza dall'origine) Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo o minimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange, e quindi stabilire l'effettiva natura dei punti trovati, giustificando le proprie affermazioni. Si può utilizzare (senza dimostrarla) l'informazione: "la curva descritta da abßcb œ è contenuta in una regione limitata del piano".

6 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2 2. Calcolare il seguente integrale doppio: ( ( kbkc.b.c B C dove I œ œabßcb À Ÿ " ß+ß, fissati. +, I 3. Si consideri una sfera W di raggio V e centro l'origine, non omogenea, avente densità a b Š È + BßCßD œ V B C D V dove + fissato è un parametro (avente le dimensioni di una massa). a. Calcolare la massa totale della sfera. b. Calcolare il momento d'inerzia della sfera rispetto all'asse D. % 2

7 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2 4. Calcolare un potenziale del seguente campo conservativo, specificando il più grande aperto in cui questo è definito. Precisare se tale aperto è connesso e se è semplicemente connesso. JaBßCßDb œ Blogˆ C D 3 D B C 4 B D C D Œ C D Œ C D " D Si consideri il campo vettoriale Ja b ˆ BßCßD œ C ßD ßB Þ a. Calcolare rotj. b. Calcolare il flusso di rot J attraverso la porzione D di superficie sferica di centro l'origine e raggio V orientata verso l'alto, assegnata dalle equazioni: ÚB œ Vsin: cos* D À Û C œ Vsin: sin* : ß ß* cßd Ü D œ Vcos: 3

8 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 2 6. Si consideri la funzione -periodica definita in c "ß" d da: 0 B œ per a b œ B per B. a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 4

9 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n 3 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Sia 0aBßCb œ logˆ B C BaC " b Þ a. Si dimostri che l'equazione 0aBßCb œ definisce implicitamente una e una sola " funzione C œ abbß G amb in un intorno M di B œ "Þ b. Si calcoli poi wa " b.

10 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 3 2. Si consideri la lamina piana descritta in coordinate polari da: W œ * a3 ß* b À * cß dß3 Ÿ +/ con + fissato. a. Calcolare l'area di W. b. Calcolare la coordinata B del centroide di W (non è richiesto il calcolo di C ) Si consideri il solido + + Z œ abßcßdb À D Ÿ + Ÿ È B C Ÿ +ß Ÿ Ÿ ( fissato). ÈB C a. Calcolare il volume di Z. b. Calcolare il momento d'inerzia di Z rispetto all'asse D, supponendo che sia un solido omogeneo di massa 7. 2

11 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 3 4. Dopo aver stabilito se il campo vettoriale piano JaBßCb œ ab CßB Cb è conservativo o meno, calcolare il lavoro del campo lungo l'arco di curva di equazione polare 3 œ / * per * cß dþ 5. Si consideri l'arco di curva, nel piano BD, di equazioni parametriche (con V fissato): œ B œ V sin: D œ Vcos: V & : ß. ' ' a. Scrivere le equazioni parametriche della superficie D che si ottiene facendo ruotare la curva attorno all'asse D, determinare l'elemento d'area di D e gli eventuali punti singolari sulla superficie. ( Si consiglia di disegnare e capire la forma di D). b. Calcolare l'area di D. 3

12 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 3 6. Si consideri la funzione -periodica definita in c ßd da: 0 B œ per a b œ B B per B. a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 4

13 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Tema n 4 Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione 0aBßCb œ B C % % soggetta al vincolo abßcb œ B C B C " œ Þ (Significato geometrico: determinare i punti sulla curva abßcb œ aventi massima e minima distanza dall'origine) Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo o minimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange, e quindi stabilire l'effettiva natura dei punti trovati, giustificando le proprie affermazioni. Si può utilizzare (senza dimostrarla) l'informazione: "la curva descritta da abßcb œ è contenuta in una regione limitata del piano".

14 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 4 2. Sia X il triangolo di vertici aß" bß aß bß aß " b. Dopo aver disegnato il triangolo e determinato le equazioni delle rette dei lati, calcolare l'integrale doppio ( ( kb k.b.cþ X 3. Si consideri il solido X œ eabßcßdb À B ßC ßD ßB C D Ÿ + f con + fissato (si consiglia di disegnare X ). a. Calcolare il volume (con considerazioni elementari, se lo si è disegnato). b. Calcolare la coordinata D- del centroide di X. In base a considerazioni di simmetria si possono dedurre anche le altre coordinate del centroide? 2

15 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 4 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale JaBßCßDb œ adbßdcßb Cb ÚB œ > cos> lungo l'arco di elica conica: À Û C œ > sin > > cß d. ÜD œ > 5. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: B œ a sin> bcos> œ C œ a sin> bsin> > cß d Calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva, utilizzando le formule di Green. (Si faccia attenzione ai diversi coefficienti numerici che compaiono nell'espressione di B a> b e C a> b). 3

16 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Tema 4 6. Si consideri la seguente serie trigonometrica: _ 5 " a " b cosa5bbþ 5 5œ" a. Stabilire se la serie converge puntualmente, totalmente, nell'intervallo cßd, giustificando la risposta. b. Scrivere la serie delle derivate e stabilire se questa serie converge puntualmente, totalmente, nell'intervallo cßd, giustificando la risposta. c. In base ai risultati noti si può affermare che la serie di partenza è derivabile termine a termine? 4

17 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Sia % 0aBßCb œ arctanb B C loga CbÞ a. Si dimostri che l'equazione 0aBßCb œ definisce implicitamente una e una sola " funzione C œ abbß G amb in un intorno M di B œ "Þ b. Si calcoli poi wa " b. a. 0 a"ßcb œ " C loga Cb œ Calcoliamo allora: per C œ " (confronto grafico o osservazione diretta). `0 " a"ß " b œ ŒB œ Þ `C C Î a"ß " b " Poiché 0 è G in un intorno di a"ß " b, 0 a"ß " b œ ß `C a"ß " b Á, l'equazione " 0aBßCb œ definisce implicitamente una e una sola funzione C œ abb ß G amb in un intorno M di B œ "Þ b. Calcoliamo anche e quindi `0 % a"ß " b œ Œ BC œ `B a" B b `0 Î a"ß " b w `Ba"ß " b " a" b œ œ œ " Þ `0 a"ß " b `C `0 2. Calcolare il momento d'inerzia di una lamina piana omogenea di massa 7 a forma di triangolo equilatero X di lato 6, rispetto a un asse perpendicolare al suo piano e passante per un vertice. Esprimere il risultato in funzione dei soli parametri 6ß 7. Si raccomanda di curare l'impostazione analitica del problema: fare una figura, scegliere un riferimento opportuno, scrivere la rappresentazione analitica di X,... NON scrivere direttamente l'integrale senza giustificarne analiticamente l'impostazione.

18 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema " kxk œ 6 6 È œ È % 6 Þ X œ abßcb À Ÿ B Ÿ 6 È B à k C k Ÿ È Ÿ 6 B 7 %7 M œ B C.B.C œ B C.C.B œ kx k ( ( ˆ 6 ( Î Ñ ( È ˆ X È B Ï Ò È È 6 È B 6 È %7 È )7 œ B C.C.B œ.b œ È ( ( ˆ B B 6 È ( 6 È * È )7 " )7 " " 6 & œ " B.B œ 76 Þ 6 Œ ( œ * 6 * % " 6 È È % 3. Si consideri il solido Z œ š abßcßdb À D c <ß < dßèb C Ÿ < Š sin D < con < fissato. a. Calcolare il volume di Z. b. Calcolare il centroide di Z, sfruttando le opportune simmetrie. a. < < kzk œ ( ( (.B.C.D œ ( Œ< Š sin D.D œ D < < ÈB C Ÿ< ˆ sin < < D œ >à.d œ <.> < % % > > <.> œ < œ ( ˆ sin sin œ < a) b œ * < Þ b. Per simmetria il centroide sarà aßßd - b, con < < D œ " - kzk ( ( ( " (.B.C D.D œ Œ< Š sin D D * < < < ÈB C Ÿ< ˆ sin < < D.D œ 2

19 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema < œ " D D D.D œ œ " ( Š sin œ >à.d œ <.> ( % % > > < >.> œ * < < < * < ˆ sin sin < œ < )< )< )< ( %> sin>.> œ œc > cos> d ( cos>.> œ œ Þ * * * * 4. Si consideri la trasformazione regolare di coordinate del piano œ B œ? > C œ? > Esprimere mediante le variabili?ß> l'operatore differenziale Invertendo il sistema si ha: e quindi `BB `CC `BC. "? œ B C " " > œ B C B "? " > ` œ ` ` " ` œ ` ` C? > a b Essendo la trasformazione di coordinate lineare si ha: BB CC BC?? " " " ` ` ` œ a`b `C b œ Œ `? `> `? `> œ a`? b œ ` Oppure, facendo il calcolo per esteso, dalle (*) si ha: " " " " " " ` œ Œ `? `> Œ `? `> œ ` ` ` * * * BB???> >> " " % % " ` œ Œ `? `> Œ `? `> œ ` ` ` * * * CC???> >> " " " " " ` œ Œ `? `> Œ `? `> œ ` ` ` * * * BC???> >> " " % % " " " ` ` ` œ ` ` ` ` ` ` Œ ` ` ` œ ` * * * * * * * * * BB CC BC???> >>???> >>???> >>??. 3

20 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 5 Si consideri l'arco di curva, nel piano BD, di equazioni parametriche (con V fissato): V œ B œ V sin: D œ Vcos: ( : ß. ' ' a. Scrivere le equazioni parametriche della superficie D che si ottiene facendo ruotare la curva attorno all'asse D, determinare l'elemento d'area di D e gli eventuali punti singolari sulla superficie. ( Si consiglia di disegnare e capire la forma di D). b. Calcolare l'area di D. a. La curva è un'arco di circonferenza. Equazioni di D: Ú Ý ˆ V B œ Vsin: cos* ( Û C œ ˆ V ß ß cß dþ Ý Vsin: sin* : * ' ' ÜD œ Vcos: Con riferimento alle equazioni parametriche di, l'elemento d'area di D è: Punti singolari: V.W œ kba: bkébwa: b D wa: b.:.* œ Œ : V. :.* Vsin Œ V corrispondenti ai punti della superficie: Vsin : sin : " : ( œ per œ, œ ß ' ', È ßß V Þ 4

21 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema b. Area di D: ' V kd k œ ( (.W œ ( ( Œ : V. :. * œ Vsin D ( ' ' " œ V. œ V " ) ( ' ( Œ sin: : œ c cos: d œ ' ' ( ' œ V Œ È Þ 6. Si consideri la funzione 4-periodica definita in c ß d da: kbk 0aBb œ / a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è continua, perciò i coefficienti di Fourier sono 9 a"î5b). La serie di Fourier converge puntualmente a 0 in tutto c ß d. b) Funzione pari,, 5 œ a5. Calcoliamo: + 5 œ ( 0aBbcos a5= B b.b con X œ %ß= œ œ X X %, quindi: X B " + 5 œ ( 0aBbcosŠ 5 B.B œ ( 0aBbcosŠ 5 B.B œ ( / cosš 5 B.B œ B B œ / cosš 5 B 5 ( / sinš 5 B.B œ 5 B B œ / a " b " 5 œ / sinš 5 B 5 ( / cosš 5 B.B œ 5 5 œ " / a " b Š 5 + ß 5

22 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema " / a " b Quindi + 5 œ per 5 œ "ßßÞÞÞÞ " ˆ 5 In effetti i coefficienti + 5 sono 9 a"î5b. Calcoliamo anche 5 B B + œ ( /.B œ c / d œ " / Þ _ 5 " / " / 0aBb œ " a " b Š 5 " ˆ 5 B cos. 5œ" 6

23 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione 0aBßCb œ B C % % soggetta al vincolo abßcb œ B C ˆ B C " œ Þ (Significato geometrico: determinare i punti sulla curva abßcb œ aventi massima e minima distanza dall'origine) Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo o minimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange, e quindi stabilire l'effettiva natura dei punti trovati, giustificando le proprie affermazioni. Si può utilizzare (senza dimostrarla) l'informazione: "la curva descritta da abßcb œ è contenuta in una regione limitata del piano". % % PaBßC,-b œ 0aBßCb -abßcb œ B C B C ˆ - B C ". Risolviamo il sistema: Ú B -a% B %Bb œ Û C -a% C %Cb œ Ü % % B C ab C b " œ Þ fabßcb œ ˆ %B %Bß%C %C œ aß b per B œ ß"ß "ßC œ ß"ß ". In totale ci sono * punti che annullano fabßcb, ma si verifica che nessuno di questi soddisfa abßcb œ, perciò il vincolo non ha punti critici. La ^ eq. dà B œ oppure " œ -ab " bþ La 2^ eq. dà C œ oppure " œ -ac " b. Se B œ si ha: Se C œ si ha: Se BßC Á il sistema diventa: Le prime due equazioni implicano % C C " œ ß C œ " ÈàC œ É" ÈÞ B œ É" ÈÞ Ú " œ -ab " b Û " œ -ac " b Ü % % B C ab C b " œ Þ

24 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 B " C " œ "ßB " œ C "ßC œ B che sostituite nella terza danno % B %B " œ ßB œ È' œ " Ê àb œ Ë" Ê Þ Quindi i punti critici della lagrangiana sono: Œß É" È ßŒ É" Èß ß Î Ñ Î Ñ Ë" Ê ß Ë" Ê ß Ë" Ê ß Ë" Ê Þ Ï Ò Ï Ò Nei 4 punti della prima riga si ha 0aBßCb œ Š " É œ È '. 0aBßCb œ " È ; nei 4 punti della seconda riga si ha Quindi i punti di massima distanza dall'origine sono quelli della seconda riga, quelli di minima distanza quelli della prima riga. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: ( ( kbkc.b.c B C dove I œ œabßcb À Ÿ " ß+ß, fissati. +, Eseguiamo cambio di coordinate polari ellittiche: I œ B œ + 3 cos* C œ, 3 sin*.b.c œ +, 3. 3.* ( ( kbkc.b.c œ ( Œ( k3 + cos* k, 3 sin * +, * œ B C +, " Ÿ" " Î œ +, Œ( 3 %. 3 ( k * k " Œ cos sin *.* œ +, %( cos* sin *.* œ & % œ +, sin * Î % œ +, Þ & "& 2

25 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 3. Si consideri una sfera W di raggio V e centro l'origine, non omogenea, avente densità a b Š È + BßCßD œ V B C D V dove + fissato è un parametro (avente le dimensioni di una massa). a. Calcolare la massa totale della sfera. b. Calcolare il momento d'inerzia della sfera rispetto all'asse D. % a. 7 œ ( ( ( abßcßd b.b.c.d œ W in coordinate sferiche, essendo l'integranda radiale % % + % + V V ( œ % ( av 3b 3. 3 œ Œ œ +Þ V% V % % V b. M œ ( ( ( abßcßdbˆ B C.B.C.D œ W in coordinate sferiche V + œ ( Œ( av 3b 3 sin :3 sin:.:. 3 œ V% V % + œ :.: V œ V% Œ( sin ( a b + % ' " " ) "" %% œ V œ +V œ +V Þ V % Œ & ' %& 4. Calcolare un potenziale del seguente campo conservativo, specificando il più grande aperto in cui questo è definito. Precisare se tale aperto è connesso e se è semplicemente connesso. JaBßCßDb œ Blogˆ C D 3 D B C 4 B D C D Œ C D C D " D 5 Œ. YBaBßCßDb œ Blogˆ C D Ê Y BßCßD œ Blogˆ C D.B œ B logˆ a b ( C D 0aCßDbÞ YCaBßCßDb œ B C C D D B C 0 acßdb œ C D 0 Ê a CßD b œ D C D C C Ê 0aCßDb œ ( D C D C.C œ arctanš adbþ D 3

26 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 YaBßCßDb œ B C logˆ C D arctanš adb D YDaBßCßDb œ B D C C D C D w D œ B D C D a b Œ C D " D Ê w D D " adb œ àadb œ.d œ " D - " D ( logˆ " D YaBßCßDb œ B C " logˆ C D arctanš logˆ " D - D definito nell'aperto D Á, che non è né connesso né semplicemente connesso. Osservazione. Il potenziale così determinato è definito in un aperto più piccolo di quello in cui è definito il campo stesso, che è lo spazio privato della retta C œ D œ (asse B). E' possibile, ritoccando l'espressione trovata e definendo il potenziale "a pezzi", definirlo su tutto lo spazio privato dell'asse B. Se si pone: YaBßCßDb œ B B loga loga ˆ a b C " C D b arctan D log " D per CD C D b arctanˆ C " D loga" D b per CD si osserva che la Y così definita ammette limite finito e continuo per D Ä purché C Á, ed è definita per C œ purché D Á. In conclusione, questo Y è definito e continuo in tutto l'aperto in cui J è definito. Questa osservazione è inserita a scopo didattico, non era richiesta nello svolgimento dello scritto. 5. Si consideri il campo vettoriale Ja b ˆ BßCßD œ C ßD ßB Þ a. Calcolare rotj. b. Calcolare il flusso di rot J attraverso la porzione D di superficie sferica di centro l'origine e raggio V orientata verso l'alto, assegnata dalle equazioni: ÚB œ Vsin: cos* D À Û C œ Vsin: sin* : ß ß* cßd Ü D œ Vcos: a. rotj œ `B `C `D œ a Dß Bß CbÞ âc D B â 4

27 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 2 abßcßdb b. 8 œ à.w œ V sin:.:.* V œ ( ( FaJßDb œ ( ( D rotj 8.W œ V a cos: ß sin: cos* ß sin: sin* b a sin: cos* ß sin: sin * ß cos: bv sin:.:.* œ œ V ( ( ˆ sin : cos: cos* sin : sin* cos* sin : cos: sin*.:. * œ œ V ( sin : cos:.:( cos*.* ( sin :.:( sin* cos*.*.: ( sin : cos: ( sin*.* œ sin : % œ V ( sin : cos: œ %V œ V Þ 6. Si consideri la funzione -periodica definita in c "ß" d da: 0 B œ per a b œ B per B. a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier sono solo infinitesimi (non saranno 9 a"î5b) La serie di Fourier converge puntualmente a 0aBb in c "ß" d per B Á "ßÞ In questi punti converge a ". b) Funzione né pari né dispari. Calcoliamo: 5

28 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema œ ( 0aBbcos a5= B b.b con X œ ß= œ œ, quindi: X X " X + 5 œ ( 0aBb cos a5 Bb.B œ ( cos a5 Bb.B œ c a5 bd " œ 5 œ "ßßßÞÞÞ 5 sin B per Calcoliamo anche " " " + œ (.B œ Þ " 5, 5 œ ( 0aBbsina5Bb.B œ ( sina5 Bb.B œ c cosa5bbd " œ Š " a " b 5 5 " " Notiamo che i coefficienti, 5 sono infinitesimi ma non sono 9 a"î5b, come previsto. _ 5 % " 0aB b µ " " Š " a " b sina5bb œ " " sin aa2 " bbb. 5 2 " 5œ" 2œ _ 6

29 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 3. Sia 0aBßCb œ logˆ B C BaC " b Þ a. Si dimostri che l'equazione 0aBßCb œ definisce implicitamente una e una sola " funzione C œ abbß G amb in un intorno M di B œ "Þ b. Si calcoli poi w a " b. a. 0 a "ßCb œ loga Cb ac " b œ per C œ " (confronto grafico o osservazione diretta). Calcoliamo allora: `0 `C a "ß" b œ B BaC " b B C œ " Þ Î a "ß" b " Poiché 0 è G in un intorno di a "ß" b, 0 a "ß" b œ ß `C a "ß" b Á, l'equazione " 0aBßCb œ definisce implicitamente una e una sola funzione C œ abb ß G amb in un intorno M di B œ "Þ b. Calcoliamo anche e quindi `0 `B a " b B C "ß œ Œ œ B C C " a b `0 `0 Î a "ß" b w `Ba "ß" b a" b œ œ œ Þ `0 a "ß" b " 2. Si consideri la lamina piana descritta in coordinate polari da: W œ * a3 ß* b À * cß dß3 Ÿ +/ `C con + fissato. a. Calcolare l'area di W. b. Calcolare la coordinata B del centroide di W (non è richiesto il calcolo di C ). a / " * + / + kwk œ ( (.B.C œ ( (. ( + /. œ ˆ % 3. 3 * œ * œ / " Þ % W * *

30 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 b. +/ B œ " " " - kwk ( ( kwk ( ( kwk ( " * B.B.C œ 3 cos*3. 3.* œ + / cos*.* œ W * con œ %+ %+ M + ( / * cos*.*, a/ % " b a/ % " b * * * M œ ( / cos*.* œ / sin* ( / sin*.* œ da cui œ œ / * / *. œ ˆ ' cos* ( cos* * / " *Mß ' %+ / " M œ ˆ ' / " B œ ˆ ', e - / " œ + Œ Þ " a/ % " b " & / % " 3. Si consideri il solido Z œ abßcßdb À + + D Ÿ È B C Ÿ +ß Ÿ Ÿ ÈB C Ÿ con + fissato. a. Calcolare il volume di Z. b. Calcolare il momento d'inerzia di Z rispetto all'asse D, supponendo che sia un solido omogeneo di massa 7. a. Î Ñ É B C + kzk œ ( ( (.D.B.C œ ( (.B.C œ + + ŸÈB C Ÿ+ Ï Ò ŸÈB C Ÿ+ ÈB C + b. + + œ ( 3. 3 œ + Š + œ + Þ M œ 7 Î kzk ( ( Ï ( + Ÿ B C Ÿ+ È + ÉB C Ñ ˆ.D B C.B.C œ Ò + + œ " + 7 ' (. œ. œ )+ œ + œ 7+ Þ + ( ( Œ ) * ) % 2

31 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 4. Dopo aver stabilito se il campo vettoriale piano JaBßCb œ ab CßB Cb è conservativo o meno, calcolare il lavoro del campo lungo l'arco di curva di equazione polare 3 œ / * per * cß dþ aj" bc œ " Á " œ aj b quindi il campo non è irrotazionale e pertanto non è conservativo. La curva ha equazioni parametriche: B <a b ˆ * * * œ / cos* ß / sin*, quindi < w a b ˆ * * * œ / acos* sin* bß/ asin* cos* b, J a< a bb ˆ * * * œ / acos* sin* bß/ asin* cos* b ß w * P œ ( J a< a* bb < a* b. * œ ( / acos* sin* b acos* sin* b.* œ * * œ ( /.* œ / % œ / ". 5. Si consideri l'arco di curva, nel piano BD, di equazioni parametriche (con V fissato): œ B œ V sin: D œ Vcos: V & : ß. ' ' a. Scrivere le equazioni parametriche della superficie D che si ottiene facendo ruotare la curva attorno all'asse D, determinare l'elemento d'area di D e gli eventuali punti singolari sulla superficie. ( Si consiglia di disegnare e capire la forma di D). b. Calcolare l'area di D. 3

32 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 a. La curva è un'arco di circonferenza. Equazioni di D: Ú Ý ˆ V B œ Vsin: cos* & Û C œ ˆ V Vsin: * : ß ß* cß dþ Ý sin ' ' ÜD œ Vcos: Con riferimento alle equazioni parametriche di, l'elemento d'area di D è: Punti singolari:.w œ kba: bkébw a: b D w V a: b.:.* œ ŒVsin: V. :.* corrispondenti ai punti della superficie: b. Area di D: V " & ŒVsin: œ per sin: œ,: œ ß, ' ' È ßß V Þ ' V kd k œ ( (.W œ ( ( ŒVsin: V. :. * œ D ' & 4

33 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 ' " & œ V :.: œ V : " % ' ( Œsin œc cos d œ ' ' ' & œ V Š È Þ 6. Si consideri la funzione -periodica definita in c ßd da: 0 B œ per a b œ B B per B. a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier sono solo infinitesimi (non saranno 9 a"î5b) La serie di Fourier converge puntualmente a 0aBb in a ßbà per B œ converge a. b) Funzione né pari né dispari. Calcoliamo: + 5 œ ( 0aBbcos a5= B b.b con X œ ß= œ ", quindi: X X X " " " " + 5 œ ( 0aBbcosa5 Bb.B œ ( Bcosa5 Bb.B œ cbsina5bbd 5.B œ 5 ( sina Bb 5 Calcoliamo anche " " 5 œ 5B œ " 5 œ "ßßßÞÞÞ 5 ccosa bd 5 Š a " b per " + œ ( B.B œ Þ " " " ", 5 œ ( 0aBbsina5 Bb.B œ ( Bsina5 Bb.B œ c Bcosa5Bbd 5.B œ 5 ( cosa Bb 5 5

34 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 3 " a " b œ Š a " b 5 5 " œ. 5 5 Notiamo che i coefficienti, 5 sono infinitesimi ma non sono 9 a"î5b, come previsto (mentre gli + 5 sono 9 a"î5b). _ " 5 a " b 0aBb µ " a b " a5bb a5 b % Š " cos sin B 5 5 Ÿ 5œ" 5 " 6

35 Es Tot. Punti Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 202/203. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione 0aBßCb œ B C % % soggetta al vincolo abßcb œ B C B C " œ Þ (Significato geometrico: determinare i punti sulla curva abßcb œ aventi massima e minima distanza dall'origine) Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo o minimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange, e quindi stabilire l'effettiva natura dei punti trovati, giustificando le proprie affermazioni. Si può utilizzare (senza dimostrarla) l'informazione: "la curva descritta da abßcb œ è contenuta in una regione limitata del piano". % % PaBßC,-b œ 0aBßCb -abßcb œ B C - B C B C ". Risolviamo il sistema: Ú B -a% B %Bb œ Û C -a% C %Cb œ Ü % % B C B C " œ Þ fabßcb œ ˆ %B %Bß%C %C œ aß b per abßcb œ aß bß a"ß bßa "ß b. Nessuno dei tre punti che annullano fabßcb soddisfa abßcb œ, perciò il vincolo non ha punti critici. La ^ eq. dà B œ oppure " œ -ab " bþ La 2^ eq. dà C œ oppure " œ -ac " b. Se B œ si ha: Se C œ si ha: Se BßC Á il sistema diventa: % C C " œ ß C œ " ÈàC œ ÉÈ "Þ % B B " œ ß B œ " Le prime due equazioni implicano ÈàB œ É" ÈÞ Ú " œ -ab " b Û " œ -ac " b Ü % % B C ab C b " œ Þ

36 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 B " C " œ "ßB " œ C "ßB œ C che sostituita nella terza dà ˆ % C C ˆ C C " œ C % %C " œ ßC œ È ' ßC œ ËÊ "ßB œ " Ê. Quindi i punti critici della lagrangiana sono: Œß ÉÈ " ߌ É" Èß ß Î Ñ Î Ñ Ë" Ê ßËÊ " ß Ë" Ê ßËÊ " Þ Ï Ò Ï Ò Il valore di 0aBßCb è uguale rispettivamente a: È "à" Èà È '. Quindi i punti di massimo assoluto sono i 4 punti Î Ñ Î Ñ Ë" Ê ßËÊ " ß Ë" Ê ßËÊ " Þ Ï Ò Ï Ò mentre i punti di minimo assoluto sono Œß ÉÈ " Þ 2. Nota: per un refuso, nel testo distribuito i vertici del triangolo erano aß" bß aß bß aß " b invece che quelli indicati nello svolgimento qui sotto, che era il testo originale. Non ho riscritto lo svolgimento, ma naturalmente la correzione è stata effettuata in base al testo effettivamente distribuito. Sia X il triangolo di vertici aß" bßa ß bß aß " b. Dopo aver disegnato il triangolo e determinato le equazioni delle rette dei lati, calcolare l'integrale doppio ( ( kb k.b.cþ X B " " B ( ( kb k.b.c œ ( B (.C.B ( B (.C.B œ " B " B % % X 2

37 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 B " B " B œ ( B ".B ( B " B.B œ % % œ ( Œ B B.B ( Œ B B.B œ % % B " ) ) œ B B B œ Œ Œ œ Þ % % % % % % 3. Si consideri il solido X œ eabßcßdb À B ßC ßD ßB C D Ÿ + f con + fissato (si consiglia di disegnare X ). a. Calcolare il volume (con considerazioni elementari, se lo si è disegnato). b. Calcolare la coordinata D- del centroide di X. In base a considerazioni di simmetria si possono dedurre anche le altre coordinate del centroide? a. X è una piramide a base triangolare, di vertici aßß bß a+ßß bß aß+ß bß aßß+ b. Perciò il volume è b. kxk œ " " + + œ + ' Þ D œ - " D.B.C.D œ kxk ( ( ( X + + D + D B + + D ' ' œ.b.c D.D œ + D B.B D.D œ + ( Œ( ( + ( Œ( a b ' a+ D b ' a+ D b œ + D D.D œ D.D œ D D + + D.D œ + ( a b + ( + ( ˆ % % % œ œ +. % % Poiché nella definizione analitica di X le variabili BßCßD compaiono in modo simmetrico, sarà B œ C œ D, perciò il centroide è ˆ ß ß % % % 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale JaBßCßDb œ adbßdcßb Cb 3

38 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 lungo l'arco di elica conica: ÚB œ > cos> À Û C œ > sin > > cß d. ÜD œ > < w a> b œ acos> > sin>ß sin> > cos>ß" b J a< a bb ˆ > œ > cos>ß> sin>ß> acos> sin> b P œ ( J. < œ ( ˆ > cos>ß> sin>ß> acos> sin> b acos> > sin>ß sin> > cos>ß" b.> œ > œ ( ˆ > > acos> sin> b.> œ œc> asin> cos> bd ( asin> cos> b.> œ œ * Þ 5. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: B œ a sin> bcos> œ C œ a sin> bsin> > cß d Calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva, utilizzando le formule di Green. (Si faccia attenzione ai diversi coefficienti numerici che compaiono nell'espressione di B a> b e C a> b). Sia D la regione piana e la curva bordo. Si ha: " " kdk œ ( a C.B B.Cb œ ( Œa a sin> bsin> bc cos> cos> a sin> bsin> d a sin> bcos> c% cos> sin> a sin> bcos> d.> œ " œ.> œ ( sin> cos> cos> a a sin> b % a sin> bb a sin> ba sin> bˆ sin > cos > 4

39 Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 202/3. Svolgimento Tema 4 " " œ ( c' d.> œ ( sin> cos> cos> a sin> ba sin> b sin> cos> * * sin> sin >.> œ " " œ ( sin%> * * sin> sin >.> œ * * œ " Þ 6. Si consideri la seguente serie trigonometrica: _ 5 " a " b cosa5bbþ 5 5œ" a. Stabilire se la serie converge puntualmente, totalmente, nell'intervallo cßd, giustificando la risposta. b. Scrivere la serie delle derivate e stabilire se questa serie converge puntualmente, totalmente, nell'intervallo cßd, giustificando la risposta. c. In base ai risultati noti si può affermare che la serie di partenza è derivabile termine a termine? a. La serie di partenza converge totalmente, in quanto 5 a " b " "» cosa5bb» Ÿ e " converge Pertanto converge anche puntualmente in tutto cß dþ b. La serie delle derivate è _ 5 _ 5œ" " a " b 5 sina5bb 5 5œ" e non converge totalmente, perché la migliore maggiorazione valida ab cß d è 5 a b» " 5 sin a5bb» Ÿ 5, e " 5 diverge Però la serie delle derivate converge puntualmente in cß d, perché è del tipo 5œ" "a " b + sina5bb 5œ" 5 5 con e+ 5 f successione monotona infinitesima. c. Poiché la convergenza della serie delle derivate non è totale, non possiamo garantire la derivabilità termine a termine. 5